HAL Id: jpa-00213707
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Submitted on 1 Jan 1969
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LES TRANSITIONS DE PHASE DU SYSTÈME D’ELLIPSES DURES CLASSIQUES
J. Vieillard-Baron
To cite this version:
J. Vieillard-Baron. LES TRANSITIONS DE PHASE DU SYSTÈME D’ELLIPSES DURES CLAS- SIQUES. Journal de Physique Colloques, 1969, 30 (C4), pp.C4-22-C4-23. �10.1051/jphyscol:1969405�.
�jpa-00213707�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 4, supplément au no 11-12, Tome 30, Non-Déc. 1969, page C 4
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22LES TRANSITIONS DE PHASE
DU SY STÈME D'ELLIPSES DURES CLASSIQUES
J. VIEILLARD-BARON
Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies. Bât. 211. Faculté des Sciences, 91, Orsay
Résumé.
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A l'aide de calculs de Monte-Carlo dans l'ensemble canonique, nous avons misen évidence l'existence de deux transitions de phase du premier ordre, pour un système (à deux dimen- sions) constitué par 170 ellipses dures allongées (dont le rapport des axes principaux vaut 6), se heurtant élastiquement les unes contre les autres : une transition de phase du type solide-nématiqueà très haute densité et une transition de désorientation à une densité environ 1,5 fois plus faible.
Cette étude suggère que les effets d'encombrement pourraient jouer un rôle essentiel dans la transition de désorientation des nématiques.
Abstract. - With the help of Monte-Carlo calculations in the canonical ensemble, two first order phase transitions have been clearly displayed for a two-dimensional system of 170elongated hard ellipses (the ratio of the principal axes being 6 to l), which were a k w e d to coliide elastically.
The first transition is of the solid-nematic type and occurs at very high density,
The second phase change is a desorientation transition and occurs approximatively at a 1.5 tirnes lower density.
This work suggests that the geometrical effects play a dominant part in the desorientation transition of the nematics.
L'intérêt de ce modèle à deux dimensions, constitué par des ellipses dures se heurtant élastiquement les unes contre les autres, est qu'il semble être une cari- cature raisonnable d'un cristal liquide : on sait que, dans Ia nature, Ie système formé par certaines molé- cules allongées présente trois états : entre l'état liquide et l'état solide se situe un état intermédiaire, dit néma- tique, pour lequel les molécules, dont les centres de gravité sont désordonnés, possèdent un ordre direction- nel. Une transition du premier ordre sépare la phase nématique de la phase liquide habituelle. On est tenté de penser que ce changement d'état est dû avant tout à des facteurs purement géométriques.
Nous avons mis en évidence deux transitions de phase du premier ordre causées par des effets d'encom- brement : une transition ordre-désordre pour les centres de gravité, comme pour les disques durs
[Il
; une transition ordre-désordre portant sur l'orientation : à haute densité les ellipses sont coincées et pointent en moyenne dans la même direction ; à plus basse densité, les ellipses peuvent tourner et l'ordre directionnel se détruit. Un système à deux dimensions a été choisi comme premier exemple. Il a l'avantage d'être plussimple, mais l'ordre angulaire, comme l'ordre elliptique solide, ne se maintient sans doute pas à grande dis- tance.
Considérons donc un système d'ellipses de demi- grand axe a et de demi-petit axe b, à très haute densité.
Si, partant d'un système de disques de rayon unité dans l'état d'empilement maximum, nous faisons l'affinité orthogonale : x' = ax, y' = by, nous obtenons un système d'eIIipses dont les longueurs des demi- axes sont a et b et qui se trouvent dans un état de densité maximum. Si, avant d e faire l'affinité, nous faisons tourner l'axe Ox, nous engendrerons par cette transformation une infinité continue d'états qui ne se déduisent pas les uns des autres par déplacement. Ces états (où les axes des ellipses sont parallèles) ont tous la même densité maximum p, et l'on a évidem- ment : p, ab = 112
43.
Supposons que les N ellipses se trouvent dans une boîte d'aire A, ayant la forme d'un parallélogramme compatible avec l'un des réseaux solides, et satisfont aux conditions aux limites périodiques. Comme nous l'avons prouvé analytiquement, quand A tend vers l'aire minimum Ao, le facteur de compressibilité
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1969405
LES TRANSITIONS D E PHASE D U SYSTÈME D'ELLIPSES DURES CLASSIQUES C 4 - 2 3 PAINkT, totalement indépendant de la température T
dans ce modèle, tend vers l'infini comme
au lieu de
pour N disques durs [3]. La différence entre les deux expressions tient à l'apparition du degré de liberté supplémentaire dans le cas des ellipses. Le terme d'ordre 1/N est dû à l'invariance du système par translation.
Au cours du calcul de Monte-Carlo [ 2 ] , dans L'ensemble canonique, les grandeurs suivantes sont déterminées :
10 la pression, à l'aide d'une expression relativement compliquée, que l'on peut déduire du théorème du viriel ;
20 le facteur de structure :
~ ( k ) = - 1
< C
cos [k(ri-
ri)]>.
N i , j
Si k, est un vecteur de base du réseau réciproque, s(k,) sera de l'ordre du nombre N d'ellipses pour un solide placé suivant le réseau initial ou translaté par rapport à celui-ci. Il sera de l'ordre de 1 pour un liquide.
30 Le paramètre d'ordre angulaire :
où
B i
est l'angle modulo n formé par une droite fixe et le grand axe de la i e ellipse. Le paramètre d'ordre M, toujours positif, vaut 1 quand le système est complè- tement orienté et est de l'ordre de 1/N dans un état de désordre.Nous avons pris N = 170 ellipses dont le rapport a/b égale 6. Le réseau solide se détruit à une densité plus grande que dans le cas des disques [ l ] où la fusion, rappelons-le, commence à l'aire relative A/Ao = 1,266, alors que pour A/Ao = l,l5, nous avons suivi le système dans son passage graduel de la branche solide à la branche nématique de l'isotherme : sur 12 x 106 configurations engendrées, le facteur de compressibilité PAINkT (moyenné chaque fois sur 1,7 x 106 configurations successives) a augmenté de 21,6 à 25 environ, alors que le facteur de structure s(k,) a décru de 70 à 10.
Nous avons pu parcourir les deux branches pour des valeurs de AIA, allant de 1,15 à 1,20.
Pour un faible nombre N d'ellipses (N valant quel- ques centaines) occupant une boîte de forme bien déterminée (nous avons pris une boîte presque carrée), le nombre de réseaux solides possibles ne se déduisant pas les uns des autres par déplacement augmente quand alb croît. Dans ces conditions, comme on peut passer d'un réseau à l'autre par un glissement, plus facile qu'une rotation d'ensemble, le facteur de structure décroît et la fusion apparaît à une densité plus élevée.
Au point A/Ao = 1,4, le système est encore très orienté : M = 0,71
+
0,01, bien que le solide soit complètement fondu : s(k,) = O,8 If: 0,4 ; on a bien atteint la phase nématique. Le système commence à se désorienter à l'aire relative A/Ao = 1,775+
0,025.Cette transition est du premier ordre, car le déblocage des angles de rotation Oi associé à cette transition s'accompagne d'un accroissement brutal du volume de l'espace de configuration, donc de l'entropie.
Mais, un seul degré de liberté par ellipse entrant en jeu dans ce changement d'état, nous n'avons pas pu distinguer nettement deux branches sur l'isotherme ; les passages de l'état nématique à la phase liquide isotrope sont très rapides. Pour la même raison, il est très difficile d'étudier les corrélations entre les éléva- tions du paramètre d'orientation M e t les abaissements de pression (pour A / A , = 1,775, M, moyenné chaque fois sur 1,7 x 106 configurations successives, fluctue entre 0,14 et 0,33).
Cependant nous avons pu observer, sur l'isotherme, une boucle analogue à celles de Van der Waals. La variation relative d'aire à la transition est comprise entre 1
%
et 2%.
En conclusion, nous venons de montrer qu'une phase cristal-liquide de type nématique peut exister grâce à des effets d'encombrement et que la désorien- tation des molécules est bien accompagnée d'une transition du premier ordre.
Je remercie Monsieur le Professeur L. Verlet de m'avoir suggéré cette étude et D. Levesque pour son aide considérable à la programmation.
Références
[ l ] ALDER (B. J.) et WAINWRIGHT (T. E.), Phys. Rev., 1962, 127. 359.
[2] WOO;(W. W.) et PARKER (F. R.), J. Chem. Phys., 1957. 27. 720.
[3] SALSBURG'(Z. 'W.) et WOOD (W. W.), J. Chem. Phys., 1962, 37, 798.
