Chapitre 7 : Statistiques Page 1
Chapitre 7 : Statistiques
Objectifs :
*Savoir faire une étude statistiques d’un problème
* Connaitre tous les outils statistiques à disposition ( fréquence, effectif cumulé croissant, représentations graphiques, moyenne, étendue, médiane , quartile , écart interquartile).
I. Notions de bases
1) Vocabulaire et calcul de fréquences
Dans une étude statistique, on recueil des données sur un caractère d’individus d’une population. Le caractère étudiée prend alors un ensemble de valeurs qui peuvent être numériques ( on dit alors que le caractère est quantitatif) ou non ( on dit que le caractère est qualitatif). Le nombre d’individus chez lequel on observe un caractère est appelé effectif.
Exemples :
Exemple 1 : On s’intéresse à une population d’individus d’élève de 15 ans. On étudie comme caractère les prénoms. On s’intéressera ici à la répartition de 4 prénoms dans un lycée de 150 élèves de 15ans : Mohammed, Camille, Lucie, Valentin et les autres.
Prénom xi Mohammed Camille Lucie Valentin Autres
Nombre d’élèves ni 5 7 3 10 125
Effectif cumulé croissant fréquence
Fréquences cumulées croissantes
Exemple 2 : On s’intéresse aux résultats d’une classe de trente élèves de seconde au dernier DS.
On étudie comme caractère les notes.
Notes xi 5 7 8 9 10 11 12 13 15 18
Nombre d’élèves ni 1 2 4 6 3 4 5 1 3 1
Effectif cumulé croissant fréquence
Fréquences cumulées croissantes
Dans l’exemple 1, le caractère est qualitatif et dans le 2 il est quantitatif.
La fréquence s’exprime parfois en pourcentage ( il suffit de multiplier par 100 les résultats).
Chapitre 7 : Statistiques Page 2 La dernière case des effectifs cumulés croissants donne l’effectif total de la série.
La dernière case des fréquences cumulées croissantes doit être de 1 (100 en pourcentage) environ ( car les arrondis de chaque valeur peuvent entrainer un petit écart).
2) Regroupement des données en classe
Il est parfois intéressant de regrouper les données dans des intervalles appelés classes :
Notes xi [0 ;9[ [9 ;11[ [11 ;13[ [13 ;20[
Nombre d’élèves ni
Effectif cumulé croissant fréquence
Fréquences cumulées croissantes
La différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur d’une classe est appelée amplitude de la classe. (9-0=9 l’amplitude de la classe est 9)
3) Représentation graphique
a) Nuage de points et diagramme en batons : L’abscisse est la valeur du caractère xi et l’ordonnée est soit la fréquence fi soit l’effectif ni.
b) Histogramme : L’abscisse est la valeur du caractère ( donnée en classe) et l’ordonnée est soit la fréquence fi soit l’effectif ni.
d) Diagramme à secteurs ou diagramme circulaire ( camembert) : On trace un cercle puis chaque secteur angulaire est proportionnel à l’effectif :
Notes xi [0 ;9[ [9 ;11[ [11 ;13[ [13 ;20[ Total
Nombre d’élèves ni
angle(°)
0 5 10
[0;9[ [9;11[ [11;13[ [13;20[
0 5 10
0 5 10 15 20
0 5 10
5 7 8 9 10 11 12 13 15 18
Chapitre 7 : Statistiques Page 3 Exercices : Math’X 2014 Didier
1,2,3p164+7à10p181+19à24p182+26,27p183 II. Paramètres de position
1) Moyenne
Définition : La moyenne d'une série statistique dont les valeurs du caractère sont x1, x2, …, xk , les effectifs correspondants sont n1, n2, …, nk et les fréquences associées sont f1, f2, …, fk est égale à :
Exemple : La moyenne des notes des élèves dans l’exemple précédent :
Interprétation : Si tous les élèves de la classe avaient eu la même note, ils auraient tous eu 10,5.
Remarque :Pour une série regroupée en classes, on obtient une valeur approchée de la moyenne de la série en prenant pour xi les centres des classes. (pour [0 ;9[ : on prend =4,5)
2) Médiane
Définition : Pour obtenir la médiane d'une série, on range les valeurs de la série dans l'ordre croissant. La médiane est la valeur qui partage la série en exactement deux populations d'effectif égal.
Remarques : Pour une série regroupée en classes, la classe à laquelle appartient la médiane est appelé classe médiane.
Pour les calculs, une méthode efficace est de prendre l’effectif total .
*Si il est impair, on le divise par deux et on arrondi à l’entier supérieur : ce qui nous donne la valeur correspondant à la médiane.
*Si il est pair, on le divise par deux et la valeur correspondant de la médiane est comprise entre la position que l’on vient de trouver et la suivante.
[0;9[
[9;11[
[11;13[
[13;20[
Chapitre 7 : Statistiques Page 4 Exemple : Pour les notes, l’effectif total est de 30. 30/2=15 donc la médiane se situe entre la 15ème et la 16ème valeur c’est-à-dire entre 10 et 10 donc med =10. (Si on utilise les notes regroupées en classe, la classe médiane est [9 ;11[).
Interprétation : On en déduit que dans cette classe de seconde la moitié des élèves ont plus de 10 et l’autre moitié moins de 10.
3) Quartiles Définitions :
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des valeurs sont inférieures ou égales à Q1.
Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75% des valeurs sont inférieures ou égales à Q3.
Remarque : Pour les calculs, une méthode efficace est de prendre l’effectif total et de le multiplier par ¼ (ou ¾) . L’arrondi à l’entier supérieur du résultat donne le rang du quartile.
Exemple : Pour les notes précédentes :
Le premier quartile Q1 est la 8e valeur. En effet, 1/4 30 =7.5->8. Donc Q1 = 9.
Le troisième quartile Q3 est la 23e valeur. En effet, 3/4 30 =22.5->23. Donc Q3 = 12.
Interprétation : Dans cette classe de seconde, au moins 25% des élèves ont eu moins de 9 et au moins 75% des élèves ont eu moins de 12.
III. Paramètres de dispersion 1) Etendue
Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
Exemple : 18-5 =13 L’étendue des notes de la classe de seconde est de 13 .
2) Ecart interquartile
Définition : L'écart interquartile d'une série statistique de premier quartile Q1 et de troisième quartile Q3 est égal à la différence Q3 - Q1.
Exemple :Pour la série des notes, l'écart interquartile est égal à: Q3 - Q1 = 12 – 9 = 3.
Chapitre 7 : Statistiques Page 5 Remarque : L’écart interquartile d'une série mesure la dispersion autour de la médiane. L'écart interquartile n'est pas influencé par les valeurs extrêmes de la série.
Interprétation : Dans la classe de seconde, il y a au moins 50% des élèves qui ont eut entre 9 et 12
IV. A la calculatrice
Pour saisir les données :
On utilise le mode de la calculatrice. Puis edit :
Dans list 1, on rentre les valeurs du caractère et dans list 2 les effectifs correspondants.
Pour obtenir les paramètres :
Une fois les données saisies, on revient sur la fenêtre de calculs et refait puis calc et
1-var stats
Entrer de manière à
afficher ceci et
valider.
indique la moyenne indique l’écart-type Tous les autres paramètres apparaissent explicitement en faisant descendre le curseur.
Pour saisir les données :
On utilise le mode Stat de la calculatrice.
Dans list 1, on rentre les valeurs du caractère et dans list 2 les effectifs correspondants.
Pour obtenir les paramètres :
Une fois les données saisies, on active Calc puis On doit obtenir cette affichage :
(les lignes
suivantes n’ont pas d’intérêts ici) , si ce n’est pas le cas aller sur la ligne qu’il faut changer et activer et rentrer le numéro nécessaire.
Ensuite appuyer sur puis . indique la moyenne
indique l’écart-type Tous les autres paramètres apparaissent explicitement en faisant descendre le curseur.
Exercices : Math’X 2014 Didier
4,5,6p164+11à18p181+28,29p183+32,33,35p184+37,40,41p185+43,47,48,49p186+50,52p187+74p190 Exercices supplémentaires : Math’X 2014 Didier
P171,173à176+25,30p183+36,42p185+46p187+p188,189
