Université des Sciences et Technologies de Lille
Examen de Mathématique
Licence SVTE S1 5 Janvier 2010
durée : 2 heures ni documents ni calculatrice
Précisez votre numéro de groupe en haut à gauche de la copie
Exercice I.
Soit la fonction de deux variables dénie par f(x, y) = ye−x
2 2 −y2
2 .
1. Calculer les dérivées partielles premières et secondes de f.
2. Déterminer les deux points critiques (ou points stationnaires) de f. 3. Etudier les extrema de la fonction f.
Exercice II.
Calculer les intégrales suivantes : 1. R2
1 t2 t− 34 dt 2. R2
0 x2exdx (Indication : Utiliser l'intégration par parties.) 3. R1
0 3
(x+1)(x−2)dx(Indication : Ecrire (x+1)(x−2)3 sous la forme x−2a +x+1b , oùa et b sont deux constantes à préciser.)
Exercice III.
Un parasite s'introduit dans une artère. On notex ∈[0,1] la distance au c÷ur (en décimètres) et t le temps (en heures). On note u(x, t) la densité de parasites au point x et à l'instant t (en nombre d'individus par décimètre d'artère). L'évolution de cette densité pendant la première heure est modélisée pour x∈[0; 1] ett∈[0; 1]
par
(1)
(∂tu(x, t) =−∂xu(x, t) +f(x)
u(x,0) = 0,
oùf est une fonction continue liée à l'arrivée du parasite.
On poseu(x, t) = Rx
0 f(y)dy−Rx−t
0 f(y)dy. 1. Soit F une primitive de f.
(a) Vérier que u(x, t) =F(x)−F(x−t).
(b) Montrer que ∂xu(x, t) = f(x)−f(x−t) et ∂tu(x, t) = f(x−t).
(c) En déduire que u est solution du système (1).
2. Expliquer pourquoiR1
0 u(x, t)dxreprésente le nombre de parasites dans les dix premiers centimètres de l'artère au temps t.
3. On suppose que l'on a f(x) = 1−x2. (a) Calculeru(x, t).
(b) Quelle est la densité de parasites au bout d'une heure ? A quelle distance du c÷ur est-elle maximale ?
