2010/11 - III,2 : corr

(1)

T2EE ‐ Corrigé du devoir en classe de mathématiques III,2 Exercice 1

fx  4x³−33x² 30x50 a) Df  D_f^′  

b)

xlim fx 

xlim 4x³   et

x−lim fx 

x−lim 4x³  −

c)∀x ∈ Df^′ : f^′x  43x²−332x30  12x²−66x30

d) f’x  0 12x²−66x30  0 2x²−11x5  0^Δ81 x  ^119₄  5 ou x ¹¹⁻⁹₄  ¹₂

x − ¹₂ 5 

f^′x  0 − 0  tableau des variations:

x − ¹₂ 5 

f^′  0 − 0 

f − ↗ ²²⁹⁴ ↘ −125 ↗ ^

f ¹₂  4 ¹₂ ³−33 ¹₂ ²30 ¹₂ 50 ²²⁹₄ et f5  45³−335²30550 −125

Exercice 2

l) fx  −x²x4 x² −x−2

acond.: x²−x−2 ≠0 ^Δ9 x ≠ 13

2  2 et x ≠ 1−3

2  −1 donc Df  Df^′  R∖−1; 2 b∙_x→limfx  _x→lim −x²

x²  −1 A.H.: y  −1

∙lim

x→−1

→2

−x²x4

→0

x²−x−2 il faut distinguer−1^et−1⁻

x − −1 2 

x²−x−2  0 − 0 

x→−1lim⁻

→2

−x²x4

→0^

x²−x−2   et lim

x→−1^

→2

−x²x4

→0⁻

x²−x−2  − A.V.: x  −1

∙lim

x→2

→2

−x² x4

→0

x²−x−2 il faut distinguer 2^et 2⁻

x→2lim⁻

→2

−x²x4

→0⁻

x² −x−2  − et lim

x→2^

→2

−x²x4

→0^

x²−x−2   A.V.: x  2

c ∀x ∈ R∖−1; 2: f^′x  −2x1  x²−x−2−−x²x4  2x−1

x²−x−2²

 −2x³2x²4xx²−x−2−−2x³ x²2x²−x8x−4

x² −x−2²  −2x³ 3x² 3x−22x³−3x²−7x4

x²−x−2²

(2)

 −4x2

x²−x−2²

df^′x  0 −4x2 0  x  ¹₂

x − ¹₂ 

−4x2  0 − tableau de variation

x − −1 ¹₂ 2 

f^′  ∥  0 − ∥ −

f ⁻¹ ↗ ^ ∥− ↗ ⁻¹⁷⁹ ↘ − ∥^ ↘ −1

f ¹₂  −¹₄  ¹₂ 4

1

4 − ¹₂ −2 

17 4

−9 4

 −¹⁷₉ ≃ −1, 9

Exercice 3

x − −4 −2 0 6 10 

f^′  0 − ∥  0 − ∥ − 0 

f − ↗ ³ ↘ − ∥− ↗ ⁶ ↘ − ∥^ ↘ 0 ↗ ³