U.F.R. de Mathématiques Parcours PEIP, 2015–16 Mathématiques pour les Sciences de l’Ingénieur Fiche d’exercices n

U.F.R. de Mathématiques Parcours PEIP, 2015–16 Mathématiques pour les Sciences de l’Ingénieur

Fiche d’exercices n^o 1

Ex 1. Le nombre réel x admet un développement décimal illimité périodique, avec répétition à l’infini de la séquence de chiffres 63 :

x“0,636 363 636 363 636 363 63. . .

Montrez à l’aide de calculs de séries quexpeut s’écrire comme une fraction irréductible.

Ex 2. Trouvez une suite pckqkPN^˚ d’entiers appartenant chacun à v0,9w et telle que 19

44 “

`8ÿ

k“1

c_k 10^k. Justifiez votre réponse par un calcul de somme de série.

Ex 3. Montrez que la série ř`8

k“12^´3k`1 est convergente et calculez sa somme.

Ex 4. Le but de cet exercice est de vérifier la convergence de la série

`8ÿ

k“1

1 kpk`1q et de calculer sa somme.

1) En remarquant que 1 k ´ 1

k`1 “ 1

kpk`1q, trouver une expression simple de la somme partielle S_n de rang n de la série et conclure.

0 _k+1^{1 1}_k 1 x

y 1

Figure 1 – Calcul géométrique de ř`8 k“1

1 kpk`1q

2) Retrouver ces résultats de manière géométrique en exploitant la figure 1.

Ex 5. Séries de terme général entier

Que peut-on dire de la convergence de ř`8 k“0u_k,

— si tous les u_k appartiennent à N?

— si tous les u_k appartiennent à Z?

Ex 6. Étudiez la convergence des séries suivantes :

`8ÿ

k“0

2^´k`

?k,

`8ÿ

k“6

3k´2 k³´5k² et

`8ÿ

k“0

k`1 pk<sup>2</sup>`3q?

k`2¨

Ex 7. 1) Montrez que pour tous réels strictement positifsa et b,

kÑ`8lim k^aexpp´k^bq “ 0.

2) Étudiez la convergence de la série

`8ÿ

k“0

k^{2 013}e^´

?k.

Ex 8. Soit aPs0,`8r. Discutez selon les valeurs de a la convergence de

`8ÿ

k“1

a^k k². Ex 9. Soient a etb deux réels. Pour tout nP Non pose

u_n “?

n`a?

n`1`b? n`2.

1) Vérifier que la suite pu_nqtend vers 0 si et seulement si a`b “ ´1.

2) Déterminer a etb pour que la série ř`8

n“0u_n soit convergente.

Ex 10. Comparaison Séries-Intégrales Soit aą0. On pose pour tout ně1, S_n “

n

ÿ

k“1

1

k^a, et pour tP r1,`8r, fptq “ 1 t^a. 1) En utilisant la décroissance de f, montrer que pour tout kě1,

1 pk`1q^a ď

żk`1

k

1

t^a dt ď 1 k^a, puis que, pour tout n ě1,

żn`1

1

1

t^adtďS_n ď1` żn

1

1 t^adt.

2) En déduire que quand n tend vers `8, si 0ăaă1, S_n„ n^1´a

1´a et si a“1, S_n „lnn.

2

Ex 11. Extrait de l’examen du 16 mai 2013

Soitpu_kqkPN^˚ une suite de réels positifs. Que peut-on dire des affirmations suivantes ? a) Si ř`8

k“1u_k converge, alorsř`8

k“1u²_k converge.

b) Si ř_`8

k“1u_k converge, alorsř_`8

k“1

?u_k converge.

Si vous pensez qu’une implication est vraie, démontrez-la. Si vous pensez qu’elle est fausse, proposez un contre exemple.

Ex 12. On se propose d’étudier suivant les valeurs des paramètres réelsaą0 etb ą0 la convergence de la série de terme général

u_n“2ⁿexpp´an^bq, n PN.

1) Pour quelles valeurs des paramètres a etb le terme général de la série converge- t-il vers 0 ?

2) Dans les cas oùu_n tend vers 0, étudier la convergence de la série en fonction des valeurs des paramètres.

Indication : dans le cas où b ą1, montrer qu’il existe un entier n₀ tel que

@něn₀, u_nďexp

´

´a 2n^b

¯ .

Ex 13. Extrait du D.S. du 30 mars 2013 1) La série

`8ÿ

k“0

k`1

2k³`3k`2 est-elle convergente ? 2) La série

`8ÿ

k“0

p´1q^k

?k`1 est-elle convergente ? absolument convergente ? Ex 14. Extrait du D.S. du 14 mars 2015

On considère les séries ř`8

k“1u_k et ř`8

k“1v_k, où u_k“ p´1q^k

?k ` 1

k et v_k “ p´1q^k

?k . 1) Montrez que uk„vk quand k tend vers l’infini.

2) Montrez que ř`8

k“1v_k converge, tandis que ř`8

k“1u_k diverge.

3) Ceci contredit-il la règle des équivalents ? Ex 15. La série

`8ÿ

k“1

cospkπq alnp1`kq

est-elle convergente ? absolument convergente ?

Ex 16. Extrait du D.S. du 14 mars 2015

1) Pour tout k P N, on pose uk “ 4k ` p´1q<sup>k</sup>. Montrer que la suite pukqkě0 est croissante dans R`.

2) La série

`8ÿ

k“0

p´1q^k

4k` p´1q^k est-elle convergente ? absolument convergente ?

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