Premier contrˆole continu de Topologie A (28/09/2016)
Premier Semestre 2016-2017
Justifier toutes les r´eponses - Le bar`eme est seulement indicatif.
Exercice 1. (2 pt.) Soitf : [a, b] → Ret(un)n∈N ∈ [a, b]N. Montrer que sif est continue enαet si(un)n∈Nconverge versαalors(f(un))n∈Nconverge. Indiquer sa limite et donner un exemple qui montre que l’hypoth`ese de continuit´e def est n´ecessaire.
Exercice2. (4 pt.) Soit(xn)n∈Nune suite r´eelle born´ee telle que
n→∞lim(xn+1−xn) = 0.
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de (xn)n∈N est exactement l’in-
tervalle �
liminf
n→∞ xn,limsup
n→∞ xn
�.
Exercice3. (4 pt.) Soita∈ Ntel que√a /∈ Q. On poseα=√a. D´emontrer qu’il existec∈Ravecc >0tel que
|qα−p|> c
q (♣)
pour tous les nombres entiersp, q∈Zavecq >0.
Indication:Soitctel que0< c <min{|α|,1/(3|α|)}. Montrer que l’ensemble
�|(qα−p)(qα+p)|: p∈Zetq∈Z>0� est minor´e par1. Utiliser ce r´esultat pour prouver l’in´egalit´e (♣).
Exercice4. (3 pt.) On dit qu’une suite(an)n∈N ∈QNestfinalement arithm´etique s’ils existentn0∈Netq∈Qtels quean+1−an =qpour toutn≥n0. D´emontrer que l’ensemble
�(an)n∈N∈QN: (an)n∈Nest finalement arithm´etique�
est d´enombrable.
Exercice5. (4 pt.) Soit(an)N∗ ∈(R∗+)N∗une suite poss´edant une valeur d’adh´erence c > 0. D´emontrer qu’il existe une bijectionσ : N∗ → N∗ telle que la suite(bn)N∗ d´efinie parbn=a1/nσ(n)soit convergente.
Indication:Soitd >1tel quec∈]d−1, d[. Montrer que l’ensemble A1=�
n∈N∗:an∈]d−1, d[�
est non vide et poserσ(1) = minA1. En employant un argument semblable, continuer la construction d’une application strictement croissanteσ : N∗ → N∗telle que la suite(bn)N∗ d´efinie parbn =a1/nσ(n)soit convergente.
Exercice6. (3 pt.) Soit(an)n∈Nune suite r´eelle. On d´efinit une suite(bn)n∈N∗ par bn=an−1+ 2anpour toutn∈N∗. D´emontrer que si(bn)n∈N∗ est convergente avec limite�, alors la suite(an)n∈Nest aussi convergente. Exprimer sa limite en fonction de�.
