1. Cours 6: Anneau des polynômes

1. Cours 6: Anneau des polynômes

1.1. L’ensemble des polynômes à une indéterminée Dé…nitions: Soit (A;+; :) un anneau unitaire et commutatif

On appelle polynôme à une indéterminée X et à coe¢ cients dans A toutes écrit- ure algebrique de la forme a₀+a₁X¹+:::+an 1X^{n 1} +anXⁿ+:::

où les a_i 2 A sont nuls sauf un nombre …ni.

Si on note P ce polynôme, alors:

* Les a_i sont appelés les coe¢ cients de P.

* Le plus grand indice n véri…ant a_n 6= 0 (s’il existe) est appelé degré de P et noté degP et dans ce cas a_nXⁿ est appelé terme dominant de P:

* Si le terme dominant de P est 1Xⁿ le polynôme P est dit unitaire.

* Si tous les a_i sont nuls ,P est appelé polynôme nul noté 0 et par convention deg 0 = 1

* Chaque élément a₀ de A est un polynôme, appelé polynôme constant.

L’ensemble des polynômes à une indéterminée Xà coe¢ cients dans A est noté A[X]: Remarques:

1) Dans un polynôme, on omet souvent les a_iXⁱ pour les a_i nuls et on l’écrit suivant les puissances décroissantes de X.

2) On écrit souvent,X au lieu de X¹ et Xⁿ au lieu de 1Xⁿ. 3) SoientP =a₀+a₁X¹+:::+a_{n 1}X^{n 1}+a_nXⁿ+:::

et Q=b₀+b₁X¹+:::+b_{n 1}X^{n 1} +b_nXⁿ+:::

(P =Q),(8i2N:a_i =b_i): Exemples :

1)P =Xⁿ 1(oùn 2N ) est un polynôme unitaire de degrén à coe¢ cients dans Z; C.à.dP 2Z[X]:

Le terme dominant deP estXⁿet ses coe¢ cients sont( 1;0; :::;0;1;0; :::;0; :::).

C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls saufa₀ = 1; eta_n = 1:

2)Q= 2X³ p

5X est un polynôme non unitaire de degré 3à coe¢ cients dans R; C.à.dQ2R[X]:

Le terme dominant deQest2X³et ses coe¢ cients sont 0; p

5;0;2;0; :::;0; ::: : C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls saufa₁ = p

5 eta₃ = 2:

3)S = 4 + 2iest un polynôme non unitaire de degré 0 (polynôme constant) à coe¢ cients dans C;C.à.d S 2C[X]:

Le terme dominant deS est4 + 2i et ses coe¢ cients sont (4 + 2i;0; :::;0; :::) ; C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls saufa₀ = 4 + 2i:

1.2. Opérations sur l’ensemble A[X]

Dé…nitions: Soient P =a₀+a₁X¹+:::+a_{n 1}X^{n 1}+a_nXⁿ+:::

et Q=b₀+b₁X¹+:::+b_{n 1}X^{n 1}+b_nXⁿ+::: deux polynômes de A[X]

On dé…nit la somme P +Q et le produit P:Q par:

P +Q= (a₀+b₀) + (a₁+b₁)X¹+:::+ (a_{n 1} +b_{n 1})X^{n 1}+ (a_n+b_n)Xⁿ+:::

P:Q= P

i+j=0

a_i:b_j

!

+ P

i+j=1

a_i:b_j

!

X¹+:::+ P

i+j=n 1

a_i:b_j

!

X^{n 1} + P

i+j=n

a_i:b_j

!

Xⁿ+:::

Remarques:

1) c0 = P

i+j=0

ai:bj =a0:b0 = P0 i=0

ai:b0 i

c1 = P

i+j=1

ai:bj =a0:b1+a1:b0 = P1 i=0

ai:b1 i

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

c_n = P

i+j=n

a_i:b_j =a₀:b_n+a₁:b_{n 1}+:::+a_n:b₀ = Pn i=0

a_i:b_{n i} :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

2) Pour énoncer la proposition suivante, on adopte la convention suivante:

Pour tout n2N : n+ ( 1) = ( 1) +n= 1; 1< n et( 1) + ( 1) = 1

Proposition: Soient P,Q 2 A[X]; alors:

deg (P +Q) max (degP;degQ) et deg (P:Q) degP + degQ et si A est un corps, alors deg (P:Q) = degP + degQ

Preuve: Posonsn = degP ,m = degQ ,

P =a₀+a₁X¹+:::+a_{n 1}X^{n 1}+a_nXⁿetQ=b₀+b₁X¹+:::+b_{m 1}X^{m 1}+b_mX^m 1^er cas) Si P = 0 ouQ= 0.

Par exemple siP = 0, alors P +Q=Q etP:Q= 0 ainsi

deg (P +Q) = degQ= max ( 1;degQ) = max (degP;degQ) deg (P:Q) = 1= 1+ degQ= degP + degQ

2^eme cas) Si P 6= 0 etQ6= 0, alors:

2.1) Les coe¢ cients de P +Q sont tous nuls après le rang k = max (n; m) donc deg (P +Q) max (n; m) = max (degP;degQ)

2.2) Les coe¢ cientsc_k = P

i+j=k

a_i:b_j de P:Qvéri…ent pour toutk 2N : c_(n+m)+k = P

i+j=n+m+k

a_ib_j = a₀b_n+m+k+:::+a_nb_m+k

| {z }

dans ce terme tous lesbjsont nuls

+a_n+1b_{m+k 1}+:::+a_n+m+kb₀

| {z }

dans ce terme tous lesaisont nuls

Ainsideg (P:Q) n+m= degP + degQ:

c_n+m = P

i+j=n+m

a_i:b_j =a₀:b_n+m+:::+a_{n 1}:b_m+1

| {z }

dans ce terme tous lesbjsont nuls

+a_n:b_m+a_n+1:b_{m 1}+:::+a_n+m:b₀

| {z }

dans ce terme tous lesaisont nuls

=a_n:b_m

SiA est un corps, alors cn+m =an:bm 6= 0 caran 6= 0 et bm 6= 0.

D’où deg (P:Q) = n+m= degP + degQ.

Exemples :

1) Dans Q[X], soient les polynômes:

P = 3X² 1 C.à.d: P = 3X²+ 0X 1

et Q= ¹₂X³+ 4X C.à.d Q= ¹₂X³+ 0X²+ 4X+ 0 alors, P +Q = 0 + ¹₂ X³+ (3 + 0)X² + (0 + 4)X+ ( 1 + 0)

= ¹₂X³+ 3X²+ 4X 1

et P:Q = 3 ¹₂ X⁵+ 0 ¹₂ + (3 0) X⁴

+ ( 1) ¹₂ + (0 0) + (3 4) + (0 0) X³

+ ((( 1) 0) + (0 4) + (3 0))X²+ (( 1) 4 + 0 0)X+ (( 1) 0)

= ³₂X⁵+ 0X⁴+²³₂X³+ 0X² 4X+ 0 = ³₂X^{5 23}₂X³ 4X Théoreme: (A[X];+; :) est un anneau unitaire et commutatif.

Preuve:

Soient P =p₀+p₁X¹+:::+p_{n 1}X^{n 1}+p_nXⁿ+:::

Q=q0+q1X¹+:::+qm 1X^{m 1}+qmX^m+:::

et S =s₀ +s₁X¹+:::+s_{k 1}X^{k 1} +s_kX^k+::

1) P +Q= (p₀+q₀) + (p₁+q₁)X¹+:::+ (p_{k 1}+q_{k 1})X^{k 1} + (p_k+q_k)X^k+:::2A[X]: Alors l’addition des polynômes est une loi interne dansA[X]:

2)(P +Q)+S = ((p₀+q₀) +s₀)+((p₁+q₁) +s₁)X¹+:::+((p_{k 1}+q_{k 1}) +s_{k 1})X^{k 1} + ((p_k+q_k) +s_k)X^k+:::

= (p0+ (q0+s0))+(p1+ (q1+s1))X¹+:::+(pk 1+ (qk 1+sk 1))X^{k 1} + (p_k+ (q_k+s_k))X^k+:::

=P + (Q+S)

Alors l’addition des polynômes est une loi associative dans A[X]:

3)P+Q= (p₀+q₀)+(p₁+q₁)X¹+:::+(p_{k 1}+q_{k 1})X^{k 1}+(p_k+q_k)X^k+:::

= (q₀+p₀)+(q₁+p₁)X¹+:::+(q_{k 1}+p_{k 1})X^{k 1}+(q_k+p_k)X^k+:::

=Q+P

Alors l’addition des polynômes est une loi commutative dansA[X]: 4) Le polynôme nul 0 + 0X¹+:::+ 0X^{k 1}+ 0X^k+::: est aussi noté0:

P + 0 = (p0+ 0) + (p1+ 0)X¹+:::+ (pk 1+ 0)X^{k 1}+ (pk+ 0)X^k+:::

=P

Alors le polynômes0est l’élement neutre de l’addition des polyômes dansA[X]: 5) Notons par P le polynôme

( p₀) + ( p₁)X¹+:::+ ( p_{n 1})X^{n 1}+ ( p_n)Xⁿ+:::

On a:

P+( P) = (p₀ p₀)+(p₁ p₁)X¹+:::+(p_{n 1} p_{n 1})X^{n 1}+(p_n p_n)Xⁿ+:::

= 0

Alors P est le symétrique deP par rapport à l’addition des polyômes dans A[X]: 6)P:Q= P

i+j=0

p_i:q_j

!

+ P

i+j=1

p_i:q_j

!

X¹+:::+ P

i+j=k 1

p_i:q_j

! X^{k 1}

+ P

i+j=k

p_i:q_j

!

X^k+:::2A[X]: Alors la multiplication des polynômes est une loi interne dans A[X]:

7)P:Q= P

i+j=0

p_i:q_j

!

+ P

i+j=1

p_i:q_j

!

X¹+:::+ P

i+j=k 1

p_i:q_j

!

X^{k 1} + P

i+j=k

p_i:q_j

!

X^k+:::

= P

i+j=0

q_j:p_i

!

+ P

i+j=1

q_j:p_i

!

X¹+:::+ P

i+j=k 1

q_j:p_i

!

X^{k 1} + P

i+j=k

q_j:p_i

!

X^k+:::

=Q:P

Alors la multiplication des pôlynomes est commutative dans A[X]:

8) SiQ= 1 + 0X¹+:::+ 0X^{m 1}+ 0X^m+:::.C.à.d: q₀ = 1 et8j 2N ; q_j = 0:

AlorsP:Q= P

i+j=0

pi:qj

!

+ P

i+j=1

pi:qj

!

X¹+:::+ P

i+j=k 1

pi:qj

! X^{k 1}

+ P

i+j=k

p_i:q_j

!

X^k+:::

= (p0:1) + (p1:1)X¹+:::+ (pk 1:1)X^{k 1}+ (pk:1)X^k+:::

=P

AlorsQ= 1est l’élément neutre de la multiplication des pôlynomes dansA[X]: 9) Notons respectivement les coe¢ cients de(P:Q):S,P:(Q:S),P:QetQ:Spar ((P:Q):S)_l, (P:(Q:S))_l; (P:Q)_l et (Q:S)_l

((P:Q):S)_l = P

r+k=l

(P:Q)_r:s_k = P

r+k=l

P

i+j=r

p_i:q_j

! :s_k

= P

r+k=l

P

i+j+k=r+k

p_i:q_j:s_k

!

= P

i+j+k=l

p_i:q_j:s_k

(P:(Q:S))_l = P

i+r=l

p_i:(Q:S)_r = P

i+r=l

p_i: P

j+k=r

q_j:s_k

!

= P

i+r=l

P

i+j+k=i+r

p_i:q_j:s_k

!

= P

i+j+k=l

p_i:q_j:s_k d’où (P:Q):S =P:(Q:S)car ils ont les mêmes coe¢ cients.

Alors la multiplication des pôlynomes est associative dans A[X]:

10) Gardons les notation de 7) et notons respectivement les coe¢ cients de (P +Q):S; P +Q; P:S et Q:S par ((P +Q):S)_l; (P +Q)_l; (P:S)_l et (Q:S)_l ; alors,

((P +Q):S)_l = P

r+k=l

(P +Q)_r:s_k = P

r+k=l

(pr+qr):s_k

= P

r+k=l

pr:s_k+ P

r+k=l

qr:s_k = (P:S)_l+ (Q:S)_l

= (P:S +Q:S)_l

d’où (P +Q):S=P:S +Q:S, car ils ont les mêmes coe¢ cients.

Alors la multiplication est distributive par rapport à l’addition dansA[X].

Par suite (A[X];+; :)est un anneau commutatif et unitaire.

Proposition:Si K est un corps commutatif, alors (K[X];+; :)est un anneau intègre.

C.à.d: (8P; Q2K[X] :P:Q= 0)) (P = 0 _ Q= 0) Preuve:

P:Q= 0 )deg (P:Q) = deg 0 = 1 )degP + degQ= 1

)degP = 1 _degQ= 1 )P = 0_Q= 0

1.3. Arithmétique dans K[X]

Dans la suite, on suppose queK est un corps.

1.3.1. Divisibilité:

Soient P,B 2 K[X]

On dit que B divise P , s’il exite Q2K[X] tel que P =Q:B Exemples:

1) Tout élément a6= 0 du corpsK divise tout polynôme P de K[X]

Car: P =a:(a ¹P) eta ¹P est bien un polynôme.

2) Tout polynôme P divise le polynôme nul 0;car: 0 = 0:P

3) X+ 1 divise X²+X; car: X²+X =X(X+ 1) Remarques:

1)0 ne divise que0:

2) Les diviseurs de 1 sont les éléments de K , qui sont les seuls éléments inversibles dansK[X]:

En e¤et: Soit B 2K[X]

B divise1) 9Q2K[X] : 1 =QB ) 9Q2K[X] : degQB = 0

) 9Q2K[X] : degQ+ degB = 0 ) 9Q2K[X] : degQ= degB = 0 DoncQ=q₀ 2K etB =b₀ 2K avec1 = q₀:b₀:

(si 1 = QB; alors 0 = deg 1 = degQ+ degB; d’où degQ = degB = 0 donc Q=q0 etB =b0 avec1 =q0b0)

3) Si B diviseP , on dit que P est un multiple deB:

4) Si B diviseP etP 6= 0 , alors degB degP En e¤et: B diviseP ) 9Q2K[X] :P =Q:B

) 9Q2K[X] : degP = degQ+ degB

degQ 0; sinon degQ = 1 donc degP = degQ+ degB = 1 C.à.d:

P = 0 ce qui contredit les hypothèses.

AlorsdegP degB

1.3.2. Division euclidienne dans K[X] : Soient P , B 2K[X]

Si B 6= 0, alors il existe un couple unique (Q; R)2K[X]² tels que P =QB+R et degR <degB

Preuve: a) Pour montrer l’existence, on a deux cas possibles.

a.1) Si P = 0, alors P = 0:B + 0: C.à.d: Q = R = 0; ce qui véri…e degR <

degB (car degP = 1 etdegB 0)

a.2)Si P 6= 0, degP =n 2N et degB = m2 N; alors P =p₀+p₁X+:::+ p_nXⁿ et B =b₀+b₁X+:::+b_mX^m

Raisonnons par récurrence surn:

* Si n= 0, c.à.dP =p₀ , on a deux cas:

1^ercas: Si m = 0; alors B = b₀ d’où P = p₀b₀¹:B+ 0. C.à.d: Q = p₀b₀¹ et

2^emecas: Si m >0; alors P = 0:B+P: C.à.d: Q= 0 et R = P; ce qui véri…e degR <degB (car degP = 0 etdegB >0).

* Supposons le théorème vrai pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à n 1 et montrons qu’il reste vrai pour les polynômes de degrén:

On a deux cas

1^ercas: Si m > n; alors P = 0:B +P: C.à.d: Q = 0 et R = P; ce qui véri…e degR <degB (car degR=n etdegB =m).

2^emecas: Si m n; alorsP =P a_nb_n¹X^{n m}:B est de degré inférieur ou égal àn 1; alors d’après l’hypothèse de récurrenceP =QB+R avecdegR <degB par conséquent P = P +a_nb_n¹X^{n m}:B = Q+a_nb_n¹X^{n m} B +R , c.à.d:

Q=Q+a_nb_n¹X^{n m} et R=R; ce qui véri…e degR < degB (car degR= degR) b)Pour montrer l’unicité, on suppose queP =Q:B+R =Q₁:B+R₁ tels que degR <degB etdegR₁ <degB:

Alors(Q Q₁):B = (R₁ R)et par passage aux degrés, on obtientdeg (Q Q₁)+

degB = deg (R₁ R) max (degR₁;degR)<degB; d’où deg (Q Q₁) = 1, ainsi Q Q₁ = 0 et par suiteR₁ R= 0

Remarque: La preuve précédente montre que la division euclidienne de P par B; se ramène à la division euclidienne deP parB; avecdegP <degP:

Ceci est la base d’un procédé itératif appelé algorithme de la division euclidi- enne des polynômes.

Exemple: Divisons P = 3X⁵ 2X³ 5X² + 1 parB = 2X³+¹₂X² X 3X⁵+ 0X⁴ 2X³ 5X²+ 0X+ 1 ¹₂X³+ 2X² X+ 0

12X⁴+ 4X³ 5X²+ 0X+ 1 6X² 24X+ 104 52X³ 29X²+ 0X+ 1

237X²+ 104X+ 1

donc le quotient Q= 6X² 24X+ 104 et le reste R = 237X²+ 104X+ 1 1.4. Fonctions polynômes d’une variable, polynôme dérivé et racine

d’un polynôme

Dé…nitions:Soit P =a₀+a₁X¹+:::+a_{n 1}X^{n 1}+a_nXⁿ un polynôme de K[X]: 1) On appelle fonction polynôme d’une variable x associée à P; la fonction e

P :K !K dé…nie par: Pe(x) =a₀+a₁x¹+:::+a_{n 1}x^{n 1}+a_nxⁿ

2) On dit qu’un élément est une racine ou zéro de P, si Pe( ) = 0:

3) On appelle dérivé du polynôme P le polynôme noté P⁰ et dé…ni par:

P⁰ =a₁+ 2a₂X¹ +:::+ (n 1)a_{n 1}X^{n 2}+na_nX^{n 1} Exemples:

1) La fonction polynôme associée au polynôme P =X²+ 2X 3 deR[X]est la fonctionPe:R!Rtelle que Pe(x) = x²+ 2x 3et les seules racines deP sont

3 et 1; carPe( 3) =Pe(1) = 0

Le polynôme dérivé de P est P⁰ = 2X+ 2

2)La fonction polynôme associée au polynôme P = X² 2 de Q[X] est la fonctionPe :Q!Qtelle quePe(x) =x² 2etP n’a pas de racine car Pe(x)6= 0 pour toutx2Q:

Le polynôme dérivé de P est P⁰ = 2X Remarques:

1) On dit que Pe(x) est obtenu par substitution de xà X dans P:

2) On véri…e, facilement, que P^+Q = Pe +Qe , P:Qg = P :eQ ;e Pe⁰ = fP⁰ ; (P +Q)⁰ =P⁰+Q⁰ et(P:Q)⁰ =P⁰:Q+P:Q⁰

3) Si degP 1; alors degP⁰ = degP 1 et si degP < 1; alors degP⁰ = 1 Théorème: Soit P 2K[X] et 2K; alors:

1) Le reste de la division euclidienne de P par X est Pe( ): 2) est une racine de P si, et seulement, si X divise P

Preuve: 1) On aP = (X )Q+R oùR etQsont, respectivement, le reste et le quotient de la division euclidienne deP parX . AlorsPe =(X^)Qe+Re , ainsiPe( ) =Re( ).

Or degR < deg (X ) = 1; donc R et constant, d’où Re =R et Re( ) = R:

Par conséquentPe( ) =R:

2) Cette assertion est une conséquence directe de 1).

Exemple: 3est une racine du polynômeP =X³+ 5X²+ 3X 9deR[X]; alors P = (X+ 3)Q avecQ= 2X+X² 3

Ordre de multiplicité d’une racine: Soit P 2 K[X] et une racine de P: On appelle ordre de multiplicité de la racine de P; le plus grand m 2 N tel que (X )^m divise P:

* Si m = 1; on dit que est une racine simple de P

* Si m = 2; on dit que est une racine double de P:

* Si m = 3; on dit que est une racine triple de P: ...etc

Exemple: 3 est une racine double du polynôme P = X³ + 5X² + 3X 9 deR[X];car P = (X+ 3)²(X 1)

Théorème: Soient P 2K[X] et 2K:

est une racine simple de P si, et seulement, si Pe( ) = 0 et Pe⁰( ) 6= 0 (où Pe⁰ est la dérivée de Pe)

Preuve: est une racine simple de P si, et seulement, s’il existe Q2 K[X]

tel que P = (X )Qet Q( )6= 0:

OrPe⁰ =Qe+ (x )Qe⁰ donc Pe⁰( ) =Q( ); d’où l’équivalence voulue.

Exemple: Soit le polynôme P =X³+ 5X²+ 3X 9 deR[X]; On a Pe(1) = 0 et Pe⁰(1)6= 0 (Pe⁰(x) = 3X²+ 10X+ 3)

Proposition: Si 1; 2; :::; r sont des racines deux à deux distinctes de P, d’ordres de multiplicité respectifs m₁; m₂; :::; m_r; alors ^r

i=1(X _i)^mi divise P:

Preuve: Les i sont deux à deux distinctes, alors les polynômesX _i sont premiers entre eux et par suite (X i)^misont premiers entre eux

Or(X _i)^mi diviseP donc ^r

i=1(X _i)^mi diviseP:

Corollaire: 1) Un polynôme de degré n 2 N admet au plus n racines dis- tinctes.

2) Si P possède une in…nité de racines, alors P est le polynôme nul.

Preuve: 1) Supposons 1; ₂; :::; _n+1des racines distinctes deP;alors d’après la proposition précédente,

n+1

i=1(X _i)diviseP;doncn+1 = deg

n+1

i=1(X _i) degP =n ce qui est absurde.

2) L’assertion 1) montre que siP admet une in…nité de racine, alorsdegP =2N; donc P est nul.

Théorème:(Théorème fondamental de l’algèbre): Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C:

Autrement dit: Tout polynôme de C[X] de degré n 1 admet n racines.

(La preuve de ce théorème dépasse le cadre du cours d’algèbre de 1^ere année LMD)

Remarque: Il existe des formules donnant les racines d’un polynôme de degré 1;2;3et4de C[X]. De telles formules n’existent pas pour un polynôme de degré n 5, alors on ne peut décomposer un polynôme de C [X] que dans des cas particuliers.

Exemple: Soit P =X⁷ 8X

P =X⁷ 8X =X(X⁶ 8) = X (X²)³ 2³ =X(X² 2) (X⁴+ 2X²+ 4)

=X(X² 2) X²+ 1 ip

3 X²+ 1 +ip 3

=X X p

2 X+p

2 X ^1+ipp₂³ X+^1+ipp₂³ X ^1pip₂³ X+ ^1pip₂³ P admet 7 racines dansC, 3 racines dansR et 1racine dans Q.

Cette écriture est une décomposition de P en facteurs indécomposables dans C[X]:

Pour obtenir la décomposition en facteurs indécomposables dansR[X];il faut remplacer les facteurs dont les produits sont des polynômes indécomposables dans R[X] par leurs produits.

Cette écriture est une décomposition de P en facteurs indécomposables dans R[X]:

Pour obtenir la décomposition en facteurs indécomposables dansQ[X];il faut remplacer les facteurs dont les produits sont des polynômes indécomposables dans Q[X] par leurs produits.

P =X X p

2 X+p

2 X² p

2X+ 2 X²+p

2X+ 2

=X(X² 2) (X⁴+ 2X²+ 4)

cette écriture est une décomposition de P en facteurs indécomposables dans Q[X]: