Cours de Mathématiques Mathématiques pour les sciences de l’ingénieur

Cours de Mathématiques

Mathématiques pour les sciences de l’ingénieur

L3 SPI

12 septembre 2011

Alexandre MIZRAHI

Table des matières

1 Algèbre 4

1.1 Nombres complexes . . . 4

1.1.1 Introduction . . . 4

1.1.2 Le BAba . . . 4

1.1.3 Module et argument . . . 4

1.1.4 Racines . . . 6

1.2 Polynômes . . . 6

1.2.1 Introduction . . . 6

1.2.2 Définitions . . . 6

1.2.3 Factorisation . . . 7

1.3 Fractions rationnelles . . . 8

1.3.1 Introduction . . . 8

1.3.2 Définitions . . . 8

1.3.3 Décomposition en éléments simples . . . 8

2 Analyse 10 2.1 Fonctions numériques . . . 10

2.1.1 Introduction . . . 10

2.1.2 Limite . . . 10

2.1.3 Dérivées . . . 11

2.1.4 Développements limités . . . 12

2.1.5 Équivalents . . . 13

2.1.6 Convexité . . . 13

2.1.7 Branches infinies . . . 13

2.1.8 Fonction circulaires réciproques . . . 13

2.2 Intégration . . . 14

2.2.1 Généralités . . . 14

2.2.2 Méthodes d’intégration . . . 15

2.2.3 Fonctions complexes . . . 16

2.2.4 Linéarisation . . . 16

2.2.5 Intégration des fractions rationnelles . . . 16

3 Calcul matriciel 18 3.1 Introduction . . . 18

3.2 Espaces vectoriels et applications linéaires . . . 18

3.2.1 Définitions . . . 18

3.2.2 Applications linéaires . . . 19

3.3 Matrices . . . 20

3.3.1 Introduction . . . 20

3.3.2 Matrice d’application linéaire . . . 20

3.3.3 Matrice inverse . . . 21

3.3.4 Méthode du pivot de Gauss. . . 22

3.3.5 Matrice de passage . . . 23

3.3.6 Matrices d’applications linéaires et changement de bases . . . 24

3.4 Déterminant . . . 24 2

A.Mizrahi

3.4.1 Cas de la dimension deux . . . 24

3.4.2 Cas général déterminant à n lignes et n colonnes . . . 25

3.4.3 Cas de la dimension 3 . . . 26

3.4.4 Méthode de Cramer . . . 27

3.5 Diagonalisation . . . 27

3.5.1 Algèbre des matrices diagonales . . . 27

3.5.2 Vecteurs propres, valeurs propres . . . 27

3.5.3 Diagonalisation . . . 28

3.5.4 Méthode de diagonalisation . . . 29

3.5.5 Cas des matrices non diagonalisables . . . 30

3.5.6 Cas des matrices symétriques . . . 30

Présentation de l’enseignement

L’objectif de cet enseignement est l’acquisition par l’étudiant d’un nombre assez important de méthodes de calculs mathématiques, le cours présente ces méthodes. Certaines preuves sont données car elles peuvent permettre une meilleur compréhension des résultats, elles ne sont pas un objectif en soi, parfois juste une esquisse de la preuve est proposée. Ce polycopié est à utiliser en complément du cours, qui l’éclaire.

Échelonnement prévisionnel du cours

Paragraphe 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.2 & 3.3 3.4 3.5

Nombre de semaines 1 1 1 2 2 2 1 2

Conseil de travail hebdomadaire :

1. Avant le cours, lecture rapide du paragraphe du poly.

2. Pendant le cours, participation active à la séance, questions.

3. Pendant le TD, recherche des exercices avec le poly.

4. Après le TD, reprise du cours et des exercices.

Évaluation de l’enseignement :

Lors des épreuves calculatrices et documents sont interdits, toutefois une feuille A5 individuelle manuscrite est autorisée (photocopie interdite). Une sorte d’antisèche légale. Les téléphones sont interdis durant les épreuves, et doivent être éteints (silencieux n’est pas suffisant), penser à prendre une montre si besoin.

Chapitre 1

Algèbre

1.1 Nombres complexes

1.1.1 Introduction

Ce chapitre est un chapitre de révision, on survole les notions du programme de terminale sur les nombres complexes, on va vite, juste pour se remettre les idées en place. Les nombres complexes ont été introduit historiquement pour résoudre les équations du troisième degré. Les nombreux résultats énoncés dans cette section sont très simples à démontrer

1.1.2 Le BAba

Définition 1 On noteCl’ensemble des nombres complexes,C={a+ib/a, b∈R}, les opérations habituelles sur les réels restent valable, commutativité, distributivité, etc.... la particularité de iréside dans le fait que i² =−1.

Exemple 1.1 • (2 + 3i) + (1−5i) = 3−2i

• 5(2−6i) = 10−30i

• i(2−6i) = 2i+ 6

• (2 + 3i)(1−5i) = 2 + 3i−10i−15i²= 17−7i

• (2 + 3i)² = 4 + 12i−9 =−5 + 12i

Définition 2 La partie réelle est définie parRe (a+ib) =a, et la partie imaginaire par Im (a+ib) =b Exercice 1 : : Déterminer partie réelle et partie imaginaire de zz⁰ en fonction des parties réelles et imaginaires dez etz⁰.

1.1.3 Module et argument

Lorsque les variables ne sont pas quantifiées, ce sont des complexes quelconques.

Conjugaison

Définition 3 z=Rez−iImz. On dit que z est le conjugué dez.

Proposition 1.1 1. z=z.

2. z+z⁰ =z+z⁰. 3. zz⁰ =zz⁰. 4. ∀z∈C^∗, (₁

z

)= ¹_z.

5. z=z⇔z∈R 6. z=−z⇔z∈iR 7. Rez= ¹₂(z+z) 8. Imz= _2i¹(z−z) Module

Définition 4 On définit le module d’un nombre complexe par :|z|=

√

(Rez)²+ (Imz)². Proposition 1.2

4

1.1. NOMBRES COMPLEXES A.Mizrahi

1. |z|= 0⇔z= 0.

2. |z|² =zz.

3. |z|=|z|.

4. |zz⁰|=|z| |z⁰|. 5. ∀n∈Z, |zⁿ|=|z|ⁿ.

6. ∀z⁰ ∈C,∀z∈C^∗, ^z_z⁰= ^|_|^z_z⁰_|^|. 7. |Re (z)| ≤ |z|.

8. |z+z⁰| ≤ |z|+|z⁰|. 9. ||z| − |z⁰|| ≤ |z−z⁰| Preuve :Pour le point 8. on a

|z+z⁰|² = (z+z⁰)(z+z⁰)

= zz+zz⁰+z⁰z+z⁰z⁰

= |z|²+|z⁰|²+ 2Re (zz⁰)

≤ |z|²+|z⁰|²+ 2|zz⁰|= (|z|+|z⁰|)²

Remarque 1.1 Les nombre réels se représentent sur une droite, les nombres complexes se représentent dans le plan. Dans un repère orthonormal on peut représenter le complexea+ibpar le point de coordonnées(a, b), ou par le vecteur de coordonnées (a, b). On dit que ce point ou ce vecteur a pour affixe le complexe a+ib.

La somme de deux complexes correspond alors à la somme des deux vecteurs correspondant. La conjugaison correspond à la réflexion par rapport au premier axe. Le module correspond à la norme du vecteur.

Exponentielle complexe

Définition 5 ∀θ∈R, e^iθ = cosθ+isinθ

Proposition 1.3 1. ∀θ∈R, cosθ= ¹₂(e^iθ+e^−iθ) 2. ∀θ∈R, sinθ= _2i¹(e^iθ−e^−iθ)

3. ∀θ, θ⁰ ∈R, e^i(θ+θ0) =e^iθe^iθ0. 4. ∀θ∈R,∀n∈Z, e^inθ =(

e^iθ)n

.

5. Formule de De Moivre : ∀θ∈R,∀n∈Z

(cosθ+isinθ)ⁿ= cos(nθ) +isin(nθ) Définition 6 ∀x, y∈R, e^x+iy=e^xe^iy

Argument

Définition 7 Pour tout(x, y)6= (0,0),

∃θ∈R, cosθ= x

√x²+y² et sinθ= y

√x²+y²

l’ensemble des θ qui vérifient cette relation est de la forme {θ₀ + 2kπ|k ∈ Z}, on l’appelle argument du complexex+iy. Argz, désignera aussi bien, l’ensemble ainsi défini (l’argument de z), qu’une de ses valeurs (un argument dez). L’écriture précédente peut aussi s’écrire z

|z| =e^iθ.

Remarque 1.2 SiM est le point d’affixea+ib, alors l’argument dea+ibest l’angle (−→ i ,−−→

OM).

Définition 8 a congrue à b modulo m que l’on note a = b [m] signifie qu’il existe un entier k tel que a=b+km.

Proposition 1.4 1. ∀z, z⁰ ∈C^∗, z=z⁰ ⇔

{ |z|=|z⁰|

Arg(z) =Arg(z⁰) [2π]

2. ∀z∈C^∗, z =|z|e^iArgz. 3. ∀z∈C^∗, Argz=−Argz [2π].

4. ∀z, z⁰∈C^∗, Arg(zz⁰) =Arg(z) +Arg(z⁰) [2π].

5. ∀z∈C^∗,∀n∈Z, Arg(zⁿ) =nArgz [2π].

6. ∀z⁰ ∈C,∀z∈C^∗, Arg^z_z⁰ =Argz⁰−Argz [2π].

1.2. POLYNÔMES A.Mizrahi

1.1.4 Racines

Proposition 1.5 Tout complexe Z non nul à exactement deux racines carrés, c’est à dire deux complexes z₁ etz₂ dont le carré vautZ.

Preuve :Si Z=|Z|Re^iθ alors les seuls racines carrés possibles sont±√

|Z|e^i12θ.

Proposition 1.6 Tout complexeZnon nul à exactementnracines nième , c’est à dire qu’il existe exactement ncomplexesz_i qui élevés à la puissancen valent Z.

Preuve :Si Z=|Z|e^iθ alors les seuls racines nième possibles sont √ⁿ

|Z|e^{i1nθ+n12ikπ}, pour kvariant de 0 àn−1, ensuite on retombe sur les même valeurs.

1.2 Polynômes

1.2.1 Introduction

On s’intéresse dans ce cours aux polynômes à coefficients réels ou complexes. On ne fait pas de différence entre polynôme et fonction polynôme . Les points importants sont la division euclidienne des polynômes et la factorisation des polynômes.

1.2.2 Définitions

Définition 9 – On appelle polynôme réel, une fonction P de R dans R telle qu’il existe n ∈ N, a₀, a₁, . . . , a_n∈R

∀x∈R, P(x) =a₀+a₁x+a₂x²+. . .+a_nxⁿ Les a_i sont appelés les coefficients du polynôme.

– On appelle polynôme complexe, une fonctionP deRdansCtelle qu’il existen∈N,a0, a1, . . . , an∈C

∀x∈R, P(x) =a₀+a₁x+a₂x²+. . .+a_nxⁿ

– SiP(x) =a₀+a₁x+a₂x²+. . . a_nxⁿaveca_n6= 0, on dit queP est de degrénet quea_nest le coefficient dominant de P. LorsqueP = 0 on dit que le degré de P est−∞.

Remarque 1.3 – Un polynôme réel est un polynôme complexe.

– L’écriture de la définition précédente est unique, deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les même coefficients. C’est ce qui permet de définir le degré d’un polynôme. ceci n’est pas tout à fait triviale on peut par exemple étudier la limite en l’infini de P₁−P₂.

– SiP(x) =a₀+a₁x+a₂x²+. . . a_nxⁿ, le polynôme dérivéP⁰ deP vaut P⁰(x) =a1+ 2a2x+. . .+nanxⁿ⁻¹

Proposition 1.7 SoientP etQ deux polynômes et λun complexe non nul : – deg(P+Q)≤max(deg(P),deg(Q)).

– deg(λP) = deg(P).

– deg(P Q) = deg(P) + deg(Q). Avec la convention que pour tout degrér,(−∞+r=−∞).

Définition 10 SoientP un polynôme, et aun complexe,aest une racine deP siP(a) = 0.

SoientP un polynôme,aun complexe, etm∈N^∗,aest une racine de P de multiplicitém si P(a) =P⁰(a) =. . .=P^(m−1)(a) = 0etP^(m)(a)6= 0

sim= 1 on dit queaest une racine simple , sim= 2 on dit queaest une racine double , etc...

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1.2. POLYNÔMES A.Mizrahi

1.2.3 Factorisation

Proposition 1.8 (Division euclidienne ) Il existe une division euclidienne des polynômes, en ce sens que pour tout couple de polynômes(P, T) avecT 6= 0, il existe un unique couple de polynômes (Q, R)tel que

P =QT +R avec deg(R)<deg(T) Qest appelé le quotient et R le reste de la division euclidienne.

Exemple 1.2 Le quotient de la division euclidienne de X²+X−4par X+ 2estX−1 et le reste est−2.

Preuve :L’unicité se montre à l’aide de considérations sur les degrés. L’existence peut se montrer à l’aide d’une récurrence sur le degré deP.

Proposition 1.9 (Formule de Taylor) SoitP un polynôme de degré n, P(x) =

∑n k=0

P^(k)(0) k! x^k

Preuve :Il suffit de calculer la dérivée kième deP en 0, avecP(x) =a0+a1x+a2x²+. . . anxⁿ

Proposition 1.10 aest une racine du polynômeP de multiplicitémsi et seulement si il existe un polynôme Qdont an’est pas racine tel queP(x) = (x−a)^mQ(x)

Preuve :si aest une racine, on peut factoriser par (x−a), il suffit pour cela d’effectuer la division euclidienne deP parx−a. La formule de Taylor appliquée au polynômeQ(x) =P(x+a)nous donne :

P(x) =P(a) +P⁰(a)(x−a) +1

2P⁽²⁾(a)(x−a)²+. . .+ 1

(m−1)!P^(m−1)(a)(x−a)^m−1+ (x−a)^mS(x) oùS est un polynôme. On retrouve la division euclidienne deP par(x−a)^m. On obtient bien le résultat annoncé.

Proposition 1.11 Soit P est un polynôme, α1,α2, . . . , αk des racines distinctes de P de multiplicité m1, m₂,. . .,m_k, alors il existe un polynôme Qtel que

∀x∈R, P(x) = (x−α1)^m1. . .(x−α_k)^mkQ(x)

Théorème 1 (dit de d’Alembert ou théorème fondamental de l’algèbre) Tout polynôme à coeffi- cient complexe peut s’écrire comme produit de polynômes de degré 1.

Preuve :Ce théorème n’est pas facile du tout à démontrer.

Remarque 1.4 Si un complexe z est racine d’un polynôme P à coefficients réel alors son conjugué z est aussi racine du polynômeP.

Théorème 2 Tout polynôme P à coefficient réel peut s’écrire comme produit de polynômes de degré 1, et de polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.

Preuve :D’après le théorème précédentP peut s’écrire comme produit de polynômes complexes de degré 1.

P(x) =∏

i

(x−a_i)^mi

oùm_i est la multiplicité dea_i.

Soitai une racine complexe de P de multiplicitémi,ai est une racine complexe de P. Si mi ≥2, ai est une racine deP⁰, d’ou ai est une racine deP⁰. Et ainsi de suite jusqu’à P^(mi−1). Réciproquement comme P^(mi)(ai)6= 0, on a P^(mi)(ai)6= 0. On en déduit donc queai est une racine complexe deP de multiplicitémi. Siai∈Ralorsai=ai, par contre siai6∈Ril existej tqaj=ai etmi =mj. On a alors

(x−ai)^mi(x−ai)^mi= (x²−2Re (ai)x+|ai|²)^mi

x²−2Re (ai)x+|ai|²est un polynôme réel de degré 2 à discriminant strictement négatif (car le trinôme possède deux racines complexe conjuguées distinctes)

1.3. FRACTIONS RATIONNELLES A.Mizrahi

1.3 Fractions rationnelles

1.3.1 Introduction

Les fractions rationnelles sont des fonctions qui apparaissent fréquemment, l’objectif principal de cette partie est la décomposition en éléments simples.

1.3.2 Définitions

Définition 11 – Une fraction rationnelle est une fonction de la forme P

Q, oùP etQsont des polynômes à coefficients réels ou complexes.

– Une fraction rationnelle P

Q est dite irréductible si "on ne peut pas la simplifier", ceci revient à dire que P etQn’ont aucune racine complexe commune, ou encore que P etQsont de degré minimal.

– Si a est une racine de P et n’est pas une racine de Q, on dit quea est une racine de P

Q. On appelle ordre de adans P

Q, la multiplicité deadans P.

– Siaest une racine de Qet n’est pas une racine deP, on dit queaest un pôle de P

Q. On appelle ordre de adans P

Q, la multiplicité deadansQ.

– On posedeg(^P_Q) = degP−degQ.

Exemple 1.3 – ^(x_(x⁻₋¹⁾_3)(x^3(x+2)₋₆₎2 est irréductible, ^(x_(x⁻₋¹⁾_3)(x^3(x+2)₋₁₎2 et _(x+1)^x2−2^x(x⁻−²6)² ne le sont pas.

– 1 est une racine d’ordre 3 de la fraction rationnelle _(x^(x₋⁻₃₎¹⁾2³(x^(x+6)−7)⁵ et 3 est un pôle d’ordre 2.

– degré

((x−1)³(x+6) (x−3)²(x−7)⁴

)

=−2

Proposition 1.12 Soit F une fraction rationnelle, il existe un unique couple (P, H) polynôme, fraction rationnelle tel queF =P+H avec deg(H)<0.P s’appelle alors la partie entière deF.

Preuve :Il suffit d’effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur pour obtenir cette décom- position.

Exemple 1.4 x³+ 1

(x−1)(x+ 2) =x−1 + 3x−1 x²+x−2

1.3.3 Décomposition en éléments simples

Proposition 1.13 Soit F une fraction rationnelle, et aun pôle d’ordre nde F, il existe une unique suite (λ1, λ2. . . , λn)de réels (ou de complexes) telle que F−∑_n

k=1 λk

(x−a)^k soit une fraction rationnelle dontan’est pas un pôle.

Exemple 1.5 −3^{x3+20x2+104x+172}

(x+2)²(x−4)(x+5)² = _(x+2)² 2 +_x+2¹ −_(x^x₋²⁺⁹_4)(x+5)^x+292

Preuve :Pour l’unicité, on part de deux décompositions, on multiplie par(x−a)ⁿ et on fait tendrexversa, on a λn =λ⁰_n, puis on recommence avec n−1 et ainsi de suite. Pour l’existence c’est un peu plus compliqué, on peut commencer par démontrer le résultat suivant : Étant donnée deux polynômesP etQtels queQ(0)6= 0, etnun entier, il existe un polynômeT de degrén−1, tel queP−T Qadmette 0 comme racine de multiplicité n. Ceci ce démontre facilement car il revient à résoudre un système triangulaire à diagonale sans 0. Ensuite on applique ce résultat àPe et Qe définis de la façon suivante siF(x) = _(x−^P(x)_a)nQ(x), on posePe(x) =P(x+a)etQ(x) =e Q(x+a).

Théorème 3 Décomposition en éléments simples

Soient P et Q deux polynômes réels tels que degP < degQ, et (λ_i) une famille de réels distincts deux à deux.

Université de Cergy Pontoise 8

1.3. FRACTIONS RATIONNELLES A.Mizrahi

1. Si Q=∏_n

i=1(X−λi) alors il existe une unique famille de réels(ai)1≤i≤n tels que : P

Q = a1

X−λ1

+ a2

X−λ2

+. . .+ an

X−λn

2. Si Q=∏_n

i=1(X−λ_i)^mi alors il existe une unique famille de réels∗ tels que : P

Q = ∗

(X−λ1)^m1 + ∗

(X−λ1)^m1−1 +. . .+ ∗ X−λ1

+ ∗

(X−λ2)^m2 +. . .+ ∗

(X−λ2) +. . .+ ∗ X−λn

3. Si Q=∏_n

k=1(X−λ_k)^mk∏_m

l=1(X²+γ_lX+δ_l)^βl avec γ_l²−4δ_l<0 alors il existe une unique famille de réels * tels que :

P

Q = ∗

(X−λ1)^m1 +. . .+ ∗ X−λn

+ ∗X+∗

(X²+γlX+δl)^β1 + ∗X+∗

(X²+γlX+δl)^β1−1 . . .+ ∗X+∗ X²+γmX+δm

Preuve :Les deux premiers points découlent de la proposition 1.13, en réitérant le procédé pour chacun des pôles, le point 3 est plus compliqué, il faut passer par les complexes, puis re-associer les pôles complexes qui sont conjugués.

Exemple 1.6 – ¹

(x+1)(x+2)² = _x+1¹ −_(x+2)¹ 2 −_x+2¹ .

– ^x4

(x+1)(x+2)² =x−5 +_x+1¹ −_(x+2)¹⁶ 2 +_x+2¹⁶ . – _(x+1)(x³ 2+2) = _x+1¹ −_x^x−12+2.

– ⁹

(x+1)(x²+2)² = _x+1¹ − _x^x2⁻+2¹ −_(x^3x₂₊₂₎⁻³2

Remarque 1.5 La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle irréductible ^P_Q comporte exactement un nombre de constantes égale au degré deQ.

Méthode de décomposition en éléments simples (M1) :

1. Division euclidienne pour que le numérateur soit de degré strictement inférieur au dénominateur.

2. Écrire la fraction sous forme décomposée en éléments simples avec des coefficients inconnus.

3. A l’aide de différentes limites, trouver les différents coefficients inconnus.

(a) siaest un pôle simple le coefficient de _x−¹_a s’obtient en multipliant l’égalité précédente par (x−a) est en faisant tendrex versa.

(b) siaest un pôle d’ordre m le coefficient de _(x−¹_a)m s’obtient en multipliant l’égalité précédente par (x−a)^m est en faisant tendrex versa.

(c) En soustrayant le terme trouvé précédemment _(x−^λ_a)m, on retombe sur un pôle d’ordrem−1.

(d) On peut utiliser les limites en l’infini, après avoir multiplié par unx^k bien choisi.

(e) On peut écrire l’égalité pour unx fixé, bien choisi, réel ou complexe.

Chapitre 2

Analyse

2.1 Fonctions numériques

2.1.1 Introduction

L’objectif de ce cours est simple, étant donnée une fonction f de R dansR, définie par une formule sur l’ensemble de définition D_f, comment faire pour l’étudier et donner les grandes lignes de sa représentation graphiqueC.

2.1.2 Limite

On rappelle rapidement la définition rigoureuse de la limite ld’une fonction f ena.

Définition 12 lim

x→af(x) =l si

∀ε >0,∃η >0,∀x∈D_f, |x−a| ≤η⇒ |f(x)−l| ≤ε

Proposition 2.1 Une fonction f a pour limitel en asi et seulement si pour toute suite d’éléments deD_f, (un)n qui tend versa, la suite(

f(un))

n tend vers l.

On ne revient pas sur les autres définitions de limites et sur les règles usuelles de calculs de limites, somme, produit, composée. On rappelle quelques limites classiques :

















lim_x→+∞e^x = +∞ limx→−∞e^x = 0 lim_x→+∞ln(x) = +∞ lim_x→0ln(x) = −∞

limx→0 sinx

x = 1

lim_x→0 ¹⁻_x^cos2 ^x = ¹₂ On rappelle que

– en l’infini l’exponentielle de xl’emporte sur une puissance de x. En ce sens que : lim+∞x^αe^βx= lim

+∞e^βx ( pourβ 6= 0)

– en+∞ (ainsi qu’en 0) une puissance dex l’emporte surlnx. En ce sens que : lim+∞x^αlnx= lim

+∞x^α ( pourα6= 0) Définition 13 Soita∈Df,f est continue enasi limx→af(x) =f(a).

f est continue si elle est continue en tout point de Df.

Théorème 4 (dit des valeurs intermédiaires) Soit f : [a, b]→ Rune fonction continue, pour tout réel wcompris entre f(a) etf(b), il existec∈[a, b]tel que f(c) =w.

10

2.1. FONCTIONS NUMÉRIQUES A.Mizrahi

2.1.3 Dérivées

Définition 14 La fonctionf est dérivable en asi la fonction définie par f(x)−f(a)

x−a a une limite finie en a, dans ce cas on note f⁰(a) = lim_x→a^f(x)_x⁻₋^f_a^(a).

Remarque 2.1 Une interprétation en terme de corde de la courbe représentativeC de f, nous donne que sif est dérivable en aalorsC a, au point(a, f(a)), une tangente d’équation

y=f(a) +f⁰(a)(x−a)

f⁰(a) est donc la pente de la tangente à la courbe représentativeC def en (a, f(a)).

Proposition 2.2 – Si f est dérivable en aalors il existe une fonctionεqui tend vers en 0 en aet telle que

f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) + (x−a)ε(x) – Si il existe une fonctionεqui tend vers 0 en aet un réelα tels que

f(x) =f(a) +α(x−a) + (x−a)ε(x) alorsf est dérivable enaetf⁰(a) =α.

Proposition 2.3 Soientf,g etu des fonctions dérivables et aun réel, tels que les formules aient un sens : 1. (f+g)⁰=f⁰+g⁰

2. (a f)⁰=a f⁰ 3. (f g)⁰=f⁰g+f g⁰ 4. (f◦u)⁰(x) =f⁰(

u(x))

×u⁰(x) on rappelle à ce propos que(f ◦u)(x) =f( u(x))

. (a)

(f g

)₀

= ^f0g_g⁻2^{f g0}

(b) (f^k)⁰ =kf⁰f^k−1 (c) (ln◦f)⁰= ^f_f⁰

Proposition 2.4 Quelques dérivées usuelles :

f(x) f⁰(x) x^α αx^α−1

1

x −_x¹2

√x ₂^√1_x sinx cosx cosx −sinx tanx 1 + tan²x

e^x e^x

ln|x| _x¹ arcsinx √ ¹

1−x²

arccosx ^√−1

1−x²

arctanx _1+x¹ 2

1

aarctan^x_{a a}2+x^{1 2}

Théorème 5 (dit des accroissements finis) Soit f : [a, b]→ Rune fonction dérivable, il existe c∈]a, b[

tel que f⁰(c) = f(b)−f(a) b−a .

Proposition 2.5 Soitf une fonction dérivablesur un intervalle I 1. f est croissante si et seulement si sa dérivée est positive.

2. f est décroissante si et seulement si sa dérivée est négative.

2.1. FONCTIONS NUMÉRIQUES A.Mizrahi

3. f est constante si et seulement si sa dérivée est nulle.

4. Si f⁰ est strictement positive alorsf est strictement croissante.

5. Si f⁰ est strictement négative alorsf est strictement décroissante.

Définition 15 Soit f une fonction définie sur un intervalle I, une fonction F est une primitive de f si F⁰=f.

Proposition 2.6 Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et F une primitive de f. Une fonction G est une primitive def si et seulement si il existe une constante C telle queF =G+C.

2.1.4 Développements limités

Définition 16 Une fonctionf est négligeable devant une fonction g au voisinage d’un pointasi le rapport

f(x)

g(x) tend vers 0lorsque x tend vers a. On note alorsf =o(g).

Remarque 2.2 Cette définition n’est plus opérationnelle si la fonction g s’annule dans un voisinage de a dans ce cas il est préférable de prendre comme définition, il existe une fonction εdéfinie au voisinage de a, qui tend vers 0 en a, et telle que ∀x, f(x) =g(x)ε(x), là encore cela revient à définir rigoureusement qu’au voisinage dea,f est beaucoup plus petite queg.

Remarque 2.3 Au voisinage de 0 on axⁿ=o(x^m) si et seulement sin > m.x² =o(x)etx=o(1)

Définition 17 f possède un développement limité en 0 d’ordre n (DL_n) si il existe un polynôme P(x) = a0+a1x+. . .+axxⁿde degré inférieur ou égale à net une fonction o(xⁿ) tels que :

f(x) =P(x) +o(xⁿ) =a₀+a₁x+. . .+a_nxⁿ+o(xⁿ) a0+a1x+. . .+anxⁿ est appelé partie principale du DLn

Exemple 2.1 f(x) =x√

x, possède un DL₁ en 0 dont la partie principale est nulle, mais ne possède pas de DL2.

Proposition 2.7 (formule de Taylor) Sif est n fois dérivable enaalors au voisinage de a on a : f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) + 1

2!f⁰⁰(a)(x−a)²+ 1

3!f⁰⁰⁰(a)(x−a)³+....+ 1

n!f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ+o((x−a)ⁿ) Proposition 2.8 On rappelle ici des développements limités classiques au voisinage de 0 :

1. sin(x) =x−_3!¹x³+_5!¹x⁵+...+ (−1)ⁿ_(2n+1)!¹ x²ⁿ⁺¹+o(x²ⁿ⁺²) 2. cos(x) = 1−_2!¹x²+_4!¹x⁴+...+ (−1)ⁿ_(2n)!¹ x²ⁿ+o(x²ⁿ⁺¹) 3. e^x = 1 +x+_2!¹x²+_3!¹x³+...+_n!¹xⁿ+o(xⁿ)

4. ₁₋¹_x = 1 +x+x²+x³+...+xⁿ+o(xⁿ)

5. ln(1 +x) =x− ¹₂x²+¹₃x³+...+⁽⁻¹⁾_nⁿ⁻¹xⁿ+o(xⁿ)

6. (1 +x)^α= 1 +αx+ _2!¹α(α−1)x²+_3!¹α(α−1)(α−2)x³+o(x³)

Proposition 2.9 Soient f et g deux fonctions admettant un DLn en 0, notons P_f la partie principale du DL_n de f etP_g celle de g.

1. f+g possède un DLn dont la partie principale estP_f +Pg.

2. f g possède un DL_n dont la partie principale est obtenue en ne gardant du polynôme P_fP_g que les termes de degré inférieur ou égal à n.

3. Sif(0) = 0, alorsg◦f possède un DLndont la partie principale est obtenue en ne gardant du polynôme P_g◦P_f que les termes de degré inférieur ou égal à n.

On fera bien attention au fait que dans le cas général pour obtenir un DL de degré n il faut partir de polynômes de degrén.

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2.1. FONCTIONS NUMÉRIQUES A.Mizrahi

2.1.5 Équivalents

Définition 18 Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a, f et g sont équivalentes en a si

xlim→a

f(x)

g(x) = 1. On note alorsf(x)∼g(x)en a.

Proposition 2.10 En un point a.

1. f(x)∼g(x)⇔g(x)∼f(x).

2. Si f(x)∼g(x) etg(x)∼h(x)alorsf(x)∼h(x).

3. Si f(x)∼g(x) alors _f(x)¹ ∼ _g(x)¹ .

4. Si f1(x)∼g1(x) etf2(x)∼g2(x)alorsf1(x)f2(x)∼g1(x)g2(x)

5. Attention Sif1(x)∼g1(x) etf2(x)∼g2(x) alors en général f1(x) +f2(x)6∼g1(x) +g2(x) Proposition 2.11 1. Si f est continue et f(0)6= 0, alors f(x)∼f(0)en 0.

2. Si f est dérivable,f(0) = 0etf⁰(0)6= 0 alorsf(x)∼f⁰(0)x en 0.

3. Si f est deux fois dérivable, f(0) = 0,f⁰(0) = 0 etf⁰⁰(0)6= 0alorsf(x)∼ ¹₂f⁰⁰(0)x² en 0.

Remarque 2.4 On obtient des équivalents simples en prenant le premier terme non nul d’un développement limité.

Proposition 2.12 Des équivalents usuels en 0 : ln(1 +x)∼x √

1 +x−1∼ ¹₂x sinx∼x e^x−1∼x 1−cosx∼ ¹₂x²

2.1.6 Convexité

Définition 19 Nous avons vu quef⁰(a) était le coefficient directeur de la tangente au point (a, f(a)), si ce coefficient directeur augmente lorsqueaaugmente on dit quef est convexe , si il diminue lorsqueaaugmente on dit que f est concave . Si sur un intervalle [a, b], f est convexe et sur [b, c], f est concave alors on dit quef change de convexité en b, et que b est un point d’inflexion de f. De même si l’on passe de concave à convexe.

Proposition 2.13 Sif est deux fois dérivable.

– f est convexe ssif⁰⁰≥0.

– f est concave ssif⁰⁰≤0.

– a est un point d’inflexion ssif⁰⁰(a) = 0 etf⁰⁰ change de signe en a.

2.1.7 Branches infinies

Définition 20 1. Si lim_x→af(x) =±∞, on dit que C possède une asymptote verticale en a, d’équation x=a.

2. Si limx→+∞f(x)

x = +∞, on dit queC possède une branche parabolique verticale en +∞.

3. Si il existe un réelatel que lim_x→+∞^f(x)_x =a, trois cas sont possibles :

(a) silimf(x)−ax=b∈R, alors C possède une asymptote en+∞, d’équation y=ax+b.

(b) silimf(x)−ax=±∞, alors C possède une branche parabolique de direction y=ax.

(c) sif(x)−axn’a pas de limite, alors C possède une direction asymptotique de direction y=ax.

2.1.8 Fonction circulaires réciproques

La fonction tangente est strictement croissante de ]− ^π₂;^π₂[ dans R, continue. Elle possède donc une fonction réciproque que l’on appelle arctangente , on remarque que ce n’est pas la réciproque de la fonction tangente mais la réciproque de la fonction tangenterestreinte à ]−^π₂;^π₂[. On a donc

{ ∀x∈R, tan arctanx=x

∀x∈]− ^π₂;^π₂[, arctan tanx=x

2.2. INTÉGRATION A.Mizrahi

On admet que la fonction ainsi définie est dérivable, on peut alors dériver l’égalité∀x∈R, tan arctanx= x qui nous donne∀x∈R, (1 + tan²arctanx)(arctan⁰x) = 1, d’ou l’on déduit que

∀x∈R, arctan⁰x= 1 1 +x² Exemple 2.2 arctan(tan(^7π₄ )) =−^π₄.

Proposition 2.14 Six >0, le complexex+iy a pour argumentarctan_x^y. Proposition 2.15 Six6= 0, on a la relationarctanx+ arctan¹_x = ^π₂signe(x).

De même la fonction cosinus restreinte à [0, π] est strictement décroissante, on appelle arccosinus sa réciproque. La fonction sinus restreinte à[−^π₂;^π₂]est strictement croissante, on appelle arcsinus sa réciproque.

On peut montrer que : {

∀x∈]−1,1[, arccos⁰x= √⁻¹ 1−x²

∀x∈]−1,1[, arcsin⁰x= √ ¹ 1−x²

Quelques fonctions classiques :

1 2 3 4

y

–2 –1 1x 2 –2

–1 0 1 2

y

1 2x 3 4

1 2 3 4

y

–2 –1 1x 2 –2

–1 0 1 2

y

–2 –1 x1 2

Fonction exponentielle Fonction logarithme Fonction ch Fonction sh

–2 –1 0 1 2

y

–2 –1 1x 2

–2 –1 0 1 2

y

–2 –1 1x 2

–2 –1 0 1 2

y

–2 –1 x1 2

–2 –1 1 2 3 4

y

–2 –1 1 2

x

Fonction tangente Fonction arctangente Fonction arcsinus Fonction arccosinus

2.2 Intégration

2.2.1 Généralités

Définition 21 Pour une fonction positive, on peut définir, l’intégrale de aà b (a≤ b) comme étant l’aire se trouvant sous la courbe on note cette intégrale ∫_b

af(t)dt, ensuite on peut définir l’intégrale de fonctions négatives ou qui changent de signes en considérant f⁺(x) = max(f(x),0)et f⁻(x) =−min(f(x),0), on a alorsf =f⁺−f⁻oùf⁺etf⁻sont des fonctions positives, on pose alors∫_b

af(t)dt=∫_b

af⁺(t)dt−∫_b

af⁻(t)dt.

Pour terminer si a > b, on pose∫_b

af(t)dt=−∫_a

b f(t)dt.

Remarque 2.5 A partir de là on peut voir un grand nombre de propriétés vues au lycée comme – Chasles : ∫_b

af(t)dt=∫_c

af(t)dt+∫_b

c f(t)dt.

– La linéarité :∫_b

af(t) +λg(t)dt=∫_b

a f(t)dt+λ∫_b

ag(t)dt.

– La croissance : Sia < b etf ≤g alors∫_b

af(t)dt≤∫_b

ag(t)dt.

– D’ou : Si a < b etf ≤M alors∫_b

af(t)dt≤M(b−a).

Proposition 2.16 Sia < b,

∫ _b

a

f(t)dt ≤

∫ _b

a

|f(t)|dt

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