5. FONCTION LOGARITHME | 108
Chapitre 7 Statistiques
Introduction I. Objectifs
« Raisonnement sur les jeux de dés » est le titre du premier ouvrage consacré à la théorie des probabilités.
D nos jours ; le calcul des probabilités a envahi la totalité des Sciences (Mécanique, Physique, Chimie, Biologie, Météorologie, Économie, etc).
En ce qui concerne ce chapitre, l’objectif est poursuivre l’étude de phénomènes aléatoires engagée :
- en disposant de quelques outils combinatoires : arrangements, combinaisons, permutations présentés dans le précédent chapitre ;
- en introduisant de nouvelles notions probabilistes telles que probabilités conditionnelles et variables aléatoires.
II.Connaissances mises en jeu Vie culturelle et sociale
Quelques jeux de hasard : dés, dominos, Loto, … Probabilités
Vocabulaire : notion d’issue, d’expérience aléatoire, univers, événement, probabilité, équiprobabilité.
Dénombrements
Techniques usuelles (somme et produit). Combinaisons.
Leçon 29 Probabilités 1. Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prévu de manière certaine. En général, l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire est connu ou peut au moins être inclus dans un ensemble connu.
Un des résultats possibles est appelé un possible ou une éventualité.
2. Vocabulaire des événements 1) Événement certain
C’est l’universS, l’ensemble de toutes les éventualités issues de L’expérience aléatoire.
L’univers peut être un ensemble fini ou infini.
2) événement A
C’est une partie de l’univers.
Un élément de cette partie est un résultat favorable à l’événement A.
3) événement élémentaire
C’est un événement n’ayant qu’une seule éventualité.
4) Événement impossible
5. FONCTION LOGARITHME | 109
C’est un événement qui n’est jamais réalisé : c’est l’ensemble vide . 5) Intersection d’évènements AB
C’est l’événement « A et B » constitué de tous les résultats favorables à la fois à l’ événement A et à l’ événement B.
6) Réunion d’évènements AB
C’est l’événement « A ou B » constitué de tous les résultats favorables à l’un au moins des événements A ou B.
7) Evénement incompatibles
Ce sont deux événements n’ayant aucun résultat en commun : leur intersection est vide.
8) Événement contraire de A (A ou A')
C’est l’événement constitué de tous les résultats de l’expérience aléatoire qui ne sont pas les résultats favorables à l’événement A.
Deux événements contraires sont incompatibles et leur réunion est l’univers ils réalisent une partition de l’univers S.
Exemple 1 : On lance un dé à 6 faces bien équilibré une fois.
L’ensemble des issues est S=
1,2,3,4,5,6
.Exemple 2 : On lance deux fois de suite un dé à 6 faces parfaitement équilibré.
. ) 6 , 6 ( ), 5 , 6 ( ), 4 , 6 ( ), 3 , 6 ( ), 2 , 6 ( ), 1 , 6 ( ), 6 , 5 ( ), 5 , 5 ( ), 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 (
), 6 , 4 ( ), 5 , 4 ( ), 4 , 4 ( ), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 6 , 3 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 3 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 (
), 6 , 2 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 6 , 1 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 1
= ( S
Exemple 3 : On lance une pièce de monnaie équilibrée une fois.
P,F
=
S ou S =
PFExemple 4 : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
(P,P),(P,F),(F,F),(F,P)
=
S ou S =
PP,PF,FF,FP
.Exemple 5 : On lance une pièce de monnaie jusqu’à ce que le côté « PILE » apparaisse.
P,FP,FFP,FFFP,FFFP,
S= . C’est un ensemble infini.
Exemple 6 : Un dé est lancé une fois. Si E désigne
l’événement : « d’obtenir la face numérotée d’un nombre pair » ; on a
2,4,6.
E=
Exemple 7 : Une pièce de monnaie est lancée 3 fois de suite. On note à chaque fois le côté exposé : P pour « PILE » et F pour « FACE ».
5. FONCTION LOGARITHME | 110
3elancé
2elancé
1erlancé
A l’aide de l’arbre ci-dessus, déterminer les événements suivants.
a. avoir une « FACE » et deux « PILE » en premier.
b. ne pas apparaître « FACE ».
c. avoir une « FACE » ou deux « PILE » en premier.
Solution : On considère :
A : l’événement : apparaître une « FACE ».
B : l’événement : apparaître deux « PILE » en premier.
On a
PPP,PPF.
B
, PPF PFP, FPP, A
=
=
a. avoir une « FACE » et deux « PILE » en premier.
PPFPFP,. PPF PPP,PPF
FPP, B
A
=
=
b. ne pas apparaître un côté FACE ( le complémentaire de A).
PPP,PFP,PFF,PPFFPF,'FFP,FFF.
FPP, A'
=
=
c. avoir une « FACE » ou deux « PILE » en premier.
FPP,PFP,PPF,PPP
. BA =
Exemple 8 : On lance un dé une fois. Déterminer les événements suivants.
A : le nombre apparu est pair ;
B : le nombre apparu est strictement inférieur à 4 ; C : le nombre apparu est impair.
Solution :
A : le nombre apparu est pair, A=2,4,6
B : le nombre apparu est strictement inférieur à 4, B=
1,2,3C : le nombre apparu est impair, C=
1,3,5.3. Probabilités Définition
- On considère l’univers S lié à une expérience aléatoire.
P PPP
P
P
P
P
P
P F
F
F
F F F
F
PFP PFF FPP FPF FFP FFF PPF
5. FONCTION LOGARITHME | 111
Définir une probabilité sur S, c’est associer à chaque événement un nombre de l’intervalle 0;1 tel que :
• La somme des probabilités de tous les événements de l’univers est 1 ;
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
- La probabilité de l’événement A se note P(A). Équiprobabilité
Théorème
On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Dans ce cas, si n(S)=N, on a : 1. pour tout événement ,
N ) 1 P( = ; 2. pour tout événement E,
n(S) ) n(E) P(E =
où n(E) : le nombre d’élément de E ; n(S) : le nombre d’élément de S.
Exemple 1 : On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 une fois.
Déterminer la probabilité de l’événement E : le nombre apparu est pair Solution
On a S=
1,2,3,4,5,6
et E=
2,4,6
. Donc P(E)=n(E)n(S) = 63 =21Exemple 2 : Une ne urne contient : 8 boules rouges, 3 boules blanches et 9 boules bleues. On tire au hasard 3 boules l’une après l’autre sans remise.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : trois boules rouges ;
B : trois boules sont blanches ;
C : deux boules rouges et une boule blanche ; D : le tirage est tricolore ;
E : le tirage est respectivement : rouge, blanche, bleue.
Solution
285 14 3 . 19 . 20
7 . 8 2
. 3
18 . 19 . 20
2 . 3
6 . 7 . 8
)!
3 20 (
! 3
! 20
)!
3 8 (
! 3
! 8 320
C 83 ) C
( = = =
−
= −
=
• P A
1140 1 320 C
33 ) C
( = =
• P B
5. FONCTION LOGARITHME | 112 95
7 320 C
13 2C C8 )
( = =
• P C
95 18 320
C 19 1C C3 18 ) C
( = =
• P D
95 3 95 18 6 ) 1
! ( 3 ) 1
( = = =
• P E P D
4. Fréquence et probabilité
On admet que la probabilité pour qu’individu appartenant à l’ensemble de
référence présente l’un des caractères étudiés est égale à la fréquence de ce caractère dans l’ensemble.
Cette fréquence est déduite du tableau statistique de répartition.
Par exemple, s’il y a n individus qui ont le caractère E parmi N individus de l’ensemble, alors la probabilité pour qu’individu pris au hasard dans l’ensemble présente le caractère E est
N
n signifie : N
lim n P(E)= →+
N
Exemple 1 : Une pièce de monnaie est lancée 1000 fois. Voici le graphe de la fréquence d’apparaître un côté « FACE ».
Exemple 2 : Le tableau ci-dessous donne la répartition d’un échantillon de 100 familles d’un village à propos du nombre d’enfants.
Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5 6
Nombre de familles
6 18 21 40 8 5 2
On choisit une famille au hasard,
la probabilité des familles ayant 3 enfants est 0,4
100 40 =
5. Propriétés des probabilités
Nombre de lance Frequence
5. FONCTION LOGARITHME | 113
Exemple : On lance une fois deux dés. Calculer la probabilité d’obtenir la somme égale 8 ou 9 ?
Solution
On considère les événements : A : la somme est 8 ;
B : la somme est 9.
Donc A=
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)
A=
(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)
=
B A
Et ( ) .
4 1 36
9 36
4 36 B 5 A P - P(B) P(A)
B)
P(A = + = + = =
Théorème
Si E' est l’événement contraire de E alors on a : P( )E' =1−P( )E
Démonstration
On a : EE'=S et EE'= On obtient donc :
(E E) ( )P S
P ' =
( ) ( )E P E P( )E P( )E P + ' =1 ' =1−
Exemple 1 : On tire une boule dans l’urne au hasard sans remise parmi 6 boules jaunes, 4 boules blanches et 5 boules bleues.
Quelle est la probabilité d’avoir : a. la boule jaune ? b. la boule blanche ? c. la boule bleue ?
d. la boule qui n’est pas blanche ? e. la boule jaune ou blanche ? Solution
a. 5
2 15
6 5 4 6 jaune) 6
P(boule = =
+
= +
b. 15
4 5 4 6 blanche) 4
P(boule =
+
= +
c. 3
1 15
5 5 4 6 bleue) 5
P(boule = =
+
= +
Parties de S Événement Propriété
Ø, S événement impossible, certain
0 ) ( =
P , P(S)=1
=
B
A Ø A et B sont incompatibles P(AB)=P(A)+P(B)
A A est l’événement contraire de A
) ( 1 )
(A P A
P = −
A, B A et B quelconques P(AB)=P(A)+P(B)−P(AB)
1 ) (
0P A , 0P(B)1
5. FONCTION LOGARITHME | 114
d. 5
3 5 1 2 blanche) pas
est n'
P(boule = − =
e. 3
2 15
4 15 blanche) 6 ou
jaune
P(boule = + =
Exemple 2 : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. On a la probabilité de l’événement E : obtenir au moins une fois « FACE ».
P(E) 1 P(E') 1 1 7
8 8
= − = − =
E’ est l’événement : obtenir trois fois « PILE » Théorème
Soit E1 et E2 deux événements quelconques, on a :
1 2 1 2 1 2
P(E E )=P(E ) P(E ) P(E+ − E )
On en
déduit :
3).
2 E 1 E P(E
3) 2 E P(E - 3) 1 E P(E - 2) 1 E P(E 3)
P(E 2)
P(E 1)
P(E 3)
2 E 1 E P(E
+
− +
+
=
Exemple : La probabilité respective de passer les mathématiques et la physique d’un élève est
3 2 et
4 3.
La probabilité de passer ces deux matière est
6
5. Quelle est la probabilité de passer au moins une matière de cet élève ?
Solution :
On considère les événements : A : il a passé les maths ;
B : il a passé la physique.
Donc l’événement : passer au moins une matière est AB
l’événement : passer ces deux matières est AB.
On a : .
6 B) 5 P(A 4, P(B) 3 3,
P(A)= 2 = =
On obtient donc :
12. 7 6 5 4 3 3 B) 2 P(A - P(B) P(A)
B)
P(A = + = + − =
E1E2 E1 E2
E2 −(E1 E2)
Démonstration:
On a :
)]
E (E E [ E E
E1 2 = 1 2 − 1 2
E1 et E2 −(E1E2) sont incompatibles.
On a donc :
).
E P(E ) P(E ) P(E
)) E (E P(E ) P(E ) E P(E
2 1 2
1
2 1 2 1
2 1
− +
=
− +
=
5. FONCTION LOGARITHME | 115
6. Probabilité conditionnelle
On considère un ensemble S sur lequel est définie une probabilité P, et deux événements A et B de S.
Définition
Soit A un événement de probabilité non nulle.
On définit la probabilité de B sachant que A est réalisé, notée P(B/A)ou PA(B)par la relation :
P(A) . B) P(B/A)=P(A
Note : il est fréquent que l’expérience permette le calcul direct de P(B/A). La relation ci-dessus est alors plus efficace ainsi écrite :P(AB)=P(B/A).P(A)
Exemple 1: On lance un dé une fois. Sachant que le nombre apparu est pair, quelle est la probabilité d’obtenir le nombre inférieur à 4.
Solution
Soit l’événement A : le nombre apparu est pair ; B : le nombre apparu inférieur à 4.
On a : S=1,2,3,4,5,6,
B=1,2,3,
A=2,4,6, AB= 2
Donc .
3 1 6 3 6 1 P(A)
B)
P(B/A)= P(A = =
Exemple 2 : Voici le tableau de répartition d’âge des habitants d’un village.
âge sexe
0 à 25 ans
Plus de 25 ans
total
homme 20 340 360
femme 180 60 240
total 200 400 600
On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu’une personne de plus 25 ans soit un homme ?
Solution :
Soit l’événement A : la personne choisit a plus de 25 ans ; B : la personne choisit est un homme.
On obtient donc : 0,85
400 340 600 400 600 340 P(A)
B)
P(B/A)= P(A = = =
Remarque
Si A et B sont les événements de l’univers fini S alors on a :
5. FONCTION LOGARITHME | 116 n(A)
B) P(B/A)=n(A
Exemple : Le tableau ci-après indique les résultats de 570 élèves à un examen associé aux jeux.
Résultats Nombre d’élèves
1 2 3 4 5 6 7
Le résultat de l’examen est mauvais Jouer aux jeux
Le résultat de l’examen est mauvais et jouer aux jeux
Le résultat de l’examen est mauvais ou jouer aux jeux
Le résultat de l’examen est bon et ne pas jouer aux jeux
Le résultat de l’examen est bon et jouer aux jeux
Le résultat de l’examen est mauvais et ne pas jouer aux jeux
133 224 90 267 303 134 43
On choisit un élève au hasard.
Quelle est la probabilité qu’un élève choisi joue aux jeux ?
Quelle est la probabilité qu’un élève appartenant au groupe de mauvaises notes joue aux jeux ?
Solution
Soit l’ensemble A : les élèves jouent aux jeux ; B : les élèves de mauvaises notes.
On obtient :
a. 0,39
570 224 n(S)
P(A)= n(A) = =
b. 0,67
133 90 n(S)
B)
P(A/B) = n(A = =
Remarque :
P(B)P(A/B) P(A)P(B/A)
B)
P(A = =
Exemple : Dans une boîte de 24 objets il y a 4 objets défectueux, on extrait simultanément au hasard 2 objets l’un après l’autre sans remise.
Calculer la probabilité d’avoir deux objets défectueux.
Solution
Soit l’événement A : premier extrait ayant l’objet défectueux ; B : deuxième extrait ayant l’objet défectueux.
B
A : deux extraits ayant deux objets défectueux
Donc .
46 1 23
3 24 P(A)P(B/A) 4 B)
P(A = = =
134
A B
90 43
303
5. FONCTION LOGARITHME | 117
7. Événements indépendants Définition :
On dit que deux événements A et B sont indépendants si
P(B) P(A) B)
P(A = ou encore, si P(A/B)=P(A)(dans le cas où P( )B 0).
Propriété :
Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si
P(B)
P(B/A)= ou P(A/B)=P(A).
Exemple : On considère une mobylette qui n’est pas en très bon état. La probabilité de « tomber en panne de moteur » est 4% . On choisit au hasard deux mobylettes l’une après l’autre.
Calculer la probabilité de chacun des événements.
a. d’avoir deux mobylettes en pannes de moteur ; b. d’avoir l'une en panne et l’autre en état de marche.
Solution :
Soit l’événement A : tomber en panne de moteur B : en état de marche.
A et B sont indépendants, donc :
016 , 0 04 , 0 04 , 0 ) ( ) ( ) pannes en mobylettes deux
(
a. P =P A P A = =
0384 , 0 96 , 0 04 , 0 ) ( ) ( ) marche autre
l' et panne en une ' (
b. P l =P A P B = =
8. Probabilités totales Théorème :
Soit B1, B2,,Bn une partition de l’univers S.
, B ...
B B
S= 1 2 n ,
=
j
i B
B , i j, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.
Si pour tout événement A, AS alors :
) B (A ...
) B (A ) B (A
A= 1 2 n , (ABi)(ABj)=,(i j)et
).
)P(B P(A/B ...
) )P(B P(A/B )
)P(B P(A/B
) B P(A ...
) B P(A ) B P(A
)) B (A ...
) B (A ) B P((A P(A)
n n 2
2 1
1
n 2
1
n 2
1
+ + +
=
+ +
+
=
=
On obtient donc :
B1 B2 B3 ...
A
Bn
5. FONCTION LOGARITHME | 118 .
) )P(B P(A/B
) )P(B P(A/B ...
) )P(B P(A/B )
)P(B P(A/B P(A)
n
1 i
i i
n n 2
2 1
1
==
+ + +
=
Exemple : Deux sacs A et B indiscernables contiennent respectivement : urne A : 4 boules blanches, 2 boules noires ;
urne B : 3 boules blanches, 5 boules noires.
On tire une boule au hasard dans le sac A et on la met dans le sac B.
Sachant que l’on tire une boule au hasard dans le sac B, quelle est la probabilité pour qu’elle soit noire ?
Solution :
Soit l’événement A : tirage d’une boule noire du sac B ; B1 : tirage d’une boule noire du sac A ; B2 : tirage d’une boule blanche du sac A ;
A
B1 : une boule noire venue de A et une boule noire venue de B ;
A
B2 : une boule blanche venue de A et une boule noire venue de B.
On obtient donc :
27 16
9 5 5 4 9 6 6 2
) )P(A/B P(B
) )P(A/B P(B
A) P(B A) P(B P(A)
2 2
1 1
2 1
=
+
=
+
=
+
=
9. Formule de Thomas BAYES (1702-1761) Soit B1, B2,,Bn une partition de l’univers S.
, B ...
B B
S= 1 2 n ,
=
j
i B
B , i j, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.
Si pour tout événement A : AS et P(A)0 alors :
== n
1 i
i i)P(B) P(A/B
P(A) (Probabilités totales)
Et la probabilité d’un événement dont on sait qu’une de ses « causes » s’est
B1 B2 B3 ...
A
Bn
5. FONCTION LOGARITHME | 119
produite est :
==
=
n
1 i
i i
j j
j j
) )P(B P(A/B
) )P(B P(A/B
P(A) ) B /A) P(A
P(B
Exemple : Trois sacs A, B et C contiennent des boules de trois couleurs.
boule sac A sac B sac C
blanche 3 1 3
jaune 2 3 1
bleue 4 2 2
On choisit au hasard l’un de trois sacs ; ensuite on tire au hasard une boule dans le sac choisi. La boule tirée est jaune.
Quelle est la probabilité de choisir le sac B ? Solution :
A, B et C forment une partition de S.
B1,B2, B3 : le sac choisi est respectivement A, B et C E : la boule tirée est jaune
E /
B2 : il s’agit de tirer une jaune du sac B.
3 ) 1 P(B ) P(B )
P(B1 = 2 = 3 = (trois sacs A, B et C indiscernables)
6 . ) 1 P(E/B 6 ,
) 3 P(E/B 9 ,
) 2
P(E/B1 = 2 = 3 =
== n
1 i
i i
2 2 2
) )P(B P(E/B
) )P(B B /E) P(E
P(B
( 1) ( ) (1 2) ( ) (2 3) ( )3 2
2
B P E/B P B P E/B P B P E/B P
) )P(B B / P(E
+
= +
16
9 3 1 6 1 3 1 2 1 3 1 9 2
3 1 2 1
=
+
+
=
5. FONCTION LOGARITHME | 120
Exercices
1. Une boîte contient 5 boules vertes, 3 boules rouges et 4 boules jaunes. On tire au hasard une boule de cette boîte.
Quelle est la probabilité de tirer : a. une boule verte ?
b. une boule rouge ? c. une boule jaune ?
d. une boule rouge ou verte ? e. une boule jaune ou rouge ? f. une boule bleue ?
2. Dans un lot de 24 fabricants, on a constaté que : . 18 présentent le bon,
. 6 présentent le défaut, . 2 ne peuvent pas utiliser.
On choisit 3 fabricants au hasard dans ce lot. Quelle sont les probabilités de chacun des événements suivants :
a. les fabricants sont bons ?
b. n’a pas eu les fabricants qui ne peuvent pas utilisés ?
3. Un sac contient 6 boules rouges, 4 boules blanches et 3 boules bleues. On tire 3 boules dans le sac l’une après l’autre.
Quelle est la probabilité d’avoir 3 boules respectives : rouge, blanche, noire : a. Avec remise ? b. sans remise ?
4. Pour tester la quantité des œufs dans une ferme, on tire au hasard 6 de 120 œufs.
Si les 6 œufs sont bons alors les 120 œufs sont bons. Si dans 120 œufs, il y a 10 œufs qui ne sont pas bons alors quelle est la probabilité d’accepter que les 120 œufs sont bons ?
5. Une compagnie a établi une statistique suivante, pour 6 derniers mois de l’année
2009.
Bénéfice (en millions kips) Probabilité
Moins de 80 0,15
80-159,9 0,30
160-209,9 0,35
210-259,9 0,15
260 ou plus 0,05
Calculer les probabilité de chacun des événements suivants : a. La bénéfice n’a pas dépassé de 159,9 millions kips, b. La bénéfice est plus de 159,9 millions kips,
c. La bénéfice est comprise entre 160 et 259,9 millions kips.
5. FONCTION LOGARITHME | 121
6. Voici un tableau concernant le niveau d’étude de 400 employés d’une entreprise pour programmer leur formation.
Sexe
Niveau d’étude Brevet d’étude du
premier cycle
Brevet d’étude du deuxième cycle
Université
Homme 144 100 18
Femme 88 42 8
On choisit au hasard un employé de cette entreprise.
Quelle est la probabilité que cet employé : a. ait un brevet d’étude du premier cycle ?
b. soit un homme et ait un brevet d’étude du deuxième cycle ? c. soit une femme et de niveau d’Université ou supérieur ?
7. Un dentiste travaille avec un infirmier et une infirmière. La probabilité que l’infirmier soit absent est de 0,05. La probabilité que l’infirmière soit absente est de 0,03 et la probabilité que les deux infirmiers soient absents est de 0,02.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a. au moins un de ces deux soit absent
b. au moins un de ces deux aille au travail.
8. La météorologie d’une région a deviné le climat d’un jour suivant. La probabilité qu’il va pleuvoir est de 0,4. La probabilité qu’il y aura l’orage est de 0,7. La probabilité qu’il va pleuvoir et qu’il y aura l’orage est de 0,3. Quelle est la probabilité qu’il va pleuvoir ou qu’il y aura l’orage dans ce jour ?
9. Dans un lycée, il y a 47% de filles, 53% de garçons, 65% d’élèves ont plus de 15
ans. On sait que 40% de filles ont moins de 15 ans. On choisit un élève au hasard dans ce lycée.
Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit une fille ou soit l’élève de 15 ans ?
10. Voici un tableau concernant le pourcentage de profession des habitants d’une ville.
On choisit au hasard un habitant de cette ville. Quelle est la probabilité que l’habitant choisi soit un fonctionnaire ou bien soit une femme ?
11. Dans une boîte de 12 lampes, il y a 4 lampes éteintes. On choit au hasard deux lampes l’une après l’autre. Le premier tirage est la lampe bonne. Quelle est la probabilité que le deuxième tirage est la lampe bonne ?
Profession homme femme total fonctionnaire 20% 20% 40%
ouvriers 50% 10% 60%
total 70% 30% 100%
5. FONCTION LOGARITHME | 122
12. Trois machines fabriquent 1000 produits dans les proportions suivantes : 300 par la machine A, 250 par la machine B et 450 par la machine C. Les fiabilités respectives des machines A, B, C sont 0,01, 0,02 et 0,04. On choisit au hasard un produit.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a. le produit choisi représente le défaut
b. le produit choisi représente le défaut venant de la machine C c. le produit choisi représente le défaut venant de la machine A.
13. Soit A et B deux événements indépendants tels que P(A)=0,6,P(B)=0,2.
Calculer la probabilité des événements suivants : a. A n’est pas réalisé ;
b. A ou B est réalisé ;
c. A est réalisé sachant que B est réalisé d. A est réalisé tandis que B non.
14. Deux urnes U1 et U2 indiscernables contiennent respectivement : urne U1 : 2 boules blanches, 3 boules noires ;
urne U2 : 4 boules blanches, 5 boules noires.
On choisit au hasard une boule dans l’urne U1 puis la jette dans l’urne U2. Si on tire une boule au hasard dans l’urne U2, calculer la probabilité qu’elle soit blanche.
15. Deux urnes U1 et U2 indiscernables contiennent respectivement : urne U1 : 2 boules blanches, 3 boules noires ;
urne U2 : 4 boules blanches, 5 boules noires.
On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne ; elle est blanche.
Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’urne U1.
16. Trois machines fabriquent les produits dans les proportions suivantes : 60% par la machine A, 25% par la machine B et 15% par la machine C. Les produits représentent les défauts respectifs des machines A, B, C sont 3%, 4% et 5%.
On choisit au hasard un produit. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
a. le produit choisi présente le défaut
b. le produit choisi présente le défaut venant de la machine A.
