Chapitre II
Transitions de phase
Maxime Baczyk
Je discute ici la physique des transitions de phase et des phénomènes critiques à travers le modèle d’Ising.
Table des matières
1 Transition ferromagnétique 2
2 Brisures spontanées de symétrie 2
3 Cas du modèle d'Ising 4
4 Invariance d'échelle et universalité 5
5 Phénomènes critiques 7
6 Exposants critiques et classes d'universalité 7 7 Dimension critique inférieure du modèle d'Ising 10
Ce chapitre constitue une introduction aux phénomènes critiques en se basant sur la transition ferromagnétique intervenant dans les métaux à basse tempéra- ture.
1 Transition ferromagnétique
Dans une transition de phase, les caractéristiques du système au niveau macro- scopique changent subitement quand un paramètre extérieur varié continument franchit une valeur critique.
An de xer les idées, on considérera que ce paramètre est la température.
On obtient ainsi une phase basse température et une phase haute température ; les deux phases étant délimitées par un point critique. Ces deux phases pos- sibles pour le système physique présentent des caractéristiques macroscopiques bien diérentes.
On s'intéresse plus particulièrement à la transition para-ferromagnétique in- tervenant dans les milieux magnétiques tels les métaux par exemple. C'est un archétype de transition de phase et celle-ci est bien décrite par le modèle d'Ising.
Dans la transition ferromagnétique, la température T représente le paramètre extérieur essentiel que l'expérimentateur peut faire varier. En l'absence de champ magnétique extérieur, on distingue deux phases : à haute température T > Tc, le système n'est pas aimanté alors que pour T < Tc il apparaît une aimantation spontanée dans le système. La phase haute température est dite phase paramagnétique tandis que celle de basse température, où le système paraît aimanté spontanément, s'appelle la phase ferromagnétique.i
2 Brisures spontanées de symétrie
Une transition de phase continueii s'accompagne toujours d'une brisure spon- tanée de symétrie.
Dans le cadre de la transition ferromagnétique, le système est subitement mag- nétisé dans une direction lorsque la température devient inférieure à la tempéra- ture de CurieTc. Plus précisément, au sein de cette phase de basse température, le vecteur représentant l'aimantation totale du système n'est pas nul et pointe dans une direction privilégiée. Puisque le système présentait initialement une symétrie par rotation dans l'espace à trois dimensions et qu'il n'y avait au- cune direction privilégiée,iii on dit que cette symétrie est spontanément brisée lorsqu'on passe en phase basse température. Au contraire, dans la phase param- agnétiqueT > Tc où le désordre domine, la somme vectorielle des aimantations des atomes est nulle et le système n'est donc pas aimanté ; celui-ci reste ainsi symétrique par rotation et l'isotropie de l'espace est préservée. Cette diérence
iDans la transition ferromagnétique, la température critique de transitionTcprend le nom de température de Curie.
iiOn dénit précisément une classe de transitions appelées transitions de phases continues dans la suite du chapitre.
iiiOn parle d'isotropie de l'espace.
est fondamentale : alors que le désordre domine à haute température et que le système est totalement symétrique, ce dernier semble ordonné dans la phase de basse température et une direction privilégiée apparait. On appelle pour cette raison la phase paramagnétique la phase désordonnée du système et la phase ferromagnétique la phase ordonnée.
Un système subit en général une compétition entre la maximisation de son entropie et la minimisation de son énergie. La première est dominante à haute température et le système apparait ainsi dans une situation de désordre max- imal, c'est la phase désordonnée. Il existe cependant, sur le plan énergétique, une interaction dite d'échange qui incite les aimantations des atomes à se réar- ranger selon une direction privilégiée. Notons que cela est modélisé par le terme ferromagnétique du hamiltonien du modèle d'Ising.iv C'est cette composante énergétique qui est prédominante à basse température et qui explique l'existence de la phase ferromagnétique dans laquelle le milieu est spontanément magnétisé.
En partant d'un solide à haute température où la symétrie par rotation dans l'espace est respectée, il est nécessaire de briser la symétrie pour le magnétiser.
L'une des possibilités pour le faire est donc, comme il a été précisé, de baisser la température en dessous de sa valeur critique Tc et d'entrer ainsi dans la phase ferromagnétique ; l'isotropie de l'espace est alors spontanément brisée. Une seconde possibilité consiste à appliquer un champ magnétique extérieur sur le système dans une direction privilégiée ; la symétrie par rotation est donc dans ce cas explicitement brisée par le champ extérieur. Il apparaît alors en général une aimantation totale pour le système parallèle au champ magnétique extérieur imposé. Ce dernier phénomène s'appelle le paramagnétisme. Ainsi, un solide magnétisé a toujours subi une brisure de symétrie : cette dernière est explicite dans la cas du paramagnétisme ou bien spontanée dans le cadre du ferromag- nétisme à basse température.
On souligne que l'ensemble des symétries du système forment un groupe au sens mathématique.v Une symétrie du système s'identie à une transformation des degrés de liberté qui laisse invariant le hamiltonien. Dans le cas d'une tran- sition de phase, certaines symétries sont brisées en dessous de la température critique. Ainsi, si l'on note G le groupe de symétrie associé au hamiltonien du système, alors la symétrieGest brisée en phase basse température et l'état macroscopique résultant présente moins de symétries : il est symétrique sous un groupe de transformationsHqui est un sous groupevideG. Ceci est discuté plus en détail dans la suite pour le modèle d'Ising classique et sa généralisation vectorielle.
ivLe modèle d'Ising présenté dans ce cours est classique mais, même en mécanique quan- tique, il est possible de justier une interaction d'échange entre spins de la forme−J ⃗S1. ⃗S2.
vUn groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne ; celle-ci permet de composer deux éléments de l'ensemble pour en obtenir un autre. Le groupe est la struc- ture algébrique la plus simple en mathématiques. On impose à la loi interne de vérier trois axiomes : elle est associative, possède un élément neutre et tout élément du groupe est symétrisable par rapport à cette loi (autrement dit, les éléments du groupe possèdent tous un inverse).
viUn sous groupe est un sous ensemble du groupe initial qui, avec la restriction de la loi de composition interne, forme lui-même un groupe.
3 Cas du modèle d'Ising
Concernant le modèle d'Ising, il a été montré que celui-ci décrivait bien une transition de phase avec une température critique non nulle en dimensions2et 3(voir la section 7). Dans ce cas, c'est la symétrieZ2de renversement des spins qui est spontanément brisée.
En eet, comme détaillé dans le chapitre précédent, le hamiltonien du modèle d'Ising en l'absence de champ extérieur est invariant par l'opération de renverse- ment de tous les spins. Cette transformation et l'identité forment un groupe non trivial à deux éléments isomorphe àZ2. Il est possible de montrer que cette symétrie est spontanément brisée à la limite thermodynamiqueN → ∞dans le modèle d'Ising sans champ extérieur en dimensiond⩾2.
Pour la transition ferromagnétique, on a expliqué précédemment que l'aiman- tation totale du système macroscopique va caractériser la phase : ce vecteur est nul en phase désordonnée et prend une valeur non nulle dans la phase de basse température. Cette grandeur physique est alors appelée paramètre d'ordre as- socié à la transition.
On s'attache donc à dénir le paramètre d'ordre dans le modèle d'Ising : l'aimantation locale va s'identier à la moyenne thermique d'un spin et l'aiman- tation globale du système sera la moyenne arithmétique des aimantations lo- cales. Ce qui veut dire :
mi =⟨Si⟩=X
C
SiP(C) = X
S1,···,SN
Si
Z e−βH(S1,···,SN) (3a) et :
M= 1 N
X
i
mi (3b)
On a utilisé l'expression de la probabilité d'une conguration qui a été intro- duite dans le premier chapitre.
Notons qu'il est également utile de dénir la susceptibilité magnétique : on la dénit précisément comme la dérivée partielle de l'aimantation par rapport au champ extérieur (prise en champ nul).
χ=∂hM⌋h=0 (3c)
où∂h=∂/∂hest une notation pour l'opération de dérivée partielle.
Le paramètre d'ordre qui représente l'état macroscopique du système est l'aiman- tation globaleM. Elle représente la solution du système et, d'après les symétries du hamiltonien, elle est nécessairement nulle en présence de la symétrie par ren- versement :
M=−M ⇒ M= 0 (3d)
En fait, on peut montrer qu'à la limite thermodynamique où le nombre de de- grés de liberté est macroscopique, l'aimantation est non nulle pour T < Tc en dimensions2et 3.
En phase basse température et au voisinage de la température critiqueT →Tc−, l'aimantation se comporte comme :
M ∼(Tc−T)β (3e) où β, qui décrit la loi de puissance, est appelé exposant critique associé à la transition.
Il est important de souligner que l'exposant β est indépendant des détails mi- croscopiques du système et sa valeur est la même pour toute une classe de transitions de phases. A l'aide du groupe de renormalisation,vii on peut mon- trer queβ ne dépend que de la dimensionddans le modèle d'Ising.
On peut étendre cette discussion à un modèle vectoriel : considérons un modèle plus général où les spins sont des vecteurs de norme unité dans un espace de dimensionn⩾1:
S⃗i∈Rntel que∥S⃗i∥= 1 (3f) Les spins pointent donc sur la sphère de dimensionn−1incluse dansRn. On note, qu'ici, il y a donc deux dimensions en jeu : d est toujours la di- mension de l'espace physique et nest celle de l'espace interne aux spins.
Dans ce cas, il est possible de généraliser le hamiltonien du modèle d'Ising en imposant la symétrie par rotation dans l'espace interne ; celle-ci est représentée par le groupe de symétrie O(n). Ce modèle présente également une transition de phase avec une brisure spontanée de la symétrie O(n)en phase basse tem- pérature. La symétrie persistante dans cette phase étant O(n−1) qui est un sous groupe de O(n). D'une façon générale, le schéma de brisure de symétrie est donc :
O(n)−→O(n−1) (3g)
Les exposants critiques comme β dépendent de la dimension d de l'espace mais aussi du schéma de brisure de symétrie, donc de n. On parle de classe d'universalité pour les transitions présentant les mêmes exposants critiques.viii Le modèle d'Ising correspond au cas où l'espace interne est de dimensionn= 1 avec une brisure de la symétrieZ2=O(1).
4 Invariance d'échelle et universalité
Une quantité physique centrale dans le problème des transitions de phases est la longueur de corrélationξ. Celle-ci peut se dénir comme la distance à par- courir pour que les spins varient signicativement ; autrement dit,ξest la taille typique d'un domaine de spins alignés. A priori, la longueur de corrélation aug- mente quand la température diminue. En fait, cela n'est vrai qu'en l'absence
viiLa méthode du groupe de renormalisation sera abordée en détail dans un chapitre ultérieur.
viiiDans le modèle vectoriel, une classe d'universalité est donc caractérisée par un couple (d;n).
de transition de phases.
On va s'intéresser ici aux fonctions de corrélations connexes et non connexes qui s'identient respectivement aux cumulants et aux moments des spins. Le cumulant d'ordre 1 est égal au moment d'ordre1 qui est l'aimantation locale.
En physique statistique, on parle plutôt de fonction de corrélation connexe ou non connexe àn points pour le cumulant ou le moment d'ordren. On dénit ainsi les fonctions de corrélation à deux points :
Gij=⟨SiSj⟩ (4a) et :
Gijc =⟨SiSj⟩ − ⟨Si⟩⟨Sj⟩ (4b) On observe que la fonction de corrélation connexe Gijc décroit de manière ex- ponentielle en fonction de la distance rij entre les sites i et j avec un taux de décroissance égale àξ:
Gcij∼e−rijξ (4c) La taille moyenne des amas de spins ξ est une grandeur fondamentale dans le sens où elle représente une échelle de longueur caractéristique dans le système.
Un point crucial est la divergence de la longueur de corrélation au point critique :
ξ→+∞ (4d)
pour T →Tc et h= 0. Cette perte d'échelle typique pour le système implique l'invariance d'échelle : ce dernier présente des uctuations et des amas à toutes les échelles au point critique.
Plus précisément, le système au point critique est invariant sous les transforma- tions du groupe de renormalisation : autrement dit, le point critique est un point xe dans le groupe de renormalisation. Dans sa version la plus simple, celui-ci consiste à diminuer le nombre de degrés de liberté du système en utilisant des variables dites "de blocs-spins" représentant un spin moyen associé à un bloc.
Il est alors possible d'en déduire le nouveau hamiltonien associé à ces variables en intégrant les uctuations internes aux blocs (on impose la conservation de la fonction de partition du système). Cette étape, suivi d'un changement d'échelle par diminution du pas du nouveau réseau obtenu, constitue une transformation du groupe de renormalisation. Le hamiltonien au point critique(T =Tc;h= 0) est un point xe sous ces transformations.
Dans le cadre de la théorie du groupe de renormalisation, il est possible de mon- trer que l'invariance d'échelle implique un comportement singulier des grandeurs thermodynamiques au point critique : ces dernières ne sont pas analytiques au point de transition et peuvent présenter des discontinuités ou des divergences.
De plus, au voisinage du point critique et à l'approche de celui-ci, les grandeurs thermodynamiques se comportent comme des lois de puissance universelles en fonction des paramètres extérieurs T−Tc et h. Par exemple, la loi que décrit l'aimantation dans la phase ferromagnétique est donnée par l'Eq. (3e). En
eet, grâce aux idées du groupe de renormalisation, on peut démontrer que l'invariance d'échelle conduit à des comportements en lois de puissance à l'approche du point xe et que ceux-ci ne dépendent pas des détails microscopiques ; ces lois sont les mêmes pour toute une classe de transitions de phases. On note, par exemple, que le paramètre d'ordre associé à la transition liquide-gaz dans les uides vérie également la loi (3e) avec la même valeur de l'exposantβ que dans la transition ferromagnétique et sa description par le modèle d'Ising.
5 Phénomènes critiques
La discussion de la section précédente s'applique pour tout un type de transitions de phases appelées transitions continues ou phénomènes critiques. Ceux-ci sont en particulier caractérisés par une divergence de la longueur de corrélation et des comportements en lois de puissance pour les grandeurs thermodynamiques dans le régime critique, c'est à dire, au voisinage du point critique.
Selon la classication de Landau des transitions de phases, on dit qu'une tran- sition est d'ordrep⩾1 si une dérivéep−1-ième du paramètre d'ordre est dis- continue ou diverge au point critique. On distingue les transitions d'ordre1qui présentent une discontinuité du paramètre d'ordre et celles d'ordres supérieurs où ce dernier est continu. On dénit précisément une transition continue comme une transition d'ordre p ⩾ 2. On appelle phénomène critique un système au voisinage d'un point critique associé à une transition continue.
Le modèle d'Ising permet de décrire une transition de second ordre.
6 Exposants critiques et classes d'universalité
Dans le régime critique d'une transition continue, les grandeurs thermody- namiques macroscopiques qui caractérisent le système se comportent comme des lois de puissance universelles. On considère ici une transition de second ordre.
Comme déjà mentionné, l'aimantation est nulle pour T > Tc et, dans la phase ferromagnétique, on observe le comportement suivant :
M ∼(Tc−T)β (6a) pour T → Tc−. β est un exposant critique universel. La relation ci-dessus est valable pour une températureT proche de la température de Curie et avec un champ extérieur nulh= 0.
Dans une transition du second ordre, la susceptibilité magnétique diverge au point critique et vérie :
χ∼ 1
|T−Tc|γ (6b)
pour T→Tc et h= 0. Cette relation dénit l'exposant critiqueγ >0.ix. Un autre exposant, noté αet également déni dans le régime critiqueT →Tc
et h= 0, caractérise la capacité calorique.x On observe en eet : CV ∼ 1
|T−Tc|α (6d) On dénit aussi un exposantδenT =Tc et en approchant le point critique par h→0 :
M ∼ |h|1/δ (6e)
Enn, deux autres exposants sont introduits pour caractériser le comportement critique de la fonction de corrélation. Comme déjà évoqué, la longueur de corrélation diverge au point critique et l'on a plus précisément :
ξ∼ 1
|T−Tc|ν (6f) quand T →Tc eth= 0. Cela dénit l'exposant critique ν. Enn, exactement au point critique, la fonction de corrélation perd sa décroissance exponentielle dans l'espace (voir Eq. (4c)) et présente une décroissance lente également en loi de puissance en fonction de la distance. On a pourT =Tc eth= 0:
Gijc ∼ 1
rd−2+ηij (6g)
oùrij dénote la distance entre les sitesietjsur le réseau. Ce dernier exposant notéηest déni au point critique ; il ne dépend que du point xe dans le groupe de renormalisation et, en théorie des champs,xis'appelle la dimension anormale du champ.xii
Compte-tenu des équations (4c) et (6g), la fonction de corrélation se comporte dans le régime critique T→Tc et h= 0comme :
Gijc ∼ e−rij/ξ
rd−2+ηij (6h)
ixComme la susceptibilité s'exprime par une dérivée première de l'aimantation, la transition de phase considérée ici est nécessairement du second ordre
xLa capacité calorique ou chaleur spécique molaire est dénie par :
CV =∂TE oùEest l'énergie moyenne du système :
E=⟨H⟩=X
C
H(C)P(C) (6c)
xiOn peut considérer un modèle continu dans la limite où le pas du réseau tend vers zéro : on passe d'une quantité dénombrable de variables aléatoires à un champ aléatoire dans l'espaceϕ(x).
xiiCelle-ci est nulle dans le cadre de l'approximation de champ moyen où les uctuations sont négligées ; ceci est abordé dans le chapitre 4.
On obtient de cette manière un jeu de six exposants caractérisant le modèle dans le régime critique. Cependant, il existe des relations entre ces exposants.
Sans rentrer dans les détails des démonstrations, ces relations valables pour toute dimension peuvent s'établir grâce au groupe de renormalisation ou bien en postulant des formes d'échelle pour les grandeurs physiques. Ces relations sont au nombre de quatre et s'appellent relations d'échelle :
α= 2−νd (6i)
β= ν
2(d−2−η) (6j)
γ=ν(2−η) (6k)
δ= d+ 2−η
d−2 +η (6l)
oùddésigne toujours la dimension de l'espace. Ces relations sont vériées pour les dimensions physiques1,2et 3.xiii
Par conséquent, une transition du second ordre est caractérisée par deux ex- posants critiques indépendants : on retrouve les autres grâce aux relations d'échelle.
On retrouve dans la nature beaucoup de transitions continues qui présentent les mêmes exposants critiques ; on dit alors que ces transitions appartiennent à la même classe d'universalité. Les classes d'universalité ne dépendent que de paramètres très généraux comme la dimension de l'espace physique, la dimen- sion de l'espace interne ou encore le schéma de brisure de symétrie.
De cette façon, le modèle d'Ising apporte deux classes d'universalité non triv- iales : l'une associée au modèle bidimensionnel et l'autre au modèle tridimen- sionnel. En fait, le modèle décrit aussi une transition triviale en dimension 1, la température critique est alors identiquement nulle et il est possible de dénir les exposants critiques pourd= 1.
Il existe des solutions exactes, c'est à dire analytiques, aux modèles d'Ising uni- dimensionnel et bidimensionnel. A l'équilibre thermodynamique, il est possible de montrer que l'énergie libre du système est minimale et l'expression de cette dernière en fonction des paramètres extérieurs permet de déduire les exposants critiques.xiv L'énergie libre est dénie comme :
F=−1
βlnZ (6m)
xiiiComme discuté ensuite, on peut dénir une transition de phase triviale avecTc= 0dans le modèle unidimensionnel
xivOn montre cela en annexes dans le chapitre 3.
Contrairement à la solution d'Ising en dimension 1, la solution d'Onsager pour le modèle bidimensionnel prévoit l'existence d'une phase ferromagnétique à basse température, c'est à dire, une température de Curie non nulle.
On utilisera souvent les exposants ν et η pour caractériser la transition. Con- cernant la dimension2, la solution d'Onsager donne exactement :
ν = 1 (6n)
et
η=1
4 (6o)
Pour le modèle tridimensionnel, il n'existe à ce jour pas de solution exacte.
En revanche, des méthodes d'approximation poussées basées sur le groupe de renormalisation et des développements perturbatifs prévoient également une transition de phases et permettent de calculer numériquement et précisément les exposants. On obtient notamment pour d= 3avec un développement per- turbatif à sept boucles :
ν= 0,6301 (6p)
et
η= 0,0335 (6q)
7 Dimension critique inférieure du modèle d'Ising
Dans le modèle unidimensionnel, l'ordre ferromagnétique n'existe pas pourT >
0. Cela a été compris il y a longtemps par Peierls et Landau grâce à un argu- ment simple ; on s'attache dans un premier temps à reproduire cette discussion.
On commence par rappeler le hamiltonien pour une chaîne de N spins d'Ising avec une interaction ferromagnétique entre plus proches voisins et sans champ extérieur.
H=−J
N−1
X
i=1
SiSi+1 (7a)
On considère l'état fondamental du système, c'est à dire une conguration où tous les spins pointent dans le même sens, et l'on renverse un segment denspins.
Le coût énergétique associé à cette excitation est indépendant de la taille du segment retourné et est égal à4J. A température non nulle, ce renversement est favorable pour le système si et seulement si ce dernier implique une diminution de son énergie libre. Puisque le segment retourné peut être placé en tout point de la chaîne, l'entropie de l'excitation étudiée est de l'ordre delnN (on suppose N grand devantn). On en déduit la variation de l'énergie libre du système :
∆F ≃4J−TlnN (7b)
Ainsi, pour toute température non nulle, cette variation est négative lorsqueN est susamment grand. A la limite thermodynamique, ce renversement est donc favorable pour le système : des excitations de taillenarbitrairement grande sont alors générées et l'ordre ferromagnétique est détruit. En conclusion, la phase
ordonnée n'est pas un état d'équilibre pour le système à température nie.
On souligne que l'absence de transition de phases en dimension 1 se démon- tre également de façon rigoureuse par la matrice de transfert du modèle et cela est généralisable quel que soit le modèle, du moment que les interactions sont de portée nie.xv
On note enn que l'argument précédent ne peut s'appliquer en dimensiond >1 dans laquelle le modèle d'Ising présente une transition de phase. En eet, lorsque la dimension est strictement supérieure à 1, le coût énergétique de l'excitation n'est plus indépendant de la taille du domaine retourné. Pour le renversement d'une région hypercubique de taille Ld, l'augmentation de l'énergie est alors de l'ordre de J Ld−1 (ce qui correspond à l'énergie de surface du domaine con- sidéré). De cette manière, renverser de larges domaines devient très coûteux énergétiquement ; puisque l'entropie est toujours en logN, l'ordre ferromagné- tique peut être maintenu pour une température susamment basse.
Pour ces raisons, la dimension1 joue un rôle particulier dans le modèle d'Ising et est appelée dimension critique inférieure du modèle.
dc,inf= 1 (7c)
Le modèle prédit une transition de phase quel que soitd > dc,inf.
xvOn reprendra cette discussion dans un chapitre ultérieur en considérant des interactions de portées innies en dimension1.
