>>> Les Mathématiques dans les Sciences

(1)

L A B O R A T O I R E P H Y S I Q U E - C H I M I E

>>> Les Mathématiques

dans les Sciences

3 mai 2018

— LYCÉEGAYLUSSAC

12,BVDGEORGESPÉRIN

87 031 LIMOGES France Tél. +33 (0)5 55 79 70 01 labophysique.gay-lussac@laposte.net

(2)

LESMATHS DANS LESSCIENCES SOMMAIRE

S ^OMMAIRE

Page

SOMMAIRE 2

I. Les chiffres significatifs 4

1. Chiffres significatifs obtenus lors d’une mesure. . . 4

2. Nombre de chiffres significatifs dans un nombre. . . 4

3. Nombre de chiffres significatifs à retenir lors de calculs. . . 5

II. L’alphabet grec dans les sciences 6 III. Puissances de 10, préfixes et conversion 7 1. Généralités . . . 7

2. Unités de surface . . . 7

3. Unités de volumes . . . 7

IV. Tracé et exploitation de courbes 8 1. Droite passant par l’origine . . . 9

2. Droite présentant une ordonnée à l’origine . . . 9

V. Les vecteurs 10 1. Projections de vecteurs (O,~ı,~). . . 10

2. Exemple corrigé . . . 12

VI. Logarithme et Exponentielle 13 1. Logarithme népérien et exponentielle . . . 13

2. Logarithme décimal . . . 14

VII. Méthode d’Euler 15 1. Expression de l’accélération . . . 15

2. Expression de la vitesse . . . 16

3. Utilisation des conditions initiales . . . 16

4. Détermination des valeurs v_iet a_i . . . 16

5. Application de la méthode d’Euler. . . 16

VIII.Intégration en sciences physiques 19

(3)

LESMATHS DANS LESSCIENCES RÉSUMÉ

«L’imagination est plus importante que le savoir», ALBERTEINSTEIN

RÉSUMÉ

C

^{E DOCUMENT} traite des outils mathématiques, les plus utilisés au lycée, pour répondre aux problèmes posés par la physique. Ainsi, grâce à ces outils, la physique (eta fortiori, le(a) physicien(ne)) tente de comprendre, de modéli- ser, voire d’expliquer les phénomènes naturels de l’univers. Elle correspond à l’étude du monde qui nous entoure sous toutes ses formes, des lois de sa variation et de son évolution. Dans ce document vous verrez tour à tour : les chiffres significatifs, l’alphabet grec dans les sciences, les puissances de 10, les préfixes et les conversion, le tracé et l’exploitation de courbes, les vecteurs. Et pour les terminales S : les logarithmes et ex- ponentielles, les équations différentielles abordées avec la méthode d’Euler et le calcul d’intégrales

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LESMATHS DANS LESSCIENCES I. LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS

I. Les chiffres significatifs

1. Chiffres significatifs obtenus lors d’une mesure.

Les valeurs obtenues en sciences physiques résultent de mesures expérimentales. Lors d’une mesure, on utilise des appareils plus ou moins précis qui permettent de donner à la valeur de la grandeur mesurée un certain nombre de chiffres significatifs.

Exemples :

í diamètre d’un cylindre métallique mesuré avec un réglet :d=12 mm ; on a 2 chiffres significatifs.

í diamètre d’un cylindre métallique mesuré avec un pied à coulisse mécanique :d = 12,2 mm ; on a 3 chiffres significatifs.

í diamètre d’un cylindre métallique mesuré avec un pied à coulisse électronique :d= 12,23 mm ; on a 4 chiffres significatifs.

2. Nombre de chiffres significatifs dans un nombre.

a. dans un nombre décimal.

Dans un nombre décimal, les chiffres significatifs sont tous les chiffres autres que les 0 placés au début du nombre.

Les chiffres significatifs sont ici soulignés : 5,876 7,890 8 000 0,79 0,000 32 0,004 60

b. dans un nombre écrit en notation scientifique.

Notation scientifique d’un nombre :

A·10ⁿ

A est un nombre décimal avec (1<A<10) ;nest un entier relatif.

Dans un nombre écrit en notation scientifique, les chiffres significatifs sont tous les chiffres de A.

1, 32·10³ 6, 8786·10⁻² 8, 80·10¹⁰ 7, 00·10⁻⁷ c. dans un nombre écrit avec des puissances de 10.

Notation du nombre :

A·10ⁿ

A est un nombre décimal (A<1 ou 10<A) ;nest un entier relatif.

Dans un nombre écrit avec des puissances de 10, les chiffres significatifs sont tous les chiffres autres que les 0 placés au début du nombre. 11, 4·10⁴ 2224·10⁻² 700· 10³ 0, 76·10⁷ 0, 0043·10⁻⁹

(5)

LESMATHS DANS LESSCIENCES I. LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS

3. Nombre de chiffres significatifs à retenir lors de calculs.

Lors d’un calcul, on retiendra pour le résultat final un nombre de chiffres significatifs identique à celui du nombre en contenant le moins. Les cœfficients ne sont pas à considérer lors des calculs.

Exemples :

í ^L=14 m ; l =6,0 m S=L×l A.N. :S=14×6, 0=84 m² Les valeurs de départ sont données avec 2 chiffres significatifs. La calculatrice donne S=84 m²soit 2 chiffres significatifs ce qui est cohérent.

í ^L=12,3 m ; l=4,2 m S=L×l

A.N. :S=12, 3×4, 2=53 m² Une des valeurs de départ est donnée avec 2 chiffres significatifs. La calculatrice donne S=52,66 m² soit 4 chiffres significatifs ce qui est incohérent. On en retient seulement 2 .

í ^C=2,0·10⁻²mol/L ; V=10,0 mL=10,0·10⁻³L ; n=CV

A.N. :n=2,0·10⁻²×10,0·10⁻³=2,0·10⁻⁴mol Une des valeurs de départ est don- née avec 2 chiffres significatifs. La calculatrice donne : n=2·10⁻⁴mol soit 1 chiffre significatif ce qui est incohérent. On doit en retenir 2 donc on rajoute un 0.

í ^U=5,80 V ; I=12,34 mA=12,34·10⁻³A R=U/I

A.N. :R=5,80/12,34·10⁻³=470 W Une des valeurs de départ est donnée avec 3 chiffres significatifs. La calculatrice donne : R=470,016 207 5 W soit 10 chiffres significatifs ce qui est incohérent. On en retient seulement 3.

í ^pH=7,8 [H₃O⁺]=10^−pH A.N. :[H₃O⁺]=10^−7,8=1,6·10⁻⁸mol/L

La valeur de départ est donnée avec 2 chiffres significatifs . La calculatrice donne [H₃O⁺]=1,584 893 192·10⁻⁸mol/L soit 10 chiffres significatifs ce qui est incohérent.

On en retient seulement 2.

í ^G=6,67·10⁻¹¹S.I. m₁=5,98·10²⁴kg m₂=7,38·10²²kg d=3,84·10⁸m F=(Gm₁m₂) /d²

A.N. :F=¡

6,67·10⁻¹¹×5,98·10²⁴×7,38·10²²¢ /¡

3,84·10⁸¢2

=2,00·10²⁰N

Les valeurs de départ sont données avec 3 chiffres significatifs . La calculatrice donne F=1,996 277 588·10²⁰N soit 10 chiffres significatifs ce qui est incohérent. On en retient seulement 3.

í ^L=15,5 m ; l=7,1 m S=L×l A.N. :S=15,5×7,1=1,1·10²m²

Une des valeurs de départ est donnée avec 2 chiffres significatifs. La calculatrice donne S=110,05 m²soit 5 chiffres significatifs ce qui est incohérent. On doit en retenir seulement 2 et on est donc contraint de passer par la notation scientifique.

í ^T=32,5µs=32,5·10⁻⁶s f =1/T Le coefficient 1 n’est pas à considérer ! A.N. :f =1/¡

32,5·10⁻⁶¢

=3,08·10⁴Hz La valeur de départ est donnée avec 3 chiffres significatifs . La calculatrice donne f =30 769,230 77 Hz soit 10 chiffres significatifs ce

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LESMATHS DANS LESSCIENCES II. L’ALPHABET GREC DANS LES SCIENCES

qui est incohérent. On doit en retenir 3 et on est donc contraint de passer par la notation scientifique.

II. L’alphabet grec dans les sciences

Ce tableau regroupe les lettres de l’alphabet grec couramment utilisées au lycée. Il ne comporte pas toutes les lettres de l’alphabet grec.

Nom de la lettre Lettre minuscule Lettre majuscule

alpha α

bêta β

gamma γ

delta δ ∆

epsilon ε

êta η

thêta θ

lambda λ

mu µ

nu ν

pi π Π

rhô ρ

sigma σ Σ

tau τ

phi ϕ

chi χ

omega ω Ω

TABLEAU1.Lettres grecques utilisées en physique et en chimie.

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LESMATHS DANS LESSCIENCES III. PUISSANCES DE10,PRÉFIXES ET CONVERSION

III. Puissances de 10, préfixes et conversion

1. Généralités

Puissance de 10 10¹² 10⁹ 10⁶ 10³ 10² 10¹ 10⁰

Préfixe Téra Giga Méga kilo hecto déca unité de base

Symbole T G M k h da unité de base

Conversion

Puissance de 10 10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁶ 10⁻⁹ 10⁻¹² 10⁻¹⁵

Préfixe déci centi milli micro nano pico femto

Symbole d c m µ n p f

Conversion

TABLEAU2.Puissance de 10 et préfixes

2. Unités de surface

km² hm² da² m² dm² cm² mm²

TABLEAU3.Tableau de conversion : surfaces

1 dm²=1·10⁻²m² 1 cm²=1·10⁻⁴m²

3. Unités de volumes

kL hL daL L dL cL mL

m³ dm³ cm³

TABLEAU4.Tableau de conversion : volumes

1 mL=1 cm³ 1 L=1 dm³ 1·10³L=1 m³

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LESMATHS DANS LESSCIENCES IV. TRACÉ ET EXPLOITATION DE COURBES

IV. Tracé et exploitation de courbes

Tracé en mathématiques

En mathématiques, on trace des courbes y = f(x) dans un repère orthonormé d’origine O.

y est l’ordonnée, x est l’abscisse.

Tracé en sciences physiques

En sciences physiques, on trace des courbes dans un repère orthonormé d’origine O, avec une grandeur physique sur chaque axe.

Ces grandeurs présentent presque toujours des unités qu’il faut préciser sur chaque axe.

Exemple : distance d en fonction du tempstsoit :d=f(t)

0 5 10

x y

0 5 10

t(s) d(m)

FIGURE1. Axes en maths et en physique

En sciences physiques, on trace des courbes pour établir des relations entre les grandeurs physiques étudiées et représentées sur chacun des axes. Les courbes obtenues sont en général :

í des droites passant par l’origine.

í des droites présentant une ordonnée à l’origine.

(9)

LESMATHS DANS LESSCIENCES IV. TRACÉ ET EXPLOITATION DE COURBES

1. Droite passant par l’origine

0 5 10

x y

Equation de la droite :´ y=a·x

Cœfficient directeur de la droite : a

0 5 10

t(s) d(m)

b b b b b b b b b b b b b b b b

b

A

FIGURE2. (gch.)Théorie mathématique (dr.) Application : tracé ded= f(t) à partir de valeurs mesurées.

La courbe obtenue est une droite moyenne passant par l’origine. Son équation est : d=v·t

vest le cœfficient directeur de la droite. Il se calcule avec la formule : v=d_A

t_A

vse calcule avec un point de la droite moyenne suffisamment espacé de l’origine (ne pas reprendre les valeurs du tableau).

v possède en général une unité ; c’est le rapport de l’unité des ordonnées sur celle des abscisses : ici m/s ou m.s⁻¹

2. Droite présentant une ordonnée à l’origine

La courbe obtenue est une droite moyenne présentant une ordonnée à l’origine. son équation est :

v=v0+a·t

v₀est l’ordonnée à l’origine, constante de même unité que v qui est la grandeur portée en origine.

L’ordonnée à l’origine se lit graphiquement On lit :v₀=...m·s⁻¹

aest le cœfficient directeur de la droite ; il se calcule avec l’une des formules : a=vA−vB

t_A−t_B ou a=vA−v0

t_A

ase calcule avec des points A et B de la droite moyenne suffisamment espacés.

(10)

LESMATHS DANS LESSCIENCES V. LES VECTEURS

0 5 10

x y

Equation de la droite :´ y=a·x+b

Cœfficient directeur de la droite : a

Ordonn´ee `a l’origine : b

0 5 10

t(s) v(m.s⁻¹)

b b b b b b b b b b b b b b b b

b b

A B

v0

dA

dB

tA tB

FIGURE3. (gch.)Théorie mathématique (dr.) Application : tracé dev=f(t) à partir de valeurs mesurées.

as’exprime en m.s⁻¹/s soit en m.s⁻²

V. Projection de vecteurs dans un repère orthonormé

1. Projections de vecteurs (O, ~ ı , ~ )

Un vecteur peut être projeté sur un ou des axes.

Si le vecteur a même direction qu’un axe :

T~ R~

P~

~ı

~

O

FIGURE4. Exemples de vecteurs qui possèdent la même direction qu’un des deux axes.

Si le vecteur a même sens que l’axe, le vecteur correspond à sa valeur fois le vecteur élé- mentaire du repère orthonormé.

~T=T·~ı ~R=R·~

Si le vecteur a un sens opposé à l’axe , on rajoute un signe -.

(11)

~P= −P·~

Si le vecteur a une direction quelconque :

Le vecteur fait alors un angleαpar rapport à un des axes.

On prend l’exemple suivant où le vecteur~T est décomposé en deux composantes :

a. Étape 1 : Décomposer le vecteur en ses deux projections (composantes) sur chaque axe

T~

α

~ı

~

O

T~

α

~ı

~

O

FIGURE5.Décomposition d’un vecteur qui possèdent un angleαavec un des deux axes en ses deux composantes sur chaque axe

b. Étape 2 : Recherche les expressions de chaque composante

La composante reliée au vecteur~T par l’angleαaura pour valeur T cos (α) .

On regarde ensuite son sens par rapport à l’axe de projection : si le vecteur a même sens que l’axe (ou que le vecteur élémentaire de l’axe) le vecteur correspond à sa valeur fois le vecteur élémentaire si le vecteur est en sens opposé on rajoute un signe moins .

Ici , la composante horizontale est suivant~ıdonc s’écrit : T cos (α)·~ı L’autre composante aura pour valeur T sin (α)·~.

On regarde ensuite son sens par rapport à l’axe de projection :

í si le vecteur a même sens que l’axe (que le vecteur élémentaire ) le vecteur correspond à sa valeur fois le vecteur élémentaire

í si le vecteur est en sens opposé on rajoute un signe moins (−).

Ici , la composante verticale est suivant~donc s’écrit : T sin (α)·~

(12)

T~

α

T·cos (α)~ı

~ı

~

O

T~

T·sin(α)~ α ~ı

~

O

FIGURE6.Décomposition d’un vecteur selon les axes~ıet~

c. Étape 3 : Écriture de l’expression du vecteur décomposé On a montré que

~T=T cos (α)·~ı+T sin (α)·~

2. Exemple corrigé

α f~ R~

P~

~ı

~

O α

α

P~

P·sin (α)

−P·cos (α)

~ı

~

O

FIGURE 7.(gch.) Exemple d’exercice ; mobile sur un plan incliné (dr.) Décomposition d’un vecteur selon les axes~ıet~

~R est orienté suivant~donc~R=R·~

~f est orienté suivant−~ıdonc~f = −f ·~ı

La composante rouge est liée à~P par l’angleα. Elle a pour valeur P·cos (α) et est orientée suivant−~.

Elle s’écrit :−P·cos (α)·~

La composante bleue a pour valeur P·sin (α) et est orientée suivant~ı.

Elle s’écrit : P·sin (α)·~ı On conclut que :

~P=P·sin (α)·~ı−P·cos (α)·~

.

(13)

LESMATHS DANS LESSCIENCES VI. LOGARITHME ETEXPONENTIELLE

VI. Logarithme Népérien et Exponentielle ; Logarithme Déci- mal : Utilisation en Sciences Physiques et Chimie

Destiné aux terminales S

1. Logarithme népérien et exponentielle

a. Définition de la Fonction Logarithme Népérien La fonction logarithme népérien :

f(x)=ln(x) (définie si x>0)

xlim→0⁺ln(x)= −∞

ln(1)=0

x→+∞lim ln(x)= +∞

b. Définition de la Fonction Exponentielle La fonction exponentielle :

f(x)=exp(x) ou e^x (définie quelque soit x)

x→−∞lim e^x=0 e⁰=1

x→+∞lim e^x= +∞

c. Relation entre ln x ete^x

ln¡ e^x¢

=x ex : ln³ e^−λt´

= −λt

d. Utilisation courantes des lois vérifiées par le logarithme népérien

ln (a·b)=ln (a)+ln (b) ex : ln

³

A0·e^−λ^t´

=ln A0+ln

³ e^−λ^t´

=ln (A0)−λt ln (a/b)= −ln (b/a) ex : ln (A/A₀)= −ln (A₀/A)

ln (1/a)= −ln (a) ex : ln (1/2)= −ln (2) e. Utilisation courantes des lois vérifiées par l’exponentielle

e^(a+b)=e^a·e^b ex : e^−λ(t+∆t⁾=e^−λt^−λ∆t =e^−λte^−λ∆t 1

e^a =e⁻^a ex : 1

e^λt =e^−λ^t

(14)

LESMATHS DANS LESSCIENCES VI. LOGARITHME ETEXPONENTIELLE

ou : 1

e^−λ^t =e^λt

Si : f (x)=e⁻^kx, alors : f⁰(x)= −ke⁻^kx ex : si A=A₀·e^−λ^t alors : dA

d t = −λA₀·e^−λ^t

2. Logarithme décimal

a. Définition

La fonction logarithme décimal :

f(x)=log(x)= ln (x)

ln (10) (définie si x>0)

x→0lim⁺log(x)= −∞

log(1)=0

x→+∞lim log(x)= +∞

b. Relation entrelogxet10^x

log(10^x)=x ex : log(10⁻²)= −2 log(10⁴)=4 10^log^x=x

c. Lois vérifiées par le logarithme décimal

Elle sont similaires à celles vérifiées par le logarithme népérien

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LESMATHS DANS LESSCIENCES VII. MÉTHODE D’EULER

VII. Méthode d’Euler

Leonhard Euler (1 707 – 1 783 ), physicien et mathématicien suisse.

La méthode d’Euler permet d’obtenir des solutions numériques approchées d’équations différentielles. Elle s’avère nécessaire lorsque l’équation différentielle est impossible à ré- soudre de manière générale. Elle nécessite la répétition d’un même calcul un certain nombre de fois : c’est une méthodeitérative.

Elle est couramment utilisée en mécanique quand on étudie la chute verticale d’un objet shérique dans un fluide. En effet, dans ce cas, on obtient une équation différentielle de ce type (eq. (1)).

dv dt+

µ k ρV

¶

·vⁿ=

µρ−ρf

ρ

¶

·g

Soit dv

dt =

µρ−ρf

ρ

¶

·g− µ k

ρV

¶

·vⁿ

ou a=

µρ−ρf

ρ

¶

·g− µ k

ρV

¶

·vⁿ (1)

V est le volume de la sphère,

ρest la masse volumique de la sphère,ρf la masse volumique du fluide, g est la valeur du champ de pesanteur,

kest le cœfficient de la force de frottement du fluide, de valeur f =k·vⁿ nest un réel (1≤n≤2)

Pourn6=1, on ne peut pas résoudre l’équation différentielle. On va, par la méthode d’Eu- ler, méthode numérique pas à pas, déterminer les valeurs dev à des instantstdonnés ; on pourra ainsi construire la courbev=f (t).

1. Expression de l’accélération

De manière générale, l’équation ci-dessus peut être écrite sous la forme (eq. (2))

a=A−B·vⁿ (2)

A et B sont des constantes positives déterminées par le système étudié.

A=

µρ−ρf

ρ

¶

·g et B= µ k

ρV

¶

À un instant donné, on aura l’équation suivante (eq. (3))

a(t)=A−B·vⁿ(t) (3)

Ou l’équation (4)

ai=A−B vin

(4)

(16)

2. Expression de la vitesse

a=^dv_dt peut s’écrire sur des écarts de temps∆tcourts :a=^∆_∆t^v

Pour la méthode d’Euler, on appellera ∆t le pas de résolution.Il doit être inférieur au temps caractéristiqueτde l’expérience pour donner des résultats précis.

Rq : il ne faut pas non plus prendre ∆t trop petit car cela multiplierait inutilement le nombre de calculs à effectuer.

À un instanttdonné, on peut écrire l’équation (eq. (5)) a(t)=v(t+∆t)−v(t)

∆t soit, v(t+∆t)=v(t)+a(t)·∆t (5) Ou

vi+1=vi+ai·∆t (6)

3. Utilisation des conditions initiales

Àt₀=0 s, on peut connaître la valeur de la vitesse initialev₀. On peut aussitôt déduire : a₀=A−Bv₀ⁿ

4. Détermination des valeurs v

i

et a

i

Connaissantv₀eta₀, on peut déduire au temps,t₁=t₀+∆t : v1=v0+a0·∆t puis a1=A−B v1n

Connaissantv₁eta₁, on peut déduire au temps,t₂=t₁+∆t : v₂=v₁+a₁·∆t puis a₂=A−B v₂ⁿ Connaissantv₂eta₂, on peut déduire au temps,t₃=t₂+∆t :

v₃=v₂+a₂·∆t puis a₃=A−B v₃ⁿ Connaissantv₃eta₃, on peut déduire au temps,t₄=t₃+∆t :

v4=v3+a3·∆t puis a4=A−B v4n

etc. . .

Connaissantv_i eta_i, on peut déduire au temps,t_i+1=t_i+∆t : v_i+1=v_i+a_i·∆t puis a_i+1=A−B v_i+1ⁿ etc. . .

Connaissantv_N−1eta_N−1, on peut déduire au temps,t_N=t_N−1+∆t : v_N=v_N−1+a_N−1·∆t puis a_N=A−B v_N−1ⁿ

5. Application de la méthode d’Euler

(17)

a. Exercice

On étudie la chute libre dans l’air d’une balle de ping-pong lâchée sans vitesse initiale.

La balle est soumise à des frottements fluide dont la valeur a pour forme : f =k·v²

On montre que l’équation différentielle vérifie par la vitessevest de la forme : a(t)=dv

dt =

µρ−ρf

ρ

¶

·g− µ k

ρV

¶

·v² Cette équation peut être ramenée numériquement sous la forme :

a(t)=A−Bv²(t) avec A=9,6 m.s⁻² et B=0,15 m⁻¹

On a donc : a(t)=9,6−0,15v²(t) (7) On désire déterminer, par la méthode d’Euler, la vitesse aux dates 0,10 s, 0,20 s, 0,30 s, 0,40 s.

1. Que vautv₀? 2. Calculera₀.

3. Quel est le pas de résolution ? 4. Que vautv₁?

5. Compléter le tableau suivant.

t (s) v_{t héo}(m/s) a_{t héo}(m/s²) vexp (m/s)

0,00 0,00

0,10 0,95

0,20 1,90

0,30 2,84

0,40 3,64

TABLEAU5.Calcul de la vitesse et l’accélération à des instantst donnés et les résultats expérimentaux

6. Les résultats théoriques sont-ils en accord avec les résultats expérimentaux suivants ? b. Correction

1. Que vautv₀? La balle est lancée sans vitesse initiale doncv=0 m.s⁻¹ 2. Calculera₀.a₀=A−Bv₀²A.N. :a₀=9,6−0,15·0²=9,6 m.s⁻²

3. Quel est le pas de résolution ? L’écart de temps entre chaque mesure est∆t=0,10 s 4. Que vautv₁?v₁=v₀+a₀·∆t A.N. :v₁=0+9,6·0,10=0,96 m/s

5. Compléter le tableau suivant.

6. Les résultats théoriques sont-ils en accord avec les résultats expérimentaux suivants ?

(18)

A B C D E

1 t (s) v (m/s) a (m/s²) A B

2 0,00 0 9,6 9,6 0,15

3 0,10 = B2 + C2 * A$3 = D$2 - E$2 * B3 * B3 4 = A3 + 0,1 = B3 + C3 * A$3 = D$2 - E$2 * B4 * B4 5 = A4 + 0,1 = B4 + C4 * A$3 = D$2 - E$2 * B5 * B5 6 =A5 + 0,1 = B5 + C5 * A$3 = D$2 - E$2 * B6 * B6

t (s) v (m/s)théo a (m/s²) v (m/s)exp 0,00 0,00 9,60 0,00 0,10 0,96 9,46 0,95 0,20 1,91 9,05 1,90 0,30 2,81 8,41 2,84 0,40 3,65 7,60 3,64

TABLEAU6.Calcul de la vitesse et l’accélération à des instantst donnés (gch.) avec un tableur (dr.) résultats théoriques et expérimentaux

Le tableau de mesure précédent permet d’obtenir la figure (fig8).

0 2 4 6 8

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t(s) v(m/s)

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

τ = 0,59 s 0,63·8

v th´eorique v exp v =A

1−e⁻^τ^t

FIGURE8.Résolution d’équation différentielle par la Méthode d’Euler

0 2 4 6 8

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t(s) v(m/s)

3 a/4 (m/s²) v (m/s) z / 2 (m)

FIGURE9.Calcul des différentes valeurs de l’accélération a, de la vitesse v et de la position z. On obtient z en intégrant v (v. sectionVIII. page suivante)

(19)

LESMATHS DANS LESSCIENCES VIII. INTÉGRATION EN SCIENCES PHYSIQUES

VIII. Intégration en sciences physiques

En sciences physiques, on sait que certaines grandeurs dépendent de la dérivée par rapport au temps d’autres grandeurs.

Soit−−→

OM le vecteur position dans un repère³

O,~ı,~,~k´ .

Le vecteur vitesse~v se déduit ainsi :~v = ^d_dt^−−→^OM. C’est la dérivée par rapport au temps du vecteur position.

Le vecteur accélération~a se déduit ainsi :~a=^d_dt⁻^→^v. C’est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse ou la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur position−−→

OM soit :

~a=^d²_dt^−−→^OM2

Exemple simple :on étudie la chute libre d’un objet lâché verticalement suivant un axe vertical (Oz) orienté vers le bas à la position initialez₀et avec la vitesse initialev₀(vecteur vitesse−→v₀orienté vers le bas).

On étudie les grandeurs physiques suivantes : í la positionz

í ^{la valeur}^v de la vitesse :v=^dz_dt

í ^{la valeur}^ade l’accélération :a=^dv_dt =^d_dt²^z2

äD’après la 2^èmeloi de Newton, on a : X−−→

Fext=m· −→a soit →−

P =m· −→a soit m· −→g =m· −→a soit →−g = −→a L’axe étant orienté vers le bas :−→a =a·→−

k, g étant orienté vers le bas :−→g =g·→−

k, on a donc :a·−→

k =g·→−

k et a=g.

äOn connaît l’accélération mais ni la vitessev, ni la positionz. Pour remonter à la vitessev, il va falloir intégrer, c’est-à-dire effectuer l’opération inverse de la dérivation.

En effet,a=^dv_dt doncaest la dérivée dev par rapport au temps donc réciproquement,v est la primitive deapar rapport au temps.

v(t)= Z

a(t) dt

a=g donc par intégration, on a : v=g·t+K Àt=0,v=g·0+K=v0donc K=v0

On déduit donc :v=g·t+v₀

äOn connaît maintenant la vitessevmais toujours pas la positionz. Pour remonter à la positionz, il va falloir intégrer de nouveau.

(20)

LESMATHS DANS LESSCIENCES VIII. INTÉGRATION EN SCIENCES PHYSIQUES

En effet,v =^dz_dt doncv est la dérivée dezpar rapport au temps donc réciproquement,z est la primitive dev par rapport au temps.

z(t)= Z

v(t) dt

Vu quev=g·t+v₀, on a par intégrationz=₂¹g·t²+v₀·t+K⁰ Àt=0,z=¹₂g·0²+v₀·0+K⁰=z₀donc K⁰=z₀, finalement :

z=1

2 g·t²+v₀·t+z₀

Remarque :dans les cas rencontrés en terminale, la constante d’intégration correspond à la valeur initiale de la grandeur. Pourv=g·t+K, K=v₀;z=¹₂g·t²+v₀·t+K⁰, K⁰=z₀. Ce ne sera pas toujours le cas, donc il faut étudier les conditions initiales pour déterminer les valeurs de K et K⁰.

(21)

LESMATHS DANS LESSCIENCES LISTE DESFIGURES

Liste des figures

1 Axes en maths et en physique . . . 8

2 Régression linéaire. . . 9

3 Régression affine. . . 10

4 Exemples simples de vecteurs . . . 10

5 Décomposition d’un vecteur quelconque . . . 11

6 Décomposition d’un vecteur . . . 12

7 Exemple d’exercice de décomposition d’un vecteur . . . 12

8 Méthode d’Euler (Graphique) - 1 . . . 18

9 Méthode d’Euler (Graphique) - 2 . . . 18

(22)

LESMATHS DANS LESSCIENCES LISTE DESFIGURES

Liste des tableaux

1 Lettres grecques utilisées en physique et en chimie. . . 6

2 Puissance de 10 et préfixes . . . 7

3 Tableau de conversion : surfaces . . . 7

4 Tableau de conversion : volumes . . . 7

5 Méthode d’Euler (Calcul, exercice) . . . 17

6 Méthode d’Euler (Calcul, correction) . . . 18

(23)

LESMATHS DANS LESSCIENCES FIN

AUTEURS

í ^F^RANCIS DENANOT, Professeur de physique- chimie,francis.denanot@ac-limoges.fr í ^N^ATHALIE LACORRE-CHUETTE, Profes-

seure de physique-chimie, nathalie.lacorre@

ac-limoges.fr

í ^P^IERRE LAGNAUD, Professeur de physique- chimie,pierre.lagnaud@ac-limoges.fr í ^É^RICSURAN, Technicien au laboratoire de phy-

sique,eric.suran@ac-limoges.fr

>>> Les Mathématiques dans les Sciences

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