Contrˆole continu n

UNIVERSITE PARIS-DAUPHINE D´epartement LSO- DUGEAD UV 44 - Statistiques II

Groupes 19

Contrˆ ole continu n ^o 2

20-01-10. Dur´ee:1h20 El´ements de correction

Calculatrices non-programmables autoris´ees. T´el´ephones portables interdits.

Aucun document autoris´e.

Probl` eme

Soit X une v.a. admettant pour densit´e, connue `a une constantek >0 pr`es, f(x;θ) =kexp(−θ|x|) pour toutx∈ R

o`uθ >0 est un param`etre inconnu `a estimer et X1, . . . , Xⁿ un n-´echantillon de X.

1. V´erifier que n´ecessairement k =θ/2 pour quef soit bien une densit´e.

On v´erifie bien que f est positive, continue (presque partou)t et que Z ∞

−∞

exp(−θ|x|)dx= 2 Z ∞

0

exp(−θx)dx = 2 θ donck =θ/2 entraˆıne que R

f(x)dx= 1 et quef est une densit´e.

2. Montrer que E(X) = 0.

Sa densit´ef est paire, donc la v.a. X est sym´etrique donc E(X) = 0.

3. En d´eduire que E(X²) = Var(X) = 2/θ². Huygens donne E(X²) = Var(X) et on calcule

E(X²) = θ 2

Z ∞

−∞

x²exp(−θ|x|)dx=θ Z ∞

0

x²exp(−θx)dx.

Par IPP, x² 7→2x etθexp(−θx)7→ −exp(−θx) on trouve E(X²) = 2

Z ∞

0

xexp(−θx)dx.

On conclut par une nouvelle IPP 2x7→2 et exp(−θx)7→ −θ⁻¹exp(−θx) : E(X²) = 2θ⁻¹

Z ∞

0

exp(−θx)dx= 2θ⁻¹[−θ⁻¹exp(−θx)]^∞0 = 2 θ².

4. D´eterminer un estimateur Tⁿ deθ par la m´ethode des moments.

La m´ethode des moments donne directement Tⁿ =

s 2n Pⁿ

i=1Xi²

.

5. Donner les propri´et´es de convergence de Tⁿ.

Etant donn´e qu’il est obtenu par la m´ethode des moments, Tⁿ est convergent en prob- abilit´e.

6. D´eterminer l’estimateur Wⁿ de θ par la m´ethode du maximum de vraisemblance.

On calcule la vraisemblance Lⁿ(θ) =

θ 2

ⁿ

exp −θ

n

X

i=1

|xⁱ|

!

son logarithme

lnLⁿ(θ) =nln(θ)−nln(2)−θ

n

X

i=1

|xⁱ|

la d´eriv´ee de son logarithme

(lnLⁿ(θ))^′ = n θ −

n

X

i=1

|xⁱ| et la d´eriv´ee seconde

(lnLⁿ(θ))^′′ =−n θ² <0

La CN est directement v´erifi´ee quelque soit θ >0 et la CS donne n

θˆ^{M V} −

n

X

i=1

|xⁱ|= 0⇐⇒θˆ^{M V} = n Pⁿ

i=1|xⁱ|

7. Calculer la fonction de r´epartition de |X|d´efinie par P(|X| ≤x) pour x >0.

On aP(|X| ≤x) =P(−x≤X ≤x) pour x >0 donc F|X|(x) =

Z ^x

−x

θ

2exp(−θ|u|)du=θ Z ^x

0

exp(−θu)du= [−exp(−θu)]^x0 = 1−exp(−θx).

8. En d´eduire que Y =|X| suit une loi exponentielle E(θ).

On reconnaˆıt dans l’expression de F|X|(x) la fonction de r´epartition deE(θ) donc Y =

|X|suit une loi exponentielle E(θ).

2

9. V´erifier, par le calcul, que E(Y) = θ⁻¹.

On fait une IPPx7→1 etθ⁻¹exp(−θy)7→exp(−θy) : E(Y) =θ⁻¹R∞

0 yexp(−θy)dy= R∞

0 exp(−θy)dy

10. En d´eduire que l’information de Fisher s’´ecrit sous la forme Iⁿ(θ) =nVar(Y).

Par d´efinitionIⁿ(θ) =nE((θ⁻¹− |X|)²) = nE((Y −E(Y))²) = nVar(Y) 11. Donner (sans calcul) Var(Y) et en d´eduire que√

n(Wⁿ−θ)−→ N^L (0, θ).

On a Var(Y) =θ⁻² d’apr`es le cours et d’apr`es l’approximation normale de Fischer on a

Wⁿ−θ∼ N(0, σⁿ)

o`uσn² =In⁻¹ =θ²/n. Le r´esultat vient de la multiplication par√

n `a droite et `a gauche de l’approximation et en faisant tendre n vers l’infini.

12. En d´eduire que √

n(Wⁿ/θ−1) est une statistique pivotale asymptotique pour θ dont on pr´ecisera la loi asymptotique.

On r´eduit le r´esultat trouv´e pr´ec´edemment en divisant par l’´ecart typeθ.

13. Construire un intervalle de confiance de niveau asymptotique 95% pour le param`etre inconnuθ.

Asymptotiquement, on a

P

√n(Wⁿ/θ−1)

≤1,96

= 0,95 ⇐⇒

P 1−1,96/√

n ≤Wⁿ/θ≤1 + 1,96/√ n

= 0,95 ⇐⇒

P (1 + 1,96/√

n)⁻¹ ≤θ/Wⁿ≤(1−1,96/√ n)⁻¹

= 0,95 d’o`u

IC95% =

Wⁿ 1 + 1,96/√

n; Wⁿ 1−1,96/√

n

14. En d´eduire une fourchette d’estimation pour θ de risque asymptotique ´egal `a 5%

sachant qu’on observe 100 observations dont la somme des valeurs n´egatives est−4723 et la somme des valeurs positives est 5178.

AN : On trouve la fourchette d’estimation 0,84%≤θ ≤1,26%

15. La fourchette d’estimation est-elle centr´ee en l’estimation ˆθ^{M V} obtenue par la m´ethode du Maximum de Vraisemblance?

On calcule wⁿ = 0,01 = 1% et la fourchette n’est pas centr´ee en 1%, 0,84 ´etant plus proche de 1 que 1,26.

3

16. En supposant l’estimation ˆθ^{M V} fix´ee, quel est le nombre d’observations n´ecessaire pour doubler la pr´ecision de la fourchette (i.e. diviser par deux sa longueur)?

La longueur trouv´ee vaut 0,41%. On recherche le plus petit n tel que wⁿ

1 1−1,96/√

n − 1

1 + 1,96/√ n

≤0,2%.

En rempla¸cantwⁿpar sa valeur 1% suppos´e constante, en r´eduisant au mˆeme d´enominateur, on trouve

2∗1,96√ n

n−(1,96)² ≤0,41

soit, en multipliant parn−(1,96)²/0,2 `a droite et `a gauche : n−19,6√

n−3,84≥0 On obtient un polynˆome en√

ndont on calcule le discriminant ∆ = 400 d’o`u la racine positive (19,6 + 20)/2 = 19,8. On en d´eduit finalement n = 393 le plus petit entier plus grand que 19,8² = 392,04.

4