Exercices de mathématiques

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Exercices de mathématiques

Thomas Rey Classe de seconde

le 7 avril 2019

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Ce fichier d’exercices est sous licence Creative Commons Paternité BY-NC-SA.

Cela signifie que vous pouvez l’utiliser comme bon vous semble (si possible pour faire des maths !), tant que vous indiquez leur auteur (moi) et leur provenance (le site http://reymarlioz.free.fr),

que vous ne les utilisez pas dans un but commercial et que toutes les versions (éventuellement modifiées) que vous distribuez soient aussi sous licence CC BY-NC-SA (voir icipour plus de

précision).

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Table des matières

Chapitre préliminaire : calculs et nombres 7

1 Un peu de calcul . . . 7

1.1 Calcul numérique . . . 7

1.2 Développements. . . 8

1.3 Factorisations . . . 9

1.4 Équations . . . 9

2 Les ensembles de nombres . . . 9

2.1 Les entiers naturels . . . 9

2.2 Les entiers relatifs. . . 9

2.3 Les nombres décimaux . . . 9

2.4 Les nombres rationnels . . . 10

2.5 Les nombres réels . . . 10

2.6 Remarque . . . 10

3 Exercices . . . 11

1 Configurations - Repérage du plan 13 1 Configurations du plan . . . 13

2 Repère du plan . . . 14

2.1 Activité . . . 14

2.2 Exercices . . . 15

3 Milieu d’un segment . . . 15

4 Calculs de distances . . . 15

5 Configurations géométriques . . . 16

2 Fonctions numériques 17 1 En fonction de . . . 17

2 Vocabulaire . . . 17

3 Valeurs interdites. Ensemble de définition . . . 18

4 Algorithmes . . . 19

5 Représentations graphiques. Équations. Inéquations . . . 20

6 QCM « bilan » . . . 21

3 Statistiques : épisode 1 22 1 Avec un tableur . . . 22

1.1 Espérance de vie en France depuis 1946. . . 22

1.2 Enquête sur les élèves du lycée Marlioz . . . 22

1.3 Effet de structure . . . 23

2 À la main et à la calculatrice. . . 25

3

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2.1 Diagrammes . . . 25

2.2 Calculs divers . . . 26

4 Calcul littéral - Équations - Inéquations 28 1 Calcul littéral . . . 28

2 Équations - Inéquations . . . 30

2.1 Équations . . . 30

2.2 Problèmes . . . 31

2.3 Inéquations . . . 31

2.4 Exercice complet . . . 32

2.5 Problèmes . . . 32

5 Vecteurs du plan 33 1 Translations . . . 33

2 Vecteur et représentants . . . 34

3 Égalité de vecteurs . . . 34

4 Coordonnées d’un vecteur . . . 35

5 Quelques programmes en Python . . . 36

6 Étude qualitative de fonctions 38 1 Activités : variations d’une fonction . . . 38

1.1 Découverte . . . 38

1.2 Mathématiquement . . . 39

1.3 Vers la définition des variations d’une fonction. . . 39

1.4 Application : tableaux de variation . . . 39

2 Quelques exercices . . . 40

3 Extremums . . . 41

4 Fonctions définies par morceaux . . . 42

5 Avec un logiciel de géométrie dynamique . . . 43

5.1 Optimisation . . . 43

5.2 Avec un carré et un triangle . . . 44

6 Rappels GeoGebra . . . 45

6.1 À la souris . . . 45

6.2 Dans la ligne de saisie . . . 45

7 Vecteurs du plan. Le retour ! 46 1 Activités : les petits bateaux. . . 46

1.1 Somme de deux vecteurs . . . 46

1.2 Multiplication d’un vecteur par un réel . . . 47

2.1 Somme de vecteurs . . . 47

2.2 Multiplication par un réel . . . 48

2.3 Configurations géométriques . . . 48

3 Avec des coordonnées . . . 49

8 Fonctions affines 50 1 Déterminer une fonction affine . . . 50

2 Représentation graphique . . . 51

3 Signe d’une fonction affine . . . 51

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4 Quelques algorithmes . . . 53

9 Probabilités 54 10 Fonctions usuelles 58 1 Rappels sur les lectures graphiques . . . 58

2 Activités . . . 59

3.1 Fonction carré . . . 59

3.2 Fonction inverse. . . 60

4 Avec les fonctions carré et inverse . . . 60

5 Un problème d’aire minimale. . . 62

5.1 Préliminaires . . . 62

5.2 Avec GeoGebra . . . 62

5.3 Démonstration . . . 62

5.4 Prolongement . . . 63

11 Droites du plan 64 1 Équations de droites . . . 64

2 Systèmes linéaires . . . 65

3 Problème . . . 66

4 Géométrie dynamique . . . 66

5 Prolongement : inéquations à deux inconnues . . . 67

12 Statistiques : épisode 2 69 1 Familles . . . 69

2 Le lièvre et la tortue . . . 70

2.1 Les règles du jeu . . . 70

2.2 À la calculatrice. . . 70

2.3 Au tableur . . . 71

2.4 Prolongements . . . 72

3 Échantillonnage . . . 72

3.1 Introduction . . . 72

3.2 Exercices . . . 73

4 Aide « technique » . . . 73

4.1 Calculatrice . . . 73

4.2 Tableur . . . 74

13 Trigonométrie 75 14 Géométrie spatiale 76 1 Positions relatives . . . 76

2 Cuboctaèdre . . . 77

3 Intersections. Sections . . . 78

15 Équations (épisode 2). Inéquations 80 1 Équations . . . 80

2 Tests. . . 80

3 Inéquations. . . 81

5

(6)

4 Algébriquement. . . 81

5 Problèmes . . . 82

1 Expressions algébriques . . . 83

2 Équations et solutions . . . 83

3 Équations du premier degré . . . 83

4 Équation produit . . . 84

5 Problèmes . . . 84

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Chapitre préliminaire : calculs et nombres

Depuis quelques années maintenant, vous utilisez desnombres pour compter vos jouets, vos bonbons, votre argent, vos petites copines, le temps à travailler avant les prochaines vacances, mais aussi pour mesurer la distance entre votre domicile et le lycée, pour évaluer la vitesse de votre scooter, . . . À l’école primaire, vous avez appris à calculer avec ces nombres grâce aux opérations élémentaires ; ceci vous a permis de résoudre des problèmes plus ou moins difficiles. . .

Au collège, vous avez commencé, dans certains calculs à remplacer les nombres par des lettres : on parle alors de calcul littéral. La lettre peut avoir au moins trois « statuts » :

— elle peut désigner un nombre quelconque et on effectue des calculs avec elle : si a est un nombre, on peut calculer le double de a en écrivant 2a;

— elle peut désigner un nombre inconnu dont on cherche la valeur (c’est le cas quand on résout une équation) ;

— elle peut désigner une variable c’est-à-dire qu’elle peut prendre plusieurs valeurs (souvent une infinité) c’est le cas lorsqu’on définit une fonction. Si f est la fonction affine définie par f(x) = 2x+ 3, la lettre xest une variable qu’on peut remplacer par n’importe quel nombre.

Dans ce chapitre préliminaire, nous allons dans un premier temps revoir ce fameuxcalcul littéral. Mais en maths on utilise aussi beaucoup les nombres et les mathématiciens les ont rangés par catégories.

Nous en donnerons ensuite quelques¹ ensembles de nombres que vous devrez connaître.

1 Un peu de calcul

1.1 Calcul numérique

Exercice 1.

1. Dans le qcm suivant, il peut y avoir une ou plusieurs réponses exactes :

Questions A B C D

1. si ²₇ = _x⁹, alors x= ^9×7₂ x= _7×9² 2×x= 9×7 x= ^2×9₇

2. −²₃ + ³₂ est égal à ¹₅ −⁵₆ ⁵₆ −1

3. −⁵₆ × ¹⁸₇ est égal à −⁹⁰₄₂ −¹⁵₇ −₁₀₈³⁵ −³⁵₄₂× ^6×18₄₂ 4. ⁵⁷_÷⁴₃ est égal à ⁵₄ ÷ ⁷₃ ¹⁵₂₈ ⁷₅ × ⁴₃ ⁷₅ ÷⁴₃

5. 5⁴ est égal à 20 5×5×5×5 625 4⁵

1. Il en existe d’autres, et même des ensembles de nombres imaginaires. . .

7

(8)

6. 11⁻⁴ est égal à 11⁵×11⁻⁹ 11⁻³×11⁷ ¹¹₁₁⁹5

11³ 11⁷

7. ⁷₇⁻³7 est égal à 7⁴ 7⁻⁴ 7¹⁰ 7⁻¹⁰

8. (−5³)² est égal à 5⁵ (−5)⁶ 5⁶ 25³

2. Compléter les règles de calculs suivantes oùa,b,cetddésignent des nombres (betdnon nuls), m etn des entiers :

Si a b = c

d alors · · · × · · ·=· · · ×. . . (produit en croix) a

b × c

d = ; a

b ÷ c d = a^m×aⁿ = ; a^m

aⁿ = ; (a^m)ⁿ= À savoir

Exercice 2.

1. Simplifier les écritures suivantes : A=√

18; B = 3√

12 + 5√

27; C =√

18×√

8; D=

√20

√45 2. Compléter les règles de calculs suivantes où a etb sont des nombrespositifs :

√

a² =. . . . ; (√

a)² =. . . . ;

√a×b =. . . . ; ^ra

b =. . . ., pour b 6=. . .; À savoir

3. A-t-on √

a+b=√ a+√

b? Justifier.

1.2 Développements

L’expression 3×4 + 5 est une somme car en respectant les priorités on termine par l’addition.

L’expression 3(4 + 5) est un produit car en respectant les priorités on termine par la multiplication (qui est sous-entendue entre le 3 et la parenthèse).

Développer une expression c’est transformer un produit (le résultat d’une multiplication) en une somme (le résultat d’une addition/soustraction).

À savoir

Pour développer on utilise la règle suivante (où k,a etb désignent des nombres) :

k(a+b) = ka+kb À savoir

Exercice 3.

Développer les expressions suivantes :

A= 5x(3 +x); B = 6(x−3y); C = (5x−2)(3x−1)

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1.3 Factorisations

Factoriser une expression c’est transformer une somme en un produit.À savoir

Pour factoriser on peut commencer² par chercher s’il existe unfacteur commun. Exercice 4.

Factoriser les expressions suivantes :

A= 3x+6xy; B = 2(3−x)+(3−x)(x+7); C = 4x+5x²; D= (2x+1)(x−7)−(2x+1)(3x−4)

1.4 Équations

Uneéquationest une égalité dans laquelle figure un ou plusieurs nombresinconnu(s). Un nombre est solution d’une équation à une inconnue si en remplaçant l’inconnue par ce nombre on obtient une égalitévraie.

Résoudre une équation c’est trouver toutes les solutions de cette équation.

Exercice 5.

Résoudre les équations suivantes :

(a) : 3x−7 = x+7; (b) : 2(x+4) = 5x+3; (c) : (2x−3)(x+2) = 0; (d) : (x−5)²−3(x−5) = 0

2 Les ensembles de nombres

2.1 Les entiers naturels

L’ensemble des entiers naturels est noté N (ou au tableau : N). Il est constitué des nombres qui permettent de compter des objets : 0, 1, . . ., 536, . . .. Un entier naturel s’écrit avec un nombre fini de chiffres. (Les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

2.2 Les entiers relatifs

L’ensemble des entiers relatifs est notéZ (ou au tableau :Z). Il est constitué des abscisses des points d’une droite graduée, placés toutes les unités : −36, . . ., 0, . . ., 5, . . ., 17 532, . . .. Un entier relatif s’écrit par un entier précédé d’un signe «−» s’il est négatif et d’un signe « + » facultatif s’il est positif.

2.3 Les nombres décimaux

L’ensemble des nombres décimaux est notéD ouD (ou encore au tableauD). Il est constitué de tous les quotients d’un entier relatif par une puissance de 10 : d= ₁₀^eⁿ, avece ∈Z et n∈ N. Un nombre décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres et une virgule (éventuellement).

Exemple :

453,37 = 45337 10²

453 est appelé la partie entière, et 37 est appelé la partie décimale.

2. Il existe aussi d’autres méthodes.

Fiches d’exercices 9 T.Rey - 7 avril 2019

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2.4 Les nombres rationnels

L’ensemble des nombres rationnels est notéQ(ou au tableau :Q). Il est constitué de tous les quotients d’un entier relatif par un entier naturel non nul. r = ^p_q, avecp ∈Z et q ∈N^∗. Un nombre rationnel peut ne pas être décimal, et dans ce cas il a une écriture décimale infinie mais périodique.

Exemple :

357

11 = 32,454545. . . 352

7 = 50,285714285714. . . Ces nombres s’écrivent aussi : 357

11 = 32,45 et 352

7 = 50,285714.

2.5 Les nombres réels

L’ensemble des nombres réels est notéR (ou au tableau :R). Il contient tous les nombres utilisés en classe de seconde (et bien d’autres . . .), même ceux qui ne sont pas rationnels. Chaque point d’une droite graduée correspond à un nombre réel et réciproquement. On parle ainsi de ladroite des réels :

O 0

I 1

−2, 3 p

5

Exemple :

−6; √

2; 8,32; π; cos 32^◦ . . .

2.6 Remarque

Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres : N⊂Z⊂D ⊂Q ⊂R. Il existe des réels non rationnels (√

2). On les appelle lesirrationnels. Il existe des rationnels non décimaux (³⁵⁷₁₁).

Il existe des décimaux non entiers relatifs (3,57).

Il existe des entiers relatifs non entiers naturels (−6).

On peut illustrer ceci par le diagramme ci-dessous :

R Q D Z N

√2

−π ⁵₃ cos(32°)

23 7 3

5

2,324 ₁₀₀⁵⁶

−4

−12 −7

0 4

1 234

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3 Exercices

Exercice 6.

Dans le tableau suivant, indiquer dans chaque colonne par oui ou non si le nombre appartient à l’ensemble :

Nombre N Z D Q R

3,14

15 3 5√

2

−3

(2√

2−3)(2√ 2 + 3) π

2,2525

18

−7

0

−25²

34 10¹⁵⁴

2,54×10⁶⁷ 2,54×10⁻⁶⁷ Exercice 7.

Développer et donner la réponse en valeur exacte sous la forme la plus simple possible : A=√

2 + 3 5−2√

2−3√

2−2² B = 5 2−√

5 +3√ 5−1 2 +√

5 Exercice 8.

On considère le nombre x= 0,2727.

1. Justifier que 100x= 27 +x.

2. Résoudre l’équation 100x= 27 +x. 3. En déduire la fraction réduite égale à x. Exercice 9.

Déterminer la fraction réduite dont l’écriture décimale infinie est : A= 0,141414.

Même question pourB = 2,313313.

Exercice 10.

Le nombre d’or est le nombre Φ = ¹⁺₂^√⁵.

1. a. Construire un carréOIKJ de côté une unité. PlacerLle milieu de [OI]. Construire le point P de [OI) tel que LK =LP.

(12)

b. CalculerOL.

c. Démontrer que LP = ^√₂⁵. d. En déduire que OP = Φ.

2. a. Démontrer que Φ² = Φ + 1.

b. Démontrer que 1 +_Φ¹ = Φ.

Exercice 11.

Cocher la bonne réponse :

Questions Réponses

1.Un nombre décimal ne peut pas être un entier. V

F

2.Un nombre décimal est rationnel. V

F

3.Un nombre décimal est réel. V

F

4.La racine carrée d’un entier est toujours un

irrationnel. V

F

5.Un nombre entier relatif est un décimal. V

F

6.La fraction ²²₇ est égale à 3,142 857 143. V

F

7.L’inverse de ₂₇⁸ est 3,375. V

F

8.L’inverse de 8,1 est 0,123 456 7. V

F

9.3,2×10⁻⁵ = 32×10⁻⁴. V

F

10.0,000 23 = 2,3×10⁴. V

F

Exercice 12 (plus dur. . .). Le nombre√

2 est-il rationnel ? Justifier

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Chapitre 1

Configurations - Repérage du plan

1 Configurations du plan

Exercice 1.

Pour chacune des figures suivantes, déterminer les longueurs indiquées :

A C

B

x?

1 2,6 E

G

M

F y? A

x? 5 3

7

(AM)//(GF) 8

T D

N 5 I

12 x?

Exercice 2.

On donne la figure suivante :

I

M

J

N

K G

P

Q

1. Les droites (GQ) et (J N) sont-elles parallèles ? Justifier.

2. On donne J N = 3. CalculerGQ. Exercice 3.

Soit C le cercle de centre O et de rayon 4. Soit A un point du cercle et T la tangente à C passant par A. On note T un point deT tel que OT = 5.

Enfin, on noteM l’intersection de (T O) et C qui n’appartient pas à [OT].

1. Faire une figure.

2. Calculer AT.

3. Calculer une mesure de l’angle AOM\

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CHAPITRE 1. CONFIGURATIONS - REPÉRAGE DU PLAN

2 Repère du plan

2.1 Activité

Cette activité va nous permettre de découvrir une propriété permettant de calculer les coordonnées du milieu d’un segment dans un repère du plan.

En ouvrant une nouvelle fenêtre GeoGebra, utiliser la disposition « Graphique et Tableur » (si besoin, cocher ces deux options plus la ligne de saisie dans le menu « Affichage »).

1. En cliquant-droit sur la fenêtre, sélectionner « Graphique » puis dans l’onglet « Grille », cocher

« Afficher la grille » et choisir 1 en abscisses et 1 en ordonnées (la grille sera affichée toutes les unités).

2. Placer le point A(1; 2) en écrivant dans la ligne de saisie A=(1,2) (Attention : virgule et non pas point-virgule). Placer de même le point B(113; 58).

3. Tracer le segment [AB] en saisissant :a=Segment[A,B].

4. Avec l’icône « Point », placer un point C à coordonnées entières et construire le symétriqueC⁰ deC par rapport à (AB).

5. Placer le pointI, intersection de [AB] et de [CC⁰] (ce segment est à tracer préalablement). Que peut-on dire deI pour [CC⁰] ?

6. Nous allons maintenant afficher dans la fenêtre du tableur les coordonnées des trois pointsC, C⁰ etI :

a. Compléter la ligne 1 et la colonne A comme ci-contre.

b. Écrire la formule =x(C) dans la cellule B2. c. Compléter de même par des formules les

autres cellules.

7. Quel conjecture peut-on faire sur les coordonnées de I par rapport à celles de C etC⁰? 8. Quelle formule écrire dans le tableur pour le vérifier ?

Démonstration :

Dans une nouvelle feuille GeoGebra, placer deux points A etB ainsi que le point C de coordonnées (xB;yA). Placer également le milieu I de [AB] ainsi que les droitesd etd⁰ passant parI et parallèles à (AC) et (BC) respectivement.

NommerJ l’intersection ded et [BC] et nommeK l’intersection de d⁰ et [AC].

1. Que peut-on dire des coordonnées de I par rapport à celles de J etK?

2. Que peut-on dire deJ pour [BC] et deK pour [AC] ? Justifier par une propriété vue au collège.

3. Expliquer pourquoi xC −xK = xK −xA. En déduire l’expression de xK en fonction de xA et x_B (ne pas oublier quelles sont les coordonnées de C!).

4. Utiliser une méthode analogue pour déterminer y_K en fonction dey_A ety_B. 5. Conclure.

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2.2 Exercices

Exercice 4.

On se place dans un repère orthonormé (O;I, J).

1. Placer les points A(2;−1), B(−1; 3), C(1,3) et D(−1; 4).

2. Déterminer les coordonnées des points O,I,J,A,B,C etD dans le repère (B;C, D).

3. Même question dans le repère (B;D, C).

4. Dans le repère (O;I, J) placerK(2; 1). Quelles sont les coordonnées des points de la figure dans le repère (I;K, J) ?

3 Milieu d’un segment

Exercice 5.

La figure ci-contre est formée par un carré, un rectangle et un triangle rectangle.

1. Déterminer les coordonnées de tous les points de cette figure dans le repère (C;M, B).

2. Calculer les coordonnées des points suivants :

— I milieu de [F M] ;

— J intersection de (AC) et (BD) ;

— K symétrique de B par rapport à F. 3. I est-il le milieu de [DG] ? Justifier.

A B

D C M

N F G

E

Exercice 6.

Dans cet exercice on se place dans un repère du plan. On donneA(3;−1), B(−2; 4) et C(−3;−2).

1. Calculer les coordonnées de I, J et K milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].

2. Soit D(x_D;y_D) le symétrique de C par rapport à A. a. Que peut-on dire de A pour [CD] ?

b. Exprimer les coordonnées de A en fonctions de celles de C et deD. En déduire x_D ety_D. c. Utiliser une méthode analogue pour déterminer les coordonnées de E symétrique de B par

rapport à J.

4 Calculs de distances

Exercice 7.

On se place dans un repère orthonormé du plan. On donneA(−4;−1),B(7; 2),C(−3; 4) etK(1,5; 0,5).

Nous allons déterminer la nature du triangle ABC de deux façons différentes.

1. a. Calculer AB², BC² etAC².

b. Quelle est la nature de ABC? Justifier.

2. a. Calculer AK², BK² etCK².

b. Que peut-on en déduire pourK par rapport au triangle ABC? c. Calculer les coordonnées du milieu de [AB] et conclure.

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5 Configurations géométriques

Exercice 8.

On considère un repère orthonormé du plan (O;I, J).

1. Placer les points A(−2;−2), B(3; 1) etC(2; 4).

2. Placer le point D de sorte que ABCD soit un parallélogramme et lire ses coordonnées.

3. Dans cette question nous allons calculer (et non paslire) les coordonnées deD. a. Calculer les coordonnées du pointP milieu de [AC].

b. Que peut-on dire de P pour [BD] ? Justifier.

c. Calculer les coordonnées de D (on pourra utiliser la méthode de l’exercice 6). Comparer avec le résultat lu à la question 2

4. ABCD est-il un rectangle ? Justifier.

5. ABCD est-il un losange ? Justifier.

Exercice 9.

Dans un repère orthonormé, on donne P(−4;−1), Q(0; 1), R(2;−3) et S(−2;−5). Déterminer la nature du quadrilatère P QRS.

Exercice 10.

Dans un repère orthonormé on donne A(4; 3), B(−1; 0), K(3;−1) et L(¹₂; 3).

1. Calculer AK et BK. Que peut-on en déduire pour K par rapport à [AB] ? 2. En est-il de même pour L?

Exercice 11.

Dans un repère orthonormé on donne A(4; 2), B(6;−4) et C(0;−2).

1. Démontrer que le triangle ABC est isocèle. Est-il équilatéral ? 2. On note H le pied de la hauteur issue deB. Calculer AH puis BH. 3. Calculer l’aire du triangle ABC.

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Chapitre 2

Fonctions numériques

1 En fonction de . . .

Exercice 1.

On considère un triangle équilatéralABC et H le pied de la hauteur issue deA. 1. Calculer AH lorsque AB= 3. Même question avec AB=√

2.

2. On pose maintenant x la longueur du côté [AB]. Exprimer en fonction de xla longueur AH. 3. Remplacer dans l’expression trouvée à la question précédente x par 3 puis par √

2 et calculer.

Exercice 2.

On considère P RC un triangle vérifiant P R = 5, RC = 4 et P RC[ = 30°. On note O le milieu de [P R]. A est un point du segment [RC] et B est le point de [P C] tel que (AB) est parallèle à (RO).

On noteH l’intersection entre (RP) et la perpendiculaire à (RP) passant parA. Si vous êtes en salle informatique (ou chez vous), vous pouvez faire la construction avec le logiciel GeoGebra.

1. Dans cette question, on se place dans le cas où AR= ³₂. a. Faire une figure.

b. CalculerAB puis AH. En déduire l’aire du trapèze RABO.

2. Dans cette question on pose x=RA(qui n’est plus nécessairement égal à ³₂!).

a. Exprimer AB puis AH en fonction de x.

b. En déduire l’expressionA(x) de l’aire deRABO en fonction dex. 3. À quelle condition le trapèze RABO est-il un parallélogramme ? Justifier.

4. À quelle condition les points H et O sont-ils confondus ? Justifier.

2 Vocabulaire

Exercice 3.

Soit f la fonction définie par f(x) = 2x²−x−1.

1. Calculer les images de −3, de 5, de −2 et de 10.

2. Déterminer tous les antécédents de −1.

Exercice 4.

Reprendre les questions de l’exercice précédent pour la fonctionf :x7→√

x²+ 7.

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CHAPITRE 2. FONCTIONS NUMÉRIQUES

3 Valeurs interdites. Ensemble de définition

Exercice 5.

On donne f :x7→ _2x−10^x+3 etg :x7→√ x+ 2.

1. Peut-on calculer l’image de −3 par f? et par g? Expliquer.

2. Même question pour l’image de 5 par f puis par g.

3. Résoudre l’équation 2x−10 = 0. En déduire toutes les valeurs interdites def, puis l’ensemble de définition de f.

4. Résoudre l’inéquation x+ 2 ≥0. En déduire l’ensemble de définition de g.

Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction f,

— on regarde s’il y a un quotient dans l’expression def(x) : les valeurs dexsolutions de l’équation

« dénominateur = 0 » sont alors des valeurs interdites pourf.

— on regarde s’il y a des racines carrées dans l’expression de f(x). L’ensemble de définition de f est alors contenu dans l’ensemble des solutions de l’inéquation « expression sous la racine

≥0 ».

— l’ensemble de définition peut aussi être restreint par des contraintes de l’énoncé : si f(x) est la longueur d’un segment, il faut que f(x) soit positif ou nul. . ..

Rappel

Exercice 6.

Résoudre l’inéquation 3x+ 2≤5x−3 et représenter la solution sur un axe gradué.

Exercice 7.

Compléter le tableau ci-dessous :

Notation de l’intervalle Inégalité vérifiée par les

éléments x de l’intervalle Représentation graphique

[a; b] a≤x≤b

a < x < b [a; b[

a b

[a; +∞[ a≤x

]a; +∞[

a

x < a

(19)

4 Algorithmes

Exercice 8.

On donne ci-dessous l’algorithme 1qui calcule l’image d’un nombre par une fonction f. Déterminer cette fonction.

1 Entrées : Saisirx;

2 début

3 Calculer le double dex;

4 Retirer 7;

5 Élever le résultat au carré;

6 Ajouter 1;

7 Résultat: Afficher « l’image de x est » le résultat du dernier calcul;

Algorithme 1 : Calcul d’une image

Exercice 9.

On donne ci-après l’algorithme 2.

1 Entrées : Saisirx;

2 début

3 six≥0 alors

4 six6= 1 alors

5 Calculer _x−1¹ ;

6 sinon

7 Calculer x²+ 1;

8 Prendre l’inverse du résultat précédent;

9 sinon

10 Calculer −2x+ 1;

11 Calculer l’opposé du carré du résultat précédent;

12 Résultat: Afficher le résultat du dernier calcul;

Algorithme 2 : Par morceaux. . .

1. Appliquer cet algorithme aux nombres suivants : x=−3,x=−1, x= 0, x= 1 puisx= 3.

2. Compléter les phrases suivantes :

— si x∈]− ∞; 0[ alors f(x) =

— si x= 1 alors f(x) =

— si x≥0 avec x6= 1 alors f(x) =

(20)

5 Représentations graphiques. Équations. Inéquations

Soit f une fonction. Pour chaque valeur x de l’ensemble de définition, on peut calculer f(x). Si on appelle y le nombre f(x), on obtient alors un couple (x;y) qui peut être les coordonnées d’un point M dans un repère. L’ensemble des points M qui ont des coordonnées du type (x;y) où x ∈ Df et y=f(x) est appelé courbe représentative de la fonction f dans le repère.

Rappel

Exercice 10.

Sur le graphique ci-contre, on a tracé la représen- tation graphique d’une fonction f. Répondre aux questions ci-dessous en utilisant le graphique.

1. Déterminer Df.

2. Déterminer l’image de 1 et de -2.

3. Résoudre f(x) = −2.

4. Déterminer f(0).

5. Déterminer la valeur minimale def(x). Pour quelle valeur dexce minimum est-il atteint ?

I J

O

Exercice 11.

On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions f, g eth :

~i

~j

Cf

Cg

Ch

1. Résoudre graphiquement les équations f(x) =g(x), f(x) =h(x) et g(x) =h(x). Dans chaque cas, on donnera une phrase expliquant la réponse.

2. Résoudre graphiquement les inéquations f(x)< g(x) et f(x)≤g(x).

3. Soit A(2; 1) etB(7;−3).

a. Placer sur le graphique ci-dessus les pointsA et B. b. Tracer le droite (AB) et déterminer son équation réduite.

c. En déduire l’expression de m(x) où m est la fonction affine représentée par la droite (AB).

d. Résoudre l’équationh(x) = m(x) (on donnera si besoin une valeur approchée des solutions).

e. Résoudre l’inéquation h(x)≥m(x).

(21)

6 QCM « bilan »

Pour chacune des questions posées ci-après, il peut y avoir une ou plusieurs bonnes réponses.

Questions Réponses

1.Soit f la fonction définie par f(x) = 2x²−5x−1.

Alors : −1 est un antécédent de 6 parf

f(−1) = 6

6 est un antécédent de −1 parf 2.Soit f la fonction définie par f(x) =−2x²+ 1.

Alors : l’image de −2 par f est 9

0 a deux antécédents par f

l’équationf(x) = 4 a deux solutions f(4) =−31

3.Soit f la fonction définie par f(x) = _x2+x−2^x . Quels sont les points qui appartiennent à Cf courbe

représentative de f?

A(0;−¹₂) B(−1;−¹₂) C(2;¹₂) D(0; 0) 4.M(4;−1) est un point de la courbe représentative

Cf d’une fonction f. Alors : f(−1) = 4

4 est un antécédent de −1 parf f(4) =−1

N(−1; 4) appartient aussi à Cf

5.L’ensemble des nombres qui sont strictement

inférieurs à 4 mais supérieurs ou égaux à −5 est noté : ]4 ;−5]

[−5 ; 4[

]−5 ; 4[

6.Six appartient à l’intervalle ]−2 ; 3], alors : x= 0

x peut être nul x peut être égal à −2 x peut être égal à 3 7.Soitg la fonction définie par g(x) = √

2x−3. Alors : ³₂ est une valeur interdite pour g Dg = [³₂ ; +∞[

g(³₂) = 0

8.Soit h la fonction définie par h(x) = ^x+3_x−2. Alors : x=−3 est valeur interdite pourh x= 2 est valeur interdite pour h h(5) = 2,67

9.Au cours d’une journée, on mesure la température à chaque heure « pile ». On note T la fonction qui, à une heure « pile » associe la température correspondante.

T est définie sur [0 ; 24]

T est déf. pourx entier entre 0 et 23 T n’est pas une fonction

(22)

Chapitre 3

Statistiques : épisode 1

Dans la première partie de ce chapitre, nous étudierons à l’aide d’un tableur un fichier de données statistiques sur l’espérance de vie en France afin de découvrir (ou revoir) les fonctions de base du tableur. Dans la deuxième partie, quelques exercices plus classiques vous attendent. . .

1 Avec un tableur

Cette partie est à faire sur feuille et à rendre à la fin du TP.

La première chose à faire est de vérifier que vous avez reçu dans votre espace personnel les fichiers activite-esperance-vie.odsetactivite-enquete-marlioz2018.ods; si ce n’est pas le cas, vous pouvez les télécharger dans l’ENT dans la rubrique de la classe. Dans ces fichiers, vous devrez créer des graphiques et/ou compléter les cellules jaunes par une formule.

1.1 Espérance de vie en France depuis 1946

Dans le premier fichier (source :http://www.insee.fr), nous allons étudier l’évolution de l’espérance de vie des hommes et des femmes en France depuis 1946.

1. En statistiques, on parle de série.

a. En consultant internet, proposer une définition d’une série statistique et définir les deux séries présentes dans le fichier.

b. Expliquer pourquoi il s’agit d’une série chronologique.

2. a. Proposer un type de représentation graphique pertinent permettant de comparer ces deux séries (Essayer plusieurs types de graphiques avec l’outil « graphiques » du tableur).

b. Commenter ce graphique en quelques lignes.

3. a. Dans la colonne D, calculer la différence d’espérance de vie entre les hommes et les femmes de 1980 à 2015.

b. Représenter cette nouvelle série graphiquement et interpréter ce graphique.

1.2 Enquête sur les élèves du lycée Marlioz

En général, lorsqu’on effectue une étude statistique sur une population, on étudie plusieurs para- mètres. En juin dernier, j’avais créé une enquête d’une trentaine de questions diffusée aux élèves du lycée. Le fichier activite-enquete-marlioz2018.ods récapitule les réponses obtenues pour les élèves du lycée général.

Le premier onglet contient les réponses des élèves, le deuxième celles des parents.

(23)

CHAPITRE 3. STATISTIQUES : ÉPISODE 1

1. Combien d’élèves du lycée général ont répondu à cette enquête ? . . . .

2. Compléter par des formules les cellules jaunes situées en bas de la colonne E qui donne l’âge des lycéens. Recopier ci-dessous les formules demandées :

E187: E188: E189:

E191: E192: E193:

3. Comment obtenir les mêmes paramètres pour la distance à laquelle ils habitent du lycée (colonne F) sans saisir les formules au clavier ?

. . . . 4. Écrire une formule permettant de calculer le nombre d’élèves de seconde (cellule C187) puis de

première et de terminale. On pourra aller voir l’aide de la fonctionNB.SI. Recopier ci-dessous la formule écrite en C187 :

C187:

5. Dans le fichier, trois colonnes ont été ajoutées (I à K) dans lesquelles nous allons calculer pour chaque élève le nombre de filles, de garçons et d’enfants dans sa famille (par exemple un garçon ayant 2 soeurs et un frère fait partie d’une famille de 2 garçons et 2 filles). Pour cela, on a demandé le nombre de frères et le nombre de soeurs dans les colonnes G et H ainsi que le sexe de l’élève interrogé (colonne B).

Écrire les formules (à recopier vers le bas) permettant de calculer le nombre de filles, de garçons et d’enfants dans la famille (On pourra s’aider de la fonction SI) :

I2 : K2 :

6. Trier les données pour faire apparaitre en premier les élèves qui ont répondu « Oui » à la question « Joues-tu aux jeux vidéos ? » (colonne U) (Menu Données puis Trier).

Calculer alors la moyenne des notes des élèves qui jouent plus de 3h aux jeux vidéos et celle de ceux qui jouent 3h ou moins. Proposer une interprétation.

1.3 Effet de structure

Deux entreprises A et B emploient des cadres et des ouvriers : l’entreprise A emploie 40 cadres et 230 ouvriers et l’entreprise B emploie 160 personnes.

On donne les salaires moyens en euros par catégorie et par entreprise dans le tableau suivant :

``catégorie````````entreprise````` A B

cadre 2 550 2 400

ouvrier 1 350 1 300

Est-il possible que le salaire moyen des salariés de l’entreprise B soit plus élevé que le salaire moyen des salariés de l’entreprise A ? Expliquer.

On pourra utiliser une feuille de calcul pour effectuer des essais.

(24)

Feuille de réponses

Nom :

Espérance de vie

Répondre ci-dessous aux question posées dans cette partie (numéroter les réponses !)

Enquête sur les élèves du lycée Marlioz

1. Combien d’élèves du lycée général ont répondu à cette enquête ? . . . . 2. Recopier ci-dessous les formules demandées :

E187: E188: E189:

E191: E192: E193:

3. . . . 4. Recopier ci-dessous la formule écrite en C187 :

C187:

5. Recopier les formules des cellules :

I2 : K2 :

6.

(25)

2 À la main et à la calculatrice

2.1 Diagrammes

Exercice 1.

L’histogramme ci-contre indique la répartition des élèves d’un lycée suivant leur taille en cm.

1. Combien y a-t-il d’élèves dans ce lycée ? 2. Compléter un tableau d’effectif.

3. Indiquer dans quelle classe est la médiane.

4. Dans le tableau de la question2, ajouter une ligne « hauteur » et une ligne « _amplitude^effectif ».

Compléter ces deux lignes.

5. Que constate-t-on ?

150 160 200

200

taille (cm)

Exercice 2.

L’histogramme ci-contre indique la répartition des demandes des clients (en litres) à une station ser- vice.

1. Compléter un tableau d’effectif.

2. En utilisant le centre de chaque classe, calculer une estimation du nombre moyen de litres servis.

3. Dans quelle classe se trouve la médiane de cette série ?

5 25

50

Nb litres

Exercice 3.

On donne la série statistique suivante constituée des montants dépensés par cinquante clients d’une petite épicerie :

0,80 8,24 12,32 15,36 17,74 19,20 20,24 21,84 24,64 27,28 1,60 9,20 13,96 15,92 18,24 19,68 20,56 22,48 25,05 28,40 3,04 9,60 13,68 16,48 18,48 19,92 20,80 23,04 25,44 29,84 4,80 11,20 14,40 16,80 18,64 20 21,12 23,68 25,76 30,40 8 11,68 14,96 17,20 18,88 20,08 21,60 23,92 26,4 31,36 1. Regrouper les données ci-dessous par classes dans le tableau dressé en fin d’exercice.

2. Compléter la ligne des amplitudes de classes.

3. On rappelle que dans un histogramme, la largeur ` de chaque rectangle est proportionnelle à l’amplitude a de la classe. De plus l’aire A de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif E de la classe. Pour chaque classe, on appelle densité le quotient de l’effectif par l’amplitude.

Montrer que la hauteur hdu rectangle est proportionnelle à la densité de la classe.

4. Pour construire l’histogramme de cette série, on choisit comme unité d’aire 1 cm² pour un effectif de 2 et en abscisse, on prend 1 cm pour 4 e.

(26)

a. Compléter la ligne « largeur des rectangles » dans le tableau ci-après.

b. Quelle sera l’aire du premier rectangle ? En déduire sa hauteur.

c. En utilisant la proportionnalité entre la densité et la hauteur, compléter le reste de la ligne

« hauteur » du tableau.

5. Construire l’histogramme dans le repère fourni ci-après.

[0 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 16[ [16 ; 18[ [18 ; 20[ [20 ; 22[ [22 ; 24[ [24 ; 28[ [28 ; 32[

effectifs amplitudes largeur (cm) densités hauteurs (cm)

4 20

2

2.2 Calculs divers

Exercice 4.

Voici un tableau donnant la couleur des bonbons d’un paquet :

Couleurs jaune vert rouge orange

Effectifs 15 20 10

Fréquences 0,2

1. Montrer que le nombre total de bonbons dans le paquet est 75.

2. Quel est le nombre de bonbons de couleur rouge ?

3. Compléter le tableau en calculant les fréquences manquantes.

(27)

Exercice 5.

Les tableaux suivants récapitulent les moyennes trimestrielles obtenues par trois classes de 30 élèves : Classe 1 :

Notes 2,5 4,5 5 6 6,5 7,5 8,5 9 10 10,5 12 12,5 13 13,5 14 15,5

Effectifs 1 2 2 2 4 2 1 1 1 2 1 5 2 1 1 2

Classe 2 :

Notes 2 2,5 3 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8 8,5 10,5 11,5 12,5 13 14,5 15,5

Effectifs 1 2 1 3 1 1 5 1 1 2 2 2 2 2 2 2

Classe 3 :

Notes 1,5 2,5 3 3,5 4,5 5,5 6 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 12 12,5 13 14,5

Effectifs 1 2 1 4 1 1 1 3 1 2 2 1 1 4 1 4

1. Pour chacune des trois classes :

a. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartiles.

b. Calculer l’étendueE_i, la moyennex_i et l’écart interquartile.

c. Calculer le pourcentage d’élèves dont la note est comprise dans l’intervalle interquartile.

2. On décide de rééquilibrer les moyennes de la façon suivante :

— on multiplie toutes les notes de la deuxième classe par 1,12 ;

— on ajoute 1,2 à toutes les notes de la troisième classe.

Pour chacune de ces deux classes, calculer :

a. la nouvelle moyenne et déterminer la nouvelle médiane ;

b. le pourcentage d’élèves dont la note est comprise dans l’intervalle interquartile.

3. On reprend les données initiales.

a. Compléter la ligne vide de chaque tableau par les effectifs cumulés croissants.

b. Tracer dans un même graphique les courbes d’effectifs cumulés croissants.

c. Indiquer sur le graphique comment retrouver la médiane et les quartiles de la première classe.

Exercice 6 (enigme).

Pendant cent jours ouvrés, on regarde le chiffre d’affaires d’un magasin dans lequel travaillent deux vendeurs mais à tour de rôle (ils ne sont jamais présents à deux le même jour). Le chiffre d’affaires moyen au cours de ces cent jours est de 5 849e. Le chiffre d’affaires moyen réalisé par le vendeur A est 5 432 e, et celui du vendeur B est 6 127 e. Peut-on retrouver le nombre de jours de travail de chacun ? Justifier.

Exercice 7 (difficile !).

Écrire des algorithmes permettant de calculer la moyenne d’une série de nombre dans chacun des cas suivants (on pourra aussi les programmer sur la calculatrice ou en Python) :

1. on demande le nombre de valeurs de la série puis on demande chacune des valeurs ; enfin, le résultat de l’algorithme est la moyenne ;

2. on demande les valeurs de la série dans que les nombres saisis sont positifs ou nuls, le résultat de l’algorithme est la moyenne des valeurs positives ou nulles saisies.

(28)

Chapitre 4

Calcul littéral - Équations - Inéquations

1 Calcul littéral

Exercice 1.

Développer et réduire les expressions suivantes :

A= 2x(3x−4) ; B = (3x−4)(2x+ 1) ; C = (x+ 5)(x−1) D= (2x−3)(2x+ 3) ; E = (2x+ 3)(2x+ 3) ; F = (3x−2)(3x−2) Exercice 2.

Factoriser les expressions suivantes :

G= 2x²−4x ; H = (2x+ 3)(x+ 1)−(2x+ 3)(2x−5) I = (3x−5)²−(x+ 3)(3x−5) ; J = (4x−5)(x+ 7)−(x+ 7)

Exercice 3.

Soit a, b et ctrois réels positifs tels que c=a+b. Soit un carréABCD de côté c.

SoitE etGles points de [AB] et [AD] respectivement tels queAE =AG=a. Et soitF le quatrième point du carré AEF G.

On note respectivementI l’intersection de (GF) et [BC] et on noteJ l’intersection de (EF) et [CD].

1. Faire une figure (on pourra commencer par choisir des valeurs pour a, b et c).

2. Indiquer sur la figure les longueurs de chaque segment en fonction de a, b etc. 3. Exprimer l’aire de ABCD en fonction de a etb de deux manières différentes.

4. Compléter alors une égalité comme ci-dessous :

(. . . +. . .)² =. . .²+ 2× · · · × · · ·+. . .² Exercice 4.

On considère trois réels positifs a, b et ctels que c=a−b. 1. En utilisant la double distributivité, développer (a−b)².

2. En inventant une figure (on pourra s’inspirer de celle de l’exercice3), illustrer l’égalité trouvée à la question précédente par des considérations d’aires de carrés et de rectangles.

(29)

CHAPITRE 4. CALCUL LITTÉRAL - ÉQUATIONS - INÉQUATIONS

Exercice 5.

L’objectif de cet exercice est de trouver la forme développée de (a−b)(a+b) par un procédé géomé- trique.

On donne la figure ci-dessous où a etb sont des réels positifs vérifiantb < a :

A B F

G H

C

D I

J

K

a a

b b

b

1. Citer un rectangle dont l’aire vaut (a−b)(a+b).

2. Citer un rectangle ayant la même aire que BF HK. Justifier.

3. Déduire des deux questions précédente un hexagone ayant pour aire (a−b)(a+b).

4. Exprimer l’aire de l’hexagone précédent comme la différence de l’aire de deux carrés. Compléter alors :

(a−b)(a+b) = . . .²− . . .²

Les égalités obtenues (ou illustrées) dans les exercices3, 4 et5 ont été démontrées pour des valeurs de a et b vérifiant certaines conditions. On pourrait montrer que ces conditions sont superflues et que ces égalités sont vraies pour toutes les valeurs de a et b réelles. Ces trois égalités sont appelées lesidentités remarquables et sont à connaître et à savoir utiliser pour développer des expressions ou pour en factoriser.

Exercice 6.

Développer en utilisant les identités remarquables :

K(x) = (x+ 3)² ; L(x) = (2x+ 3)² ; M(x) = (3x−5)²

N(x) = (2−3x)² ; O(x) = (x+ 3)(x−3) ; P(x) = (3x−1)(3x+ 1) Exercice 7.

Factoriser en utilisant les identités remarquables :

Q(x) =x² + 8x+ 16 ; R(x) = 9x² −12x+ 4 ; S(x) = 25x²−49 T(x) = 16x²−24x+ 9 ; U(x) = (2x+ 1)²−25 ; V(x) = 36−(5−3x)² Exercice 8.

Développer et réduire :

A= (3x−5)²; B = (2x+ 7)²; C = (2x+ 3)(2x−3); D= (1−2x)² E = (x²+ 3)²; F = (2x+ 5)(5−2x); G= (2x−1)²−(3x+ 2)²

(30)

Exercice 9.

Factoriser :

A=x²+ 6x+ 9; B = 4x²−25; C = 49−42x+ 9x²; D= 16x²+ 40x+ 25 E = (2x+ 3)²−25; F = 36x² −(5x−2)²; G= (2−3x)²−(5 +x)²

2 Équations - Inéquations

2.1 Équations

Exercice 10.

Pour chaque équation, déterminer (en justifiant par un calcul) si les nombres proposés sont des solutions :

1. 2x+ 5 = 0, a= ⁵₂,b = ²₅, c= 3, d=−⁵₂.

2. 3x+ 2 = 7x−3, a= 2, b= 0, c= 0,8, d= 1,25 3. 2x+ 3 = 1−x, a= 0, b =−0,67, c= ²₃, d=−²₃. 4. x²−2 = 0, a=√

3, b=√

2 + 1, c= 3−√

5,d=−√

2,e=√ 2.

5. x²+ 3x+ 1 = 0, a=√

5, b=−1, c= ⁻³⁻₂^√⁵, d= ²₃. 6. 2x² −6x+ 3 = 0, a= 2, b =√

5, c= ³₂ +¹₂√

3, d= ⁶⁻^√₄¹². Exercice 11.

Les équations suivantes sont-elles du premier degré ? Justifier.

(a) 2x²−5x+ 3 = (2x+ 1)² (b) 2(x+ 2)(x−2) = (2x+ 5)²

(c) 3x(x−4) = 3(x−5)² (d) (x+3)(3−2x)+2(x+1)² = 0

(e) (2x+ 3)(5−x) = 0

(f) 2(3x−5)+4x−7(x+1) =x Exercice 12.

Résoudre les équations suivantes : (a) 2x+ 3 = 5

(b) −2x+ 6 =x−7 (c) −5x+ 3 =−3x+ 5

(d) 2x−4(x+ 3) = 7x+√ 2 (e) ¹₃x+ 2 = 5

(f) ²₅x+¹₂ = ²₃

(g) ^2x−3₇ = 1 (h) ^5x₃ + 1 = 7

(i) ¹₃(x−2) + 2x= 0 Exercice 13.

Résoudre les équations suivantes : (a) (x+ 3)(x−4) = 0

(b) (5x−4)(3−2x) = 0 (c) x²−5 = 0

(d) x²−3x= 0 (e) 2x²−4 = 0

(f) (−3x+1)(x−4) = 2x(x−4)

(g) (1−3x)² = 4

(h) (x+3)(5−x)+x²+6x+9 = 0 (i) 4x²−12x=−9

Exercice 14.

Pourx∈R on pose A(x) = 4(x+ 1)²−9 1. Développer et réduire A(x).

2. Factoriser A(x).

3. Résoudre les équations suivantes :

(31)

(a) A(x) = 0 (b) A(x) =−9 (c) A(x) = −5

4. On pose B(x) = ^A(x)_1−x.

a. Déterminer les valeurs de xpour lesquelles B(x) existe.

b. Résoudre B(x) = 0.

2.2 Problèmes

Exercice 15.

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 4 et AC = 5. M est un point de la droite (AB) qui n’est pas sur [AB) etN est le point de (AC) tel que (M N) est perpendiculaire à (AB). On note x la distance AM.

1. Faire une figure (unité : le cm).

2. Montrer que (BC) et (M N) sont parallèles.

3. Calculer BC, puis exprimer M N en fonction de x.

4. Démontrer que l’aire du quadrilatère BCM N s’exprime en fonction de x par l’expression A(x) = ³₈(x²+ 8x+ 16). Factoriser A(x).

5. Déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire de BCM N est égale à ²⁷₂ . Exercice 16.

1. Yves retranche 6 de son âge et double le nombre obtenu. Il obtient le même résultat s’il ajoute 25 à son âge. Quel âge a-t-il ?

2. Une bouteille et son bouchon coûtent 1e. La bouteille coûte 0,90e de plus que le bouchon.

Combien coûte le bouchon ? Et la bouteille ?

3. La longueur d’un rectangle est le double de sa largeur. Son aire est de 450 m². Quelles sont ses dimensions ?

4. J’ai deux fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez. Quand vous aurez l’âge que j’ai, la somme de nos âges sera de 90 ans. Quel âge avons nous ?

2.3 Inéquations

Exercice 17.

Dans chaque cas, déterminer si les nombres proposés sont solution de l’inéquation : (a) 2x+ 3≤5x−12 pour a= 5, b=√

3, c=−2,d= 10.

(b) 5x²−3x−2>0 pour a=√

3,b =−2, c= ¹₃, d= 0.

(c) ^2x+3_x+1 ≥4x+ 3 pour a= ³₄, b =−1, c= 3, d = ¹₃. Exercice 18.

Résoudre les inéquations suivantes et donner la réponse sous forme d’un intervalle : 2x+ 5 ≤6; 3x+ 4 >7x−7; 4(x−5)≥ −2x+ 8; 5x+ 3<2x−5

(32)

2.4 Exercice complet

Exercice 19.

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (2x+ 1)²−9x² 1. Développer et réduire f(x)

2. Factoriser f(x).

3. Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes : a. Calculerf(0) puisf(2).

b. Résoudre f(x) = 0.

c. Résoudre f(x) = 1.

2.5 Problèmes

Exercice 20.

On considère un carréABCD de côté 10. On note x un réel de l’intervalle [0; 10].

Soient M, N, P etQ les points de [AB], [BC], [CD] et [DA] respectivement tels que : AM =BN =CP =DQ=x

1. Exprimer l’aire du quadrilatère M N P Q en fonction de x.

2. Exprimer M N² en fonction de x et en déduire que M N P Q est un carré.

3. a. Développer et réduire 2(x−2)(x−8).

b. Pour quelles valeurs dex a-t-on AM N P Q = 68 ?

4. Utiliser une méthode comparable à celle utilisée dans la question3 pour déterminer les valeurs dex pour lesquelles AM N P Q= 58.

Exercice 21.

Soit [AB] un segment de longueur 10 et soit M un point de ce segment. On notex la distanceAM. 1. Construire deux carrés de côtés respectifs [AM] et [M B].

a. Exprimer A1(x) la somme des aires de ces deux carrés en fonction de x. b. En déduire une égalité d’aire entre la figure de l’exercice20 et celui-ci.

c. Chercher pour quelle valeur dex cette aire est minimale.

2. Refaire une figure en construisant cette fois deux triangles équilatéraux de côtés respectifs [AM] et [M B].

a. Exprimer A2(x) la somme des aires de ces deux carrés en fonction de x. b. Chercher pour quelle valeur de x cette aire est minimale.

3. Mêmes questions pour A3 somme des aires des disques de diamètres respectifs [AM] et [M B].

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Chapitre 5

Vecteurs du plan

1 Translations

Exercice 1.

La figure ci-dessous est constituée de parallélogrammes.

1. Dans chaque cas, déterminer l’image du point par la translation proposée puis écrire le nom du parallélogramme associé :

— l’image de L par la translation qui transforme G enC;

— l’image de N par la translation qui transforme B en D;

— l’image de D par la translation de vecteur

−→HL;

A

B

C D

E

F G

H K

L M

N

2. Placer l’image de M par la translation de vecteur −→

AE.

3. Placer l’image de L dans la translation qui transforme C enM. Exercice 2.

Pour chaque question, dire si chaque proposition est vraie ou fausse. Justifier.

1. ABCD est un parallélogramme de centre I. Alors :

(a) l’image de A par la translation qui transforme C enD estB; (b) l’image de D dans la translation de vecteur −→

IA estI; (c) CBAD est un parallélogramme.

2. La translation qui transforme E en F transforme aussi H enP. Alors : (a) EF HP est un parallélogramme ;

(b) HP F E est un parallélogramme ;

(c) la translation qui transforme E enH transforme aussiF enP. 3. On donne −→

J U =−→

SD. Alors :

(a) La translation qui transforme D enS transforme aussiU en J; (b) DU J S est un parallélogramme ;

(c) L’image de D dans la translation de vecteur −→

SU estJ; (d) [J U] et [SD] ont le même milieu.

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