Institution Notre Dame de Dakar TERMINALE L
Fonction ln et expo EXERCICE 1 Résoudre les équations suivantes
2
1; )ln
2 1
ln
3
; )ln
2
ln
4
ln
3 2
; ) 2
ln 5ln 3 0 ln ) 0 6 1 ln 1 ln ) ; 0 3 ln 5 ln 2 ) ; 3 ln 5 2 ln ln ) ; 0 2 3 ln ) ; 1 3 2 ln ) 2 2 2 2 x x i x x x h x x g e x f x x e x x d x x c x x b x aEXERCICE 2 Résoudre dans IR2
12
ln
2
ln
ln
25
)
7
ln
ln
6
ln
4
ln
3
)
20
ln
6
ln
9
1
ln
3
ln
)
2y
x
y
x
c
y
x
y
x
b
y
x
y
x
a
EXERCICE 3 Soit p
x 2x3 3x2 3x21) Calculer p
1 en déduire une factorisation complète de p
x 2) Résoudre 2
lnx 33
lnx 2 3lnx203) Résoudre p
x 04) Résoudre 2
lnx 33
lnx 2 3lnx20 EXERCICE 51) Développer
x1
2x1
x3
2) Résoudre dans IR les équations suivantesa)2
lnx 3 7
lnx 2 2lnx30 b)ln
2x3
ln
x2 2x2
ln
8x9
EXERCICE 6Etudier et représenter les fonctions définies par :
x
x
x
f
d
x
x
x
h
c
x
x
x
g
b
x
x
f
a
1
5
ln
)
1
1
2
ln
)
ln
)
ln
1
)
EXERCICE 7 Soit
2
2
ln
2
)
(
x
x
x
x
f
1) Etudier le signe de 2 2 x xet en déduire l’ensemble de définition de la fonction 2) Calculer f
x et étudier son signe3) Trouver les limites aux bornes de l’ensemble de définition puis dresser le tableau de variation de f 4) Vérifier que la droite d’équation y x2 est asymptote à la courbe représentative de f 5) Tracer Cf
EXERCICE 8
2
ln
1
2
1
x
x
x
x
f
Soit
1) déterminer l’ensemble de définition de f
2) Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition puis préciser les asymptotes éventuelles 3) Montrer que la droite
12 1 :y x
D est asymptote à la courbe de f 4) Etudier la position de la courbe par rapport à
D5) Dresser le tableau de variation de f 6) Tracer la courbe de la fonction
7) Montrer que
2
1
;
1
est centre de symétrie de la courbeEXERCICE 9
Soit f
x 2x4lnx1) Déterminer les limites aux bornes de Df 2) Dresser le tableau de variation de la fonction
3) Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse 4 4) Tracer la tangente et la courbe de la fonction
EXERCICE 10
Soit f
x 1lnx
lnx 1) déterminer Df2) Déterminer les limites aux bornes de Df 3) Dresser le tableau de variation de la fonction
4) Déterminer les coordonnées des points d’intersection A et B de la courbe avec l’axe des abscisses 5) Déterminer les équations des tangentes à Cf en A et B
6) Tracer les tangentes et la courbe EXERCICE 11
2 5 2 3 2 2 3 7 2 1) ; 2) 3; 3) 5 0; 4) 3 2 0; 5) 4 7 10 0;, 6) 5 6 7 0; 2 7 2 3 5 7) ; 8) 3 2 0; 9) ; 10) ; 1 6 x x x x x x x x x x x x y x y x x x x x y x y x y e e e e e e e e e e e x y e e e e e e e e e e e e e EXERCICE 12 Soit p
x 2x3 3x2 3x2 1) Calculerp
1
en déduire une factorisation complète dep
x
2) Résoudre dans IR, l’équation : 3 2
2e x3e x3ex 2 0 3) Résoudre dans IR, l’équation : 3 2
2e x3e x3ex2 0 EXERCICE 13 Soit f la fonction définie par :
( )
2
1
x xe
f x
e
1) Déterminer Df et les limites aux bornes de Df2) Etudier les variations de f
3) Tracer la courbe Cf dans un repère orthonormé
O i j, ,
EXERCICE 14 Soit g la fonction définie par :
( )
2
1
1
x xe
g x
e
1) Déterminer Dg et les limites aux bornes de Dg2) Etudier les variations de g
3) Tracer la courbe Cg dans un repère orthonormé
O i j, ,
EXERCICE 15 Soit f la fonction définie par : ( ) 1 221 x f x x
e
1) Déterminer Df et les limites aux bornes de Df 2) a) Montrer que f(x) peut se mettre sous la forme
2 2
2
( )
1
1
x xe
f x
x
e
, puis en déduire que la droite : D : y=x-1 est asymptote oblique à Cf en
b) Montrer que la droite D’ : y=x+1 est asymptote oblique à Cf en
3) Etudier les variations de f4) Déterminer l’équation de la tangente T à Cf au point I(0,0)
5) Tracer la courbe Cf, les droites D, D’ et la tangente T dans un repère orthonormé
O i j, ,
EXERCICE 16 déterminer le domaine de définition des fonctions suivantesf ( )x xex ; 1
( )
2
xe
f x
x
; 1 2 ( 1) ( ) 2 x x e f x x x ; ( ) 1 x f x e 3 ( ) 1 x e g x x ; 5 ( ) 4 2 x x x xe g x xe e ;Exercice 17 d déterminer les limites des fonctions suivantes
lim x x 1 xxe e ; lim 2 1 x x x e e ; 3 lim x 1 x xe e ; 2 3 lim 2 x x e x ;
01
lim
1
3
x x xe
x
e
Exercice 18 calculer les dérives des fonctions suivantes
3 5
( )
xf
x
e
; 2 2 3 4( )
x xf x
e
2 1( )
xf
x
x e
, f ( )x ex 4 21
( )
x x
e
f x
x
e
; 2 1 ( ) x x e f x x e
4 2 2 3 2 ( ) 1 x x e f x x e ; 1 1 ( ) e x f x x EXERCICES 19Soit la fonction f définie sur R par
f x
( )
xe
x
1
x
a) calculer les limites de f en +
et en -
b) calculer f’(x) .montrer que f’(x)= exh x( ) c) donner , suivant les valeur de x, le signe1
e
xd) En déduire que , si
x
0
, alors1 ex x 0 et six
0
alors 1 ex x 0Etudier les variations de f
e) démontrer que la droite d’équation (D) y x 1 est asymptote a C Etudier la position relative de (C) par rapport à (D)
f)Tracer (C) et (D)
Statistiques
EXERCICE 1 Le tableau ci –dessous donne la quantité de matière première X en tonnes (t) et le chiffre d’affaire Y en millions francs (f) d’une entreprise. On considère la série double(x ; y) :
X 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Y 21 25 29 30 40 46 53
1) Représenter le nuage de points.
2) Calculer la variance de X et la variance de Y. 3) Calculer la covariance de X et Y.
4) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r.
5) a) Déterminer l équation de la droite de régression de Y en X puis la représenter b) En déduire une estimation du chiffre d’affaire pour 8 tonnes de matière première. c) Pour un chiffre d’affaire 100000000 calculer la quantité de matière première.
EXERCICE 2 Les formules utilisées devront être indiquées et tous les calculs intermédiaires figurer sur la copie .
On donne la série statistique double :
X 35 40 35 65 65 85 85 K
Y 3 4 5 10 8 13 l 15
1 )- Déterminer les réels k et l sachant que = 72 et =65. 2 ) -Calculer la variance de x.
3 ) -Calculer la variance de y. 4 -Calculer la covariance de x et y. 5 -Calculer le coefficient de corrélation r.
6 -Déterminer la droite de régression de y en x. 7 ) -Déterminer la droite de régression de x en y.
EXERCICE 3 Les formules utilisées devront être indiquées et tous les calculs intermédiaires figurer sur la copie .
Soit le tableau suivant :
x 84 105 140 147 160 204
y 4 5 6 7 9 11
1 )- Construire le nuage de points.
2 ) - Calculer le coefficient de corrélation linéaire.
3 ) - Déterminer par la méthode des moindres carres, une équation de régression de y en x.
EXERCICE 4
Les importations d’un pays se chiffrent en moyenne à 1154 milliards de francs CFA par an. Le tableau suivant donne en chiffres les importations de ce pays de 2000 à 2007.
Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de l’année X 1 2 3 4 5 6 7 8 Montant en milliards Y FCFA des importations 907 1025 1025 1092 1095 1217 k 1469 1 ) - Trouver la valeur de k.
2 ) - On sup pose que k est égal à 1402.
a) Construire le nuage de points correspondants ci-dessus dans un repère orthogonal avec X en abscisse et Y en ordonnée.
Echelle : en abscisse : 1 cm pour 1 ; en ordonnée : 1 cm pour 150.
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. Interpréter. c) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X.
d) En supposant que l’évolution se poursuit de la même façon, estimer le montant des importations dans ce pays en 2012.
Suites Numériques EXERCICE 1
(Un ) est une suite arithmétique de raison r et on note Sn U0U1 ... Un 1°) r = 5 et U0 = 1. Calculer U4 et S10
2°) r = – 4 et U3 = 20. Calculer S15 3°) U5 = 8 et U10 = 28. Calculer S15
4°) Calculer U4 et U5 sachant que U0 = 2 et que U4 U5 = 18 5°) Calculer U0 et a sachant que S10 = 88 et que S12 = 143 6°) r = 3 et U0 = – 10. Déterminer n tel que Sn = 200 EXERCICE 2
On considère la suite (Un) définie par : 0 1
2
3
3 ,
1
n nU
U
U
n
1) Calculer U2 et U3.2) On définit la suite (Vn) par Vn = Un + 2 3
, n 1 a) Calculer V1 et V2.
b) Montrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison. c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
d) Montrer que (Vn) et (Un) sont divergentes. EXERCICE 3
(Un ) est une suite géométrique de raison q et on note Sn U0U1 ... Un 1°) q = – 5 et U0 = 3 calculer U3 et S3
2°) U2 = 5 et U3 = 7 Calculer U4 et S4 EXERCICE 4
Soit (Un) nN définie par :
{
= + = + 9 2 3 1 0 1 U U Un n 1. Calculer U1, U2 et U3.2. Soit la suite (Vn) nN définie par : Vn = Un – 3
Montrer que (Vn) nN est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 3) Exprimer Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n.
4. Calculer la somme Sn des n premiers termes de la suite (Vn) nN en fonction de n. En déduire la somme S’n des n premiers termes de la suite (Un) nN.
5°) Calculer la limite de (Vn) puis celle de (Un) EXERCICE 5
Deux entreprises de presse dénommées « Xouli » et « Bëtt » ont commencé leur production avec 7500 exemplaires chacune en 2010.
1- L’entreprise « Xouli » augmente sa production de 10% chaque année. On appelle Wn la production de l’année 2008 + n et W0 = 7500
a- Calculer W1 et W2. b- Exprimer Wn+1 en fonction de Wn. En déduire la nature de la suite Wn
c- Exprimer Wn en fonction de n, puis calculer sa production totale au cours de ses dix premières années d’existence.
a- L’entreprise « Bëtt » augmente sa production de 900 exemplaires chaque année. On appelle Vn la production en 2008 + n et V0 = 7500. . b- Exprimer Vn+1 en fonction de Vn. En déduire Vn en fonction de n.
3- Dans combien d’année la production de l’entreprise « Bëtt » va-t-elle atteindre 15 000 exemplaires ? EXERCICE 6
Une radio de proximité commence le premier mois avec 5000 auditeurs. A la fin de chaque mois, il y a 4 000 nouveaux auditeurs et un taux de défection de 20%.
On désigne par :
U1 le nombre d’auditeurs le 1er mois, U2 le nombre d’auditeurs le 2e mois, Un le nombre d’auditeurs le n-ièmemois. 1. Vérifier que : U2 = 8 000.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul : Un+1 =
5 4
Un + 4 000. 3. Soit (Vn) de terme général Vn = Un – 20 000 a) Calculer V1 et V2.
b) Montrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser sa raison et sa raison. c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
d) Déterminer le nombre d’auditeurs après 12 mois d’émission. EXERCICE 7
Une personne place une somme de 500 000F, en 2010, à la caisse d’épargne dans les conditions suivantes : chaque année, le capital acquis augmente de 8% de sa valeur.
1. On appelle Co le capital initial [ Co= 500 000 F] et Cn le capital en l’an 2010 + n . a) Calculer C1 et C2.
b) Exprimer, pour tout entier naturel n, Cn+1 en fonction de Cn. Quelle est la nature de (Cn) ?
c) Exprimer, pour tout entier naturel n, Cn en fonction de n. 2. En quelle année le capital doublera-t-il pour la première fois ? EXERCICE 8
Le recensement d’un pays a estimé la population à 12 00 000 habitants au 31 décembre 2010. On admet que la population croit régulièrement de 2,5% par an à partir de cette date. On appelle P0 la population en 2010 et Pn la population en l’année (2010 + n).
1 .a) Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn+1 en fonction de Pn et en déduire la nature de suite ( Pn ). b) Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn en fonction de n
2. Quelle est la population de ce pays en 2012 ? en 2017 ?
3. En quelle année la population de ce pays dépassera-t-elle pour la première fois le double de celle de 2010 ? Quelle est alors la population de l’année en question ?
