Eléments finis.

Notesdeoursdel'ISIMA,deuxièmeannée,http://www.isima.fr/

∼

leborgne

Approximations variationnelles de problèmes aux limites elliptiques et

Éléments nis

GillesLeborgne

10novembre2020

Les paragraphesommençant parune étoile *sont hors-programme.Ils sontdonnés ommeompléments

pouvantêtreutileslorsdeprojets,destagesoudanslebutdepréparerunmasterdemathématiquesappliquées.

Table des matières

I Problèmes elliptiques 3

1 Introdution auxespaesdeHilbert 4

1.1 Produitsalaire . . . 4

1.2 Espaespréhilbertiensethilbertiens . . . 4

1.3 InégalitédeCauhyShwarz . . . 5

1.4 Uneappliation . . . 6

1.5 L'espaedeHilbert

ℓ ²

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7}

1.6 Remarquesurlesespaesvetorielsfermésounon . . . 8

1.7 Projetion . . . 9

2 Introdution auxespaesdeSobolev 11 2.1 Espaes

L ² (Ω)

^et

L ² (Ω) ⁿ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11}

2.2 Notions dedistributions . . . 12

2.2.1 Espae

D (Ω)

^desfontions

C ^∞ (Ω)

^{àsupportompat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12}

2.2.2 Espaedesdistributions

D ^′ (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13}

2.2.3 Notationintégrale . . . 14

2.2.4 Dérivationdesdistributions . . . 14

2.2.5 Exemplesdedérivations . . . 15

2.3 L'espaedeSobolev

H ¹ (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17}

2.4 L'espaedeSobolev

H 0 ¹ (Ω)

^etl'inégalitédePoinaré . . . 19

2.5 L'espaedeSobolev

H ² (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22}

2.6 ThéorèmesdetraeetformulesdeGreen . . . 23

2.6.1 Théorèmedetraedans

H ¹ (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23}

2.6.2 FormuledeGreendans

H ¹ (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24}

2.6.3

H ₀ ¹ (Ω) = Ker(γ 0 )

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25}

2.6.4 Dans

H ² (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25}

2.7 *EspaedeSobolev

H _Γ ¹ ₀ (Ω) ⊂ H ¹ (Ω)

^{etinégalité dePoinaré}généralisée . . . 26

2.8 *Casvetoriel:l'espaedeSobolev

H ¹ (Ω) ²

^{etinégalitésdeKorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27}

3 Problèmesauxlimites elliptiquesetformulations variationnelles 29 3.1 Rappelsmatriiels . . . 29

3.2 Opérateurdiérentielelliptique . . . 30

3.3 Problèmevariationnelabstrait . . . 32

3.3.1 Rappel:ontinuitéetlinéarité . . . 32

3.3.2 Leproblème. . . 34

3.3.3 Coeritivité . . . 34

3.4 ThéorèmedeLaxMilgram . . . 35

3.4.1 ThéorèmedereprésentationdeRieszFréhet . . . 35

3.4.2 ThéorèmedeLaxMilgram . . . 36

3.4.3 Interprétationduproblème . . . 37

3.5 Appliations. . . 38

3.5.1 ProblèmedeDirihlethomogèneetonditionauxlimitesessentielle . . . 38

3.5.2 ProblèmedeDirihletnonhomogèneetonditionauxlimitesessentielle . . . 41

3.5.3 ProblèmedeNeumannhomogèneetonditionauxlimitesnaturelle. . . 43

3.5.4 ProblèmedeNeumannnonhomogèneetonditionauxlimitesnaturelle . . . 45

3.5.5 *ProblèmemixteDirihletNeumann . . . 46

3.5.6 *AutreConditionauxlimitesmixte . . . 48

3.6 *Prinipedumaximum . . . 48

3.7 *Unproblèmedetransmission . . . 49

3.8 *InterfaeetéquationdeSteklovPoinaré . . . 51

3.9 *Unproblèmeaveonditionsauxlimitespériodiques . . . 52

3.10 *Exempledeproblèmeaveonditiondeompatibilité . . . 52

3.11 *Casdulaplaiendans

R ²

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53}

3.11.1 Casdulaplaien . . . 53

3.11.2 Unproblèmesymétrique:asdel'élastiité . . . 54

3.11.3 SystèmedeStokes . . . 54

3.12 *Régularitédessolutionsfaibles . . . 57

II Approximations variationnelles 59 4 Approximation variationnelle abstraite 59 4.1 Leproblèmevariationnelabstrait . . . 59

4.2 Conformité . . . 60

4.3 Convergenede

u h

^vers

u

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60}

4.4 Rapiditédelaonvergene. . . 61

4.5 MéthodedeRitz-Galerkin . . . 62

5 Introdution auxéléments nis1-D 62 5.1 Triangulation . . . 62

5.2

P 0

^{espaedesfontionsonstantesparmoreaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62}

5.2.1 Basede

P 0

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62}

5.2.2 Approximation

L ²

^d'unefontion

f ∈ L ² (]0, 1[)

^{parunefontion}

P 0

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . 63}

5.2.3 Approximation

H ¹ (Ω)

^d'unefontion

f ∈ H ¹ (Ω)

^{parunefontion}

P 0

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . 64}

5.3

P 1

^{espaedesfontionsontinuesquisontanesparmoreaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64}

5.3.1 Basede

P 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64}

5.3.2 Approximation

L ²

^d'unefontion

f ∈ L ² (]a, b[)

^{parunefontion}

P 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . 65}

5.3.3 Approximation

H ¹ (Ω)

^ou

H 0 ¹ (Ω)

^d'unefontion

u ∈ H ¹ (Ω)

^{parunefontion}

P 1

^{. . . . . . . . . . . 67}

5.4

P 2

^{espaedesfontionsontinuesquisont}quadratiquesparmoreaux . . . 68

5.4.1 Basede

P 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68}

5.4.2 Approximation

L ²

^d'unefontion

f ∈ L ² (]a, b[)

^{parunefontion}

P 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . 69}

5.4.3 Approximation

H ¹ (Ω)

^ou

H 0 ¹ (Ω)

^d'unefontion

u ∈ H ¹ (Ω)

^{parunefontion}

P 2

^{. . . . . . . . . . . 69}

5.5 ÉlémentsnisdeLagrange

P k

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69}

5.5.1 Dénitiond'unÉlémentnideLagrange . . . 69

5.5.2 Opérateurd'interpolation

Π K

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70}

5.5.3 Basedelaméthodedesélémentsnisetélémentsnis

C ⁰

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70}

5.6 Approximationdeproblèmeselliptiquesauxlimitesduseonddegréendimension1 . . . 71

5.6.1 AveonditionsauxlimitesdeDirihlet . . . 71

5.6.2 AveonditionsauxlimitesdeNeumann. . . 72

5.7 Remarques . . . 73

5.7.1 Convergenepontuelle . . . 73

5.7.2 Approximationnumériquedesintégrales . . . 73

5.7.3 Assemblage . . . 73

6 *Exempled'élémentsnis généraux:euxdelasse

C ¹

⁷⁴ 6.1 Unemotivation:problèmeelliptiquededegré4. . . 74

6.2 Généralisationdelanotiondedegrédeliberté . . . 75

6.3 Exempled'élémentsnisdelasse

C ¹

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75}

6.3.1 Construtiond'unélémentni . . . 76

6.3.2 Construtiond'unmaillageélémentsnisdelasse

C ¹

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76}

7 Introdution auxéléments nis2-D 77 7.1 Trianglesetbasede

P 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77}

7.2 Trianglesetbasede

P 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78}

7.3 Quadranglesetbasede

Q 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79}

7.4 Quadranglesetbasede

Q 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79}

7.5 Résolutiondeproblèmeselliptiquesduseonddegré . . . 80

7.5.1 Résolutionde`

− ∆u = f

^'dans

H 0 ¹ (Ω)(Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80}

7.5.2 Résolutiondesproblèmeselliptiquesduseondordre . . . 80

8 Coordonnéesbaryentriques 80

8.1 Simplexeetoordonnéesbaryentriquesdans

R ⁿ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80}

8.1.1 Dénitiond'un

n

^{-simplexe(simplexedans}

R ⁿ

^{) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80}

8.1.2 Dénitiondesoordonnéesbaryentriques . . . 81

8.1.3 Caluldesoordonnéesbaryentriques:résolutionmatriielle . . . 82

8.1.4 Lesfontionsoordonnéesbaryentriques=lesfontions

P 1

^{debase . . . . . . . . . . . . . . . . . 83}

8.1.5 Exemples . . . 84

8.1.6 Interprétationmassiquedesoordonnéesbaryentriques . . . 85

8.1.7 ThéorèmedeThalèsdans

R ²

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85}

8.1.8 ThéorèmedeThalèsdans

R ⁿ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86}

9 Méthode desélémentsnis 87 9.1 Cadre . . . 87

9.2 Dénitiond'unélémentni(deLagrange) . . . 87

9.3 Élémentsnissimpliiaux . . . 88

9.3.1 Dénitionde

P k

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88}

9.3.2

Σ k

^{treillisprinipald'ordre}

k

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88}

9.3.3 Élémentni

n

^{-simplexedetype}

(k)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89}

9.3.4 Exemplesde

2

^{-simplexesdetype}

k

^{,simplexederéférene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89}

9.4 Familled'élémentsnis . . . 90

9.4.1 Introdution . . . 90

9.4.2 Familled'élémentsnisanes-équivalents . . . 91

9.5 Maillageélémentsnis:triangulationde

Ω

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92}

9.5.1 Triangulation . . . 92

9.5.2 Opérateurd'interpolationsur

K

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92}

9.5.3 Opérateurd'interpolationsur

T

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93}

9.6 Élémentsnisdelasse

C ^m

^,exemple

P 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93}

9.7 Méthodedesélémentsnis, exemple2-D,élémentsnis

P 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93}

9.7.1 Résolutiond'unproblèmeelliptiqueauxlimitesapprohé2-D . . . 93

9.7.2 Caluldesfontionsdebase. . . 94

9.7.3 Caluld'intégrales,assemblage . . . 95

9.7.4 Caluldestermesélémentaires . . . 95

9.7.5 Caluldestermesdebord . . . 96

9.8 Unrésultatd'approximationetdeonvergene danslesSobolev. . . 97

9.8.1 Unrésultatd'approximationdanslesSobolev:as

Ω = K

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97}

9.8.2 Résultatd'approximation:as

Ω = K

^{aneéquivalentà}

K b

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98}

9.8.3 Maillagerégulieretonvergenedelaméthodedesélémentsnis . . . 99

Annexes 100 A Quelquesrappelssurlesformes etappliations linéairesontinues 100 A.1 Appliationontinue . . . 100

A.2 Appliationsetformeslinéaires . . . 100

A.3 Formelinéaireontinueetsanorme . . . 100

A.4 Normessur

R ⁿ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101}

A.5 Appliationlinéaireontinuede

E

^dans

R ⁿ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102}

A.6 Valeurspropresdematries . . . 103

B Rappels d'intégration 105 B.1 Intégrationdefontionsrationnelles . . . 105

B.2 Intégrationparpartiesdans

R

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105}

B.3 Opérateursdiérentielsusuelsdans

R ⁿ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105}

B.4 Intégrationparpartiesdans

R ⁿ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106}

C Triangulation etrelation d'EulerPoinaré 107

Première partie

Problèmes elliptiques

Sionsouhaiteserendreompterapidementetplusendétaildeequ'estlatehniquedesélémentsnis,on

renvoieauparagraphe5qui traiteduas1-Detauparagraphe7quitraiteduas2-D.

1 Introdution aux espaes de Hilbert

1.1 Produit salaire

Une forme bilinéaire

ϕ( · , · )

^{sur unespaevetorielréel}

H

^{est uneappliation de}

H × H

^dans

R

^{telle que,}

pourtout

α, β ∈ R

^{et tout}

x, x 1 , x 2 , y, y 1 , y 2 ∈ H

^:

ϕ(αx 1 + βx 2 , y) = αϕ(x 1 , y) + βϕ(x 2 , y), ϕ(x, αy 1 + βy 2 ) = αϕ(x, y 1 ) + βϕ(x, y 2 ).

(Linéaritéparrapportàhaquevariable.)

Elleest ditesymétrique(etresp.positive,stritementpositive)si,pourtout

x, y ∈ H

^:

ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (

^resp.

ϕ(x, x) ≥ 0, ϕ(x, x) > 0

^si

x 6 = 0).

Un produit salaire sur un vetoriel réel

H

^{est une forme bilinéaire symétrique et dénie positive; on la}

notera

( · , · ) H

^.

Uneformesesquilinéairesurunespaevetorielomplexe

H

^{estuneappliationde}

H × H

^dans

C

^telleque,

pourtout

α, β ∈ C

^{et tout}

x, x 1 , x 2 , y, y 1 , y 2 ∈ H

^:

ϕ(αx 1 + βx 2 , y) = αϕ(x 1 , y) + βϕ(x 2 , y), ϕ(x, αy 1 + βy 2 ) = ¯ αϕ(x, y 1 ) + ¯ βϕ(x, y 2 ).

(Linéaritéparrapportàlapremièrevariable,antilinéaritéparrapportàlaseonde.)

Elleest ditehermitienne(etresp.positive,stritementpositive)si,pourtout

x, y ∈ H

^:

ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (

^resp.

ϕ(x, x) ≥ 0, ϕ(x, x) > 0

^si

x 6 = 0).

Unproduitsalairesurunvetorielomplexe

H

^estuneformesesquilinéairehermitienneetdéniepositive; onlanotera

( · , · ) H

^.

Onrappellequ'unenormesur

H

^{estune appliation}

p : H −→ R +

^{telle que:}

(i) p(x) ≥ 0, ∀ x ∈ H

^et

p(x) = 0 ⇔ x = 0 (ii) p(αx) = | α | p(x), ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ H (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀ x, y ∈ H

La dernière inégalité est l'inégalité triangulaire qui s'érit aussi

p(x − y) ≤ p(x − z) + p(z − y)

^{pour tout}

x, y, z ∈ H

^.

Onassoieàunproduitsalaire

( · , · ) H

^{lanormedéniesur}

H

^par:

|| x || ^H = p

(x, x) H .

^(1.1)

On vérie immédiatement que

|| . || ^H

^{est bien une norme. On omet l'indie}

^H

^{quand auune onfusion n'est}

possible.

1.2 Espaes préhilbertiens et hilbertiens

Soit

E

^{un espae vetoriel muni d'une normé}

|| . || ^E

^{. On rappelle qu'une suite de Cauhy de}

E

^{est une}

suite

(x n )

^de

E

^telleque:

∀ ε > 0, ∃ N > 0, ∀ n, m ≥ N, || x n − x m || ^E ≤ ε.

Celas'éritentermesdelimiteomme:

lim n,m →∞ || x n − x m || ^E = 0

^.

Et un espaenormé

(E, || . || ^E )

^{est omplet sitoute suite de Cauhy de}

E

^{est onvergente dans}

E

^{. Un tel}

espaeest ditdeBanah.

Dénition1.1 Unespaevetorielréelouomplexe

H

^{est unespae}préhilbertien s'il estmunid'unproduit salaire

( · , · ) H

^.Onnote

|| . || ^H

^{lanormeassoiée(donnéepar}

|| x || ^H = p

(x, x) H

^).

Exerie 1.2 Montrerquetoutesuiteonvergente

(x n )

^vers

x

^dansunpré-hilbert

H

^{estdeCauhydans}

H

^.

Réponse.Hypothèse:

∀ δ > 0

^,

∃ M δ

^,

∀ n ≥ M δ

^,

|| x − x n || ^H ≤ δ

^.

Onveutmontrer:

∀ ε > 0

^,

∃ N ε

^,

∀ n, m ≥ N ε

^,

|| x n − x m || ^H ≤ ε

^.

Ona

|| x n − x m || ^H = || x n − x + x − x m || ^H ≤ || x n − x || ^H + || x − x m || ^H

^{,don pour}

ε > 0

^onpose

δ = ^ε ₂

^etona

|| x n − x m || ^H ≤ δ + δ = ε

^dèsque

n, m ≥ M δ

^,donpour

ε > 0

^l'entier

N ε = M δ

^onvient.

Dénition1.3 Un espae de Hilbert est unespae préhilbertien qui est omplet pour la norme assoiée au

produitsalaire.C'estdonenpartiulierunespaedeBanah pourlanormedérivéeduproduit salaire.

Dénition1.4 Soit

(H, ( · , · ) H )

^{un espae} préhilbertien. Deux veteurs

x, y ∈ H

^{sont dits} orthogonaux ssi

(x, y) H = 0

^{,et onnote}

x ⊥ ^H y

^{, ouplussimplement}

x ⊥ y

^{s'il n'y a pas}d'ambiguïtésur lehoixduproduit salaire.(L'orthogonalitédépendduproduitsalairehoisi.)

Proposition 1.5 Dansunespaepréhilbertien

(H, ( · , · ) H )

^,pouttout

x, y ∈ H

^:

(1) x ⊥ y ⇐⇒ || x + y || ² = || x || ² + || y || ²

^{(théorèmedePythagore)}

, (2) || x + y || ² + || x − y || ² = 2 || x || ² + 2 || y || ²

^(identitéduparallèlogramme)

, (3) (x, y) = 1

4 ( || x + y || ² − || x − y || ² )

^(identitédepolarisation)

, (4) || x − a || ² + || x − b || ² = 2 || x − a + b

2 || ² + 1

2 || a − b || ²

^{(identitédelamédiane)}

.

(1.2)

Preuve. Immédiat:ilsut d'érire

|| c || ² = (c, c)

^.

Exerie 1.6 Montrer que, dans

C ⁰ ([0, 2])

^{,la normedénie par}

|| f || ∞ = sup _{x ∈ [0,2]} | f (x) |

^{ne dérivepas d'un}

produitsalaire.

Réponse.Cettenormenevériepasl'identitéduparallèlogramme,f.(1.2 ).Prendre

f = (1 − x)1 [0,1]

^et

g = (x − 1))1 [1,2]

(faireundessin),etona

||f|| ∞ = ||g|| ∞ = ||f + g|| ∞ = ||f − g|| ∞ = 1

^.

Exerie 1.7 Soit

p : H → R +

^{une normesur}

H

^{. Montrerque}

p

^{dérived'unproduit salairessi}

p(x + y) ² + p(x − y) ² = 2p(x) ² + 2p(y) ²

^{(identité du}parallélogramme).

Réponse.

⇒

^.Si

p

^{dérived'unproduitsalaire,onnote}

ϕ

^{eproduitsalaire,avedon}

p(x) ² = ϕ(x, x)

^{,d'oùl'identité}

duparallélogramme.

⇐

^.Onpose

ϕ(x, y) = ¹ ₄ (p(x + y) ² − p(x − y) ² )

^{.Siidentitédu} parallélogramme,alors immédiatement

p(y − x) ² = p(x − y) ²

^et

p(2x) = 4p(x) ²

^.D'où

ϕ

^{estsymétriquedéniepositiveet}

p(x) ² = ϕ(x, x)

^.

Exerie 1.8 Montrerque,si

z, z ^′ ∈ C

^,si

u ² = zz ^′

^{, alors}

| z | + | z ^′ | = | ^z+z 2 ^′ + u | + | ^z+z 2 ^′ − u |

^.

Réponse.C'estl'identitédelamédianedans

H = R ² ≃ C

^{,aprèsavoirposé}

a ² = z

^et

a ^′2 = z ^′

^:onaalors

2( | a ² | + | a ^′2 | ) =

| a + a ^′ | ² + | a − a ^′ | ²

^ave

| c ² | = | c | ² = ρ ²

^quand

c = ρe ^iθ

^.

1.3 Inégalité de CauhyShwarz

Lanormemesurelalongueur.Leproduitsalairesertentreautresàmesurerl'orthogonalitédedeuxveteurs:

pardénition

x ⊥ y

^dans

H

^ssi

(x, y) H = 0

^{.Celapermet dedénirdesbases} orthonormaleset d'eetuerdes aluls simplesgrâe authéorème dePythagore ouàla relationde Besssel-Parseval(Pythagore généraliséen

dimensioninnie).Etona:

Proposition 1.9 (InégalitédeShwarz)Dansunespaepréhilbertien

(H, ( · , · ) H )

^:

| (x, y) H | ≤ || x || ^H || y || ^H , ∀ x, y ∈ H.

^(1.3)

Aveégalitéssi

x

^et

y

^sontolinéaires.

Preuve.Soit

x, y ∈ H

^{xésnonnuls(sinon'esttrivial).Dansunespaevetorielréel,ononsidèrelepolynme}

P (t) = || x − ty || ² H = || y || ² H t ² − 2(x, y)t + || x || ² H

^{pour tout}

t ∈ R

^{. On a}

P (t)

^{positif pourtout}

t

^{, ar}

|| . || ^H

^est

une norme, dondisriminant

≤ 0

^{, don}

(x, y) ² − || x || ² H || y || ² H ≤ 0

^{. Et}

P (t) = 0

^ssi

x − ty = 0

^(ar

|| . || ^H

^est

unenorme),i.e. ssi

x

^et

y

^sontolinéaires,i.e.

P(t)

^{aune rainedouble, i.e.ssi le}disriminantest nul,i.e. ssi

(x, y) ² − || x || ² H || y || ² H = 0

^.

Dans unespaevetorielomplexeon seramèneauaspréédent ave lepolynme

P (t) = || x − tαy || ² =

| α | ² || y || ² t ² − (α(y, x) + ¯ α(x, y))t + || x || ²

^pourtout

t ∈ R

^{, ave}

α ∈ C

^{, et onhoisit}

α ∈ C

^{tel que}

| α | = 1

^et

α(y, x) H ∈ R

^.

L'importaneonsidérabledesespaespréhilbertiensethilbertiens(existened'unproduit salaire)est due

authéorèmedeCauhyShwarzet àlasimpliitédesalulsquienrésultent.

Corollaire1.10 Continuitéduproduit salaire.Si

(x n ) ^N

^{est unesuitedepointsdansl'Hilbert}

H

^,alors:

(x n ) ^N

^onvergedans

H

^vers

x ⇐⇒ ∀ y ∈ H, lim

n →∞ (x n , y) H = (x, y) H = ( lim

n →∞ x n , y) H .

^(1.4)

Autrementdit,onpeutpasseràlalimitesouslesigne

( · , · ) H

^,ouenore

(x n )

^{onvergessitouteslesprojetions}

(x n , y) H

^{onvergentvers}

(x, y) H

^.

Preuve. Notons

x = lim n →∞ x n

^lalimitedans

H

^.

⇒

^{. Par hypothèse}

|| x − x n || ^H → 0

^{, don, pour}

y ∈ H

^,

| (x − x n , y) H | ≤ || x − x n || ^H || y || ^H → 0

^{, don}

(x − x n , y) H → 0

^,don

(x n , y) H → (x, y) H

^.

⇐

^.Ona

lim n →∞ (x − x n , y) H = 0

^pourtout

y

^.Onprend

y = x − x n

^.

Dénition1.11 Soit

(E, || . || ^E )

^et

(F, || . || ^F )

^{deuxespaesvetorielsnormés. Uneforme bilinéaire}

b( · , · ) : E × F → R

^{estditeontinuessi:}

∃ c > 0, ∀ (u, v) ∈ E × F, | b(u, v) | ≤ c || u || ^E || v || ^F ,

^(1.5)

i.e.ssi

b( · , · )

^{estbornéesurlabouleartésiennearrée}

B C = { (u, v) ∈ E × F : || u || ^E ≤ 1, || v || ^F ≤ 1 }

^{. Eton}

note

|| b ||

^{laplusonstantepossible:}

|| b || = sup

(u,v) ∈ E × F

| b(u, v) |

|| u || ^E || v || ^F

^.

Corollaire1.12 Continuité du produit salairebis. Si

a( · , · )

^{est un produit salairesur l'Hilbert}

H

^{qui est}

ontinu,si

(x n ) ^N

^et

(y n ) ^N

^{sontdeuxsuitesonvergentsdansl'Hilbert}

H

^,respetivementvers

x

^et

y

^{, alors:}

n lim →∞ a(x n , y h ) H = a(x, y) H .

^(1.6)

Preuve.

| a(x, y) H − a(x n , y n ) H ≤ | a(x, y) H − a(x n , y) H | + | a(x n , y) H − a(x n , y n ) H |

≤ || a || || x − x n || ^H || y || ^H + || a || || x n || ^H || y − y n || ^H . (x n )

^est onvergente,donbornée,donlemembrededroitetendvers

0

^ave

n

^.

1.4 Une appliation

Onatoujoursdans

R

^:

(a − b) ² ≥ 0

^,equidonne:

2ab ≤ a ² + b ² , ∀ a, b ∈ R.

Onendéduit:

(ac + bd) ² ≤ (a ² + b ² )(c ² + d ² ), ∀ a, b, c, d ∈ R,

puisque

2abcd ≤ a ² d ² + b ² c ²

^.

Mais elasedéduit égalementdiretementde larelationde CauhyShwarz:

ab. ~ ~ cd ≤ || ab ~ || . || cd ~ ||

^où

ab ~ = a

b

et

cd ~ = c

d

.Etplusgénéralement:

(a 1 b 1 + · · · + a n b n ) ≤ q

(a ² ₁ + · · · + a ² _n ) q

(b ² ₁ + · · · + b ² _n ), ∀ a 1 , ..., a n , b 1 , ..., b n ∈ R,

^(1.7)

grâeàl'inégalitédeCauhy-Shwarzdans

R ⁿ

^.

Cettedernièreinégalité(CauhyShwarz)serautiliséedanslasuiteomme,pourtout

u, v ∈ H ¹ (Ω)

^:

|| u || L ² || v || L ² + || ∇ ~ u || (L ² ) ⁿ || ∇ ~ v || (L ² ) ⁿ

≤ ( || u || ² L ² + || ∇ ~ u || ² (L ² ) ⁿ ) ^{1 2} ( || v || ² L ² + || ∇ ~ v || ² (L ² ) ⁿ ) ^{1 2} ,

i.e.,pourtout

u, v ∈ H ¹ (Ω)

^:

|| u || ^{L 2} || v || ^{L 2} + || ∇ ~ u || ^{(L 2 ) n} || ∇ ~ v || ^{(L 2 ) n} ≤ || u || ^{H 1} || v || ^{H 1} ,

^(1.8)

où

|| v || ² H ¹

déf

= || v || ² L ² + || ∇ ~ v || ² (L ² ) ⁿ

^.

7 1.5. L'espaedeHilbert

ℓ ²

1.5 L'espae de Hilbert

ℓ ²

C'est leprototypedesespaesdeHilbert.

Quand

n → ∞

^,

R ⁿ

^{devientl'espaenoté}

R ^{N ∗} = R × R × ...

^{,appeléespaedessuitesréelles.Et unveteur}

~x ∈ R ^{N ∗}

^{est représenté par}

~x = (x i ) i ∈ N ∗ = (x 1 , ..., x n , ...) = P _∞

i=1 x i ~e i

^où

(~e i ) i ∈ N ∗

est la base anonique, où

~e i = (0, ..., 0, 1, 0, ...) ∈ R ^{N ∗}

^{estlasuitedonttouslestermessontnulssaufle}

i

^-èmequivaut

1

^.Et

~x

^{estreprésenté}

parlamatrieolonne

[~x] =



 

  x 1

.

.

.

x n

.

.

.



 

 

^.

Remarque 1.13 En d'autres termes

R ^{N ∗} = F (N ^∗ , R)

^{est l'ensemble des fontions}

x : N ^∗ → R

^{où on note}

x(i) = x i

^pour

i ∈ N ^∗

^.

C'est espae

R ^{N ∗}

^{n'apasdeproduitsalaireanonique:eluidéduitde}

R ⁿ

^{seraitdonnépar:}

(~x, ~y) =

X ∞ i=1

x i y i ,

^(1.9)

maiseproduit peutêtreinni:prendre

~y = ~x = P _∞

i=1 ~e i

^{(suiteonstante}

x i = 1

^pourtout

i

^).

Onintroduitlesous-espae

ℓ ² ⊂ R ^{N ∗}

^{ditl'espaedeHilbert (leprototypedesespaesdedimensioninnie}

séparables):

ℓ ² = { ~x = (x i ) i ∈ N ^∗ ∈ R ^{N ∗}

^t.q.

X ∞ i=1

x ² _i < ∞} ,

^(1.10)

égalementappeléespaedesénergiesnies(la ontrainte

P _∞

i=1 x ² _i < ∞

^).Etpour

~x ∈ ℓ ²

^{onnote :}

|| ~x || ℓ ² = ( X ∞ i=1

x ² _i ) ^{1 2} ,

^(1.11)

quiest unréelpositif.

Remarque 1.14

ℓ ²

^estl'extension naturellede

R ⁿ

^pour

n

^{grand,ausens: quandonétudieunphénomène,}

on l'approxime, i.e. on limite le nombre de omposantes qu'on regarde, i.e. pour

~x = P _∞

i=1 x i ~e i

^{on onserve}

P N

i=1 x i ~e i

^{et onnéglige lereste}

P _∞

i=N +1 x i ~e i

^{, ave}

N

^{assezgrandpour que}l'approximationsoit bonne (par rapport au besoin du moment). Ce n'est possibleque si l'énergie de

~x

^{est nie, i.e. si}

~x ∈ ℓ ²

^{, i.e. si le reste}

P _∞

i=N +1 || x i || ²

^{peutêtrerendu} négligeablepour

N

^{estassezgrand.}

Proposition 1.15 L'appliation

( · , · ) : ℓ ² × ℓ ² → R

^{dénie par(1.9)est unproduit salairesur}

ℓ ²

^{, denorme}

assoiée

|| . || ℓ ² : ℓ ² → R +

^{déniepar(1.11).Etl'espaenormé}

(ℓ ² , || . || ℓ ² )

^{estomplet:'estunespaedeHilbert.}

Preuve. Pour unesuite

~x = P _∞

n=1 x n ~e n = (x n ) ∈ ℓ ²

^,notons

~x ^{(N )} = (x ^(N n ⁾ )

^{lasuitetronquéeau rang}

N

^{, i.e.}

t.q.

x ^(N n ⁾ = x n

^pourtout

n ≤ N

^et

x ^(N n ⁾ = 0

^pourtout

n > N

^.Onaimmédiatement

|| ~x ^(N) || ^{ℓ 2} ≤ || ~x || ^{ℓ 2}

^.

Pour

~x = (x n )

^et

~y = (y n ) ∈ ℓ ²

^{,ononsidèrelasuite}

(S N ) N ∈ N ∗

positiveroissante:

S N = X N n=1

| x n y n | .

On a

S N ≤ || ~x ^{(N )} || ^{ℓ 2} || ~y ^{(N )} || ^{ℓ 2}

^{grâe à} CauhyShwarz dans

R ^N

^{, don}

S N ≤ || ~x || ^{ℓ 2} || ~y || ^{ℓ 2} < ∞

^{: la suite}

(S N ) N ∈ N ∗

est roissante et majorée, don

P _∞

n=1 | x n y n | < ∞

^{(onvergene absolue). Don}

P _∞

n=1 x n y n < ∞

^.

Don (1.9) aun sensdans

ℓ ²

^{. Puis la} bilinéarité,la symétrie et la positivité sontimmédiates. De même que

|| . || ℓ ²

^{est lanormeassoiéeauproduitsalaire.}

Montronsque

(ℓ ² , || . || ℓ ² )

^{est omplet,i.e.quetoutesuitedeCauhyest}onvergente.Soit

(~x ⁱ ) i ∈ N ∗

unesuite deCauhydans

ℓ ²

^.Don:

∀ ε > 0, ∃ N ε ∈ N, ∀ i, j ≥ N ε , || ~x ⁱ − ~x ^j || ℓ ² < ε.

^(1.12)

Notons génériquement

~x ⁱ = P _∞

n=1 x ⁱ _n ~e n = (x ⁱ _n ) n ∈ N ^∗

^{. Soit}

ε > 0

^{xé. Soit un}

N ε

^{vériant (1.12). Don}

|| ~x ⁱ −

~x ^j || ² ℓ ² = P

n ∈ N ^∗ | x ⁱ _n − x ^j _n | ² < ε ²

^.Donpourtout

n ∈ N ^∗

^,pourtout

i, j ≥ N ε

^,

| x ⁱ _n − x ^j _n | < ε

^{.Don,pourtout}

n

^,la

suite

(x ⁱ _n ) i ∈ N ^∗

^{estdeCauhydans}

R

^{quiestomplet,don}

(x ⁱ _n ) i ∈ N ^∗

^{onvergeversun}

x n = lim i →∞ x ⁱ _n ∈ R

^(toutes

lesomposantes onvergent).Notons

~x = (x n ) n ∈ N ∗

lasuite ainsionstruite. Montrons que

~x = (x n ) n ∈ N ∗ ∈ ℓ ²

etque

|| ~x ⁱ − ~x || ^{ℓ 2} −→ ⁱ →∞ 0

^{,equi montreraque}

ℓ ²

^estomplet.

(1.12) donne, pour tout

M ∈ N ^∗

^,

P M

n=1 | x ⁱ _n − x ^j _n | ² ≤ ε ²

^{, don, par ontinuité de la norme dans}

R ^M

^,

P M

n=1 | x ⁱ _n − x n | ² ≤ ε ²

^{dès que}

i ≥ N ε

^{, majorationest} indépendante de

M

^{. La suite}

( P M

n=1 | x ⁱ _n − x n | ² ) M ∈ N ∗

étantroissante,ondéduit

P _∞

n=1 | x ⁱ _n − x n | ² ≤ ε ²

^{.Enpartiulierlasuite}

(~x ^{N ε} − ~x)

^estdans

ℓ ²

^,don

~x ∈ ℓ ²

^.Et

P _∞

n=1 | x ⁱ _n − x n | ² = || ~x ⁱ − ~x || ℓ ² < ε

^{, dèsque}

i ≥ N ε

^,don

(~x ⁱ )

^{est onvergentedans}

ℓ ²

^(vers

~x

^).

Remarque 1.16 Soit

ℓ f

^{l'espaedessuitesnies,i.e.quionttousleursélémentsnulssaufunnombreni,i.e.}

l'espaedessuitesdontlestermes sonttousnulsàpartird'unertainrang:

~x = (x n ) ^{N ∗} ∈ ℓ f ⇐⇒ ~x = (x n ) ^{N ∗} ∈ R ^{N ∗} , ∃ N ~ x ∈ N, ∀ n > N ~ x , x n = 0.

ℓ f

^{est unsous-espaevetoriel(trivial)dense(trivial partronature}

~x ^{(N )}

^de

~x

^)de

ℓ ²

^{.Autrementdit}

ℓ ²

^{est le}

omplétéde

ℓ f

^{pourlanormede}

ℓ ²

^{dénie sur}

ℓ f

^.

Labaseanonique

(~e i ) i ∈ N ∗

de

R ^{N ∗}

^{estégalementunebase}orthonorméede

ℓ ²

^{(enpartiulierhaqueélément}

~e i ∈ ℓ f

^{delabaseest bien dans}

ℓ ²

^:

|| ~e i || ^{ℓ 2} = 1 < ∞

^). L'utilisationduvoablebase orthonorméeest unpeu abusif, mais très usité : on devrait dire base hilbertienne, au sens oùtout

~x ∈ ℓ ²

^{est limite de} ombinaisons linéaires :

~x = lim N →∞ ( P N

n=1 x n ~e n )

^{, autrement ditque l'espaevetoriel}

Vect { ~e n : n ∈ N ^∗ }

^{engendré parles}

~e n

^estdensedans

ℓ ²

^.

1.6 Remarque sur les espaes vetoriels fermés ou non

En dimensioninnie,lesespaesousous-espaesvetorielsne sontpastoujoursfermés: eladépend dela

normehoisie,touteslesnormesn'étantpaséquivalentes.

Exemple1.17 Soit

T : ℓ ² → ℓ ²

l'appliation linéairedénie par

T ~e n = _n ¹ ~e n

^pourtout

n ∈ N ^∗

^{, où}

(~e n )

^est

labase anonique de

ℓ ²

^(et

T

^{est ontinue de normeégal à}

1

^{). L'image}

ImT = { ~y = T ~x = ( ^x _n ⁿ ) ^{N ∗} : ~x ∈ ℓ ² }

est un sous-espae vetoriel de

ℓ ²

(immédiat). Et

ImT

^{est dense dans}

ℓ ²

^{: toute suite}

~ y = (y n ) ^{N ∗} ∈ ℓ ²

^est

limite de lasuite tronquée

~ y ^N = (y 1 , y 2 , ..., y N , 0, ...) = T ~x ^N = (x 1 , ^x ₂ ² ..., ^x _N ^N , 0, ...) ∈ ImT

^{, ar}

|| ~y − ~ y ^N || ² ℓ ² = P _∞

n=N +1 y ² _n −→ ^N →∞ 0

^{(reste d'une série} onvergente). Mais

ImT 6 = ℓ ²

^{: la suite}

~y = ( _n ¹ ) ^{N ∗} ∈ ℓ ²

^{n'a pas}

d'antéédentdans

ℓ ²

^{arlasuiteonstante}

~x = (1) ^{N ∗}

^n'estpasdans

ℓ ²

^.(Ii

T : ℓ ² → ImT

^{estontinuebijetive,}

d'inverse

T ^{− 1}

^donnépar

T ^{− 1} ~e n = n~e n

^,ave

T ^{− 1}

^{nonontinuepourlanorme}

|| . || ^{ℓ 2}

^.)

Exemple1.18 Soit

C ⁰ ([0, 1])

^{l'espaedesfontionsontinuessur}

[0, 1]

^{.Lanormedelaonvergeneuniforme}

estdénie sur

C ⁰ ([0, 1])

^par:

|| f || ∞ = sup

x ∈ [0,1] | f (x) | .

Etmunideettenorme,

(C ⁰ ([0, 1]), || . || ∞ )

^{estunespaedeBanah(exerielassique).}

Exemple1.19 Parontre,munidelanormede

L ² ([0, 1])

^{(normedel'énergie)dénie par:}

|| f || ^{L 2} = ( Z 1

0 | f (x) | ² dx) ^{1 2} ,

l'espae

(C ⁰ ([0, 1]), || . || L ² )

^{n'estpasomplet}(d'ailleurssonomplétéestl'espae

L ² ([0, 1])

^{tout entier).}

Pours'enonvainre, il sutde onsidérerlafontion

f = 1 _] ¹ _{2 ,1]}

^{qui vaut}

0

^sur

[0, ¹ ₂ ]

^{et 1sur}

] ¹ ₂ , 1]

^:ette

fontion est en esalier et don n'est pasontinue (non dans

C ⁰ ([0, 1])

^{) et est pourtant limite, ausens de la}

onvergenedans

L ² ([0, 1])

^{,d'unesuitedefontionsontinues(endessiner).Parexemple,ave:}

 

 

 



 

 

 

f n (x) = 0

^si

0 ≤ x ≤ 1 2 , f n (x) = n(x − 1

2 )

^si

1

2 ≤ x ≤ 1 2 + 1

n , f n (x) = 1

^si

1

2 + 1

n ≤ x ≤ 1,

(1.13)

lasuite

(f n )

^de

C ⁰ ([0, 1])

^{est telle que}

|| 1 _] ¹

2 ,1] − f n || ^{L 2} −→ ⁿ →∞ 0

^{. Etil est immédiat que}

(f n )

^{est une suitede}

Cauhy dans

(C ⁰ ([0, 1]), || . || ^{L 2} )

^{. Cettesuite ne onvergeantpas dans}

C ⁰

^{, on en déduit que}

(C ⁰ ([0, 1]), || . || ^{L 2} )

n'estpashilbertien(uniquementpréhilbertien).Etonvérieque

(f n )

^{n'estpasdeCauhypourlanorme}

|| . || ∞

^:

pour

m ≥ n

^ona

sup _[0,1] | f m (x) − f n (x) | = 1

^atteintpour

x = ¹ _n

^(sinonelleonvergeraitdans

(C ⁰ ([0, 1]), || . || ∞ )

quiest omplet).

Exemple1.20 Et soit

F = { f ∈ C ⁰ ([0, 1]) : f _{| [0,} ¹

2 ] = 0 }

^.Alors

F

^{est unsous-espaevetorielde}

C ⁰

^(stabilité

parsommeet multipliationparunsalaire).Maisil n'estpasfermépourlanorme

|| . || ^{L 2}

^{,i.e. en'estpasun}

sous-espaevetorielferméde

(L ² ([0, 1]), || . || L ² )

^{:voirl'exempledelasuite}

(f n )

^{donnéesen(1.13)quiappartient}