U.F.R. de Mathématiques Parcours PEIP, 2015–16 Mathématiques pour les Sciences de l’Ingénieur
Corrigé du Devoir Surveillé du 5 mars 2016 Durée 2 heures
Ex 1. Deux séries numériques (6 points) On considère la série ř`8
k“1uk de terme général uk“ p´1qk 2lnk . 1) Est-elle convergente ?
La série de terme général uk“ p´1qk
2lnk est une série alternée; |uk| “ 1 2lnk. Comme
2lnk “expplnkln 2q, (1)
en combinant la croissance de la fonction logarithme, le fait que ln 2 ą 0, et la croissance de la fonction exponentielle, on obtient que 2lnk est une fonction croissante de k, et après passage à l’inverse, que la suite p|uk|qkě1
est décroissante. Enfin, l’égalité (1) entraîne, par composition de limites, que 2lnk tend vers `8 quand k tend vers `8. On en déduit que p|uk|qkě1
converge vers 0.
La série de terme général uk est donc une série alternée ; |uk| tend vers 0 en décroissant : la série est donc convergente.
2) Absolument convergente ?
Il s’agit ici d’étudier la convergence de la série de terme général |uk|. En reprenant (1), on a
|uk| “ 1
2lnk “ 1
expplnkln 2q “ 1 kln 2,
la série de terme général |uk|est donc une série de Riemann, d’exposant ln 2.
La convergence de cette série dépend alors de la position de ln 2 par rapport à 1. Comme 2 ăe, on sait que ln 2ă1 : la série diverge.
En conclusion, la série de terme général uk ne converge pas absolument.
On considère la série ř`8
k“1vk de terme généralvk“ 1` p´1qk 2ksinpπk`π{2q. 3) Expliciter les 6 premiers termes de la suite pvkqkě1.
v1 “0, v2 “ 1
2, v3 “0, v4 “ 1
8, v5 “0, v6 “ 1 32. 4) Montrer que cette série est convergente, et calculer sa somme.
Lorsque k est un entier impair, 1` p´1qk “ 0, et par conséquent vk “ 0.
Lorsque k est un entier pair (donc de la forme k “ 2p), 1` p´1qk “ 2 et sinpπk`π{2q “ sinp2pπ`π{2q “ sinpπ{2q “ 1. On en déduit que, pour k pair égal à 2p,vk“2{22p “1{22p´1. Si l’on appelle Sn la somme partielle de rang n de cette série, on a donc
S2n “ ÿn
p“1
v2p “ ÿn
p“1
1 22p´1 “2
ÿn
p“1
1
4p et S2n`1 “S2n`v2n`1 “S2n, puisque v2n`1 “ 0 pour tout n ě 0. Ici, on remarque que S2n est une série géométrique, de raison 14 qui est positive et strictement inférieure à 1 : il y a donc convergence de S2n, et de plus
nÑ`8lim S2n “2ˆ1
4 ˆ 1
1´1{4 “ 2 3.
CommeS2n`1 “S2n pour toutně1, on en déduit que les sommes partielles de rang impair convergent elles aussi, et vers la même limite queS2n. Enfin, les sommes partielles de rang pair et de rang impair convergeant toutes les deux vers la même limite, on en déduit que la série de terme général vk converge, et de plus
`8
ÿ
k“1
1` p´1qk 2ksinpπk`π{2q “ 2
3. 5) Est-elle absolument convergente ?
D’après la question précédente, vk ě 0 pour tout k ě 1, et donc |vk| “ vk pour tout k ě 1. Il n’y a donc pas de différence, ici, entre convergence et convergence absolue : la série converge absolument.
Ex 2. (7 points)
Soit pukqkPN une suite de réels positifs, et pvkqkPN la suite définie par
@kě0, vk“ uk 1`uk. Le but de cet exercice est de montrer que les séries ř`8
k“0uk et ř`8
k“0vk sont de même nature.
1) On suppose que la série ř`8
k“0uk converge. Montrer qu’alors vk „ uk quand k tend vers `8.
On sait que le terme général d’une série convergente tend vers 0. L’hypothèse de convergence de la série de terme général uk entraîne donc
kÑ`8lim uk“0.
La définition de vk en fonction de uk se réécrit vk“ uk
1`uk “ukwk avec wk “ 1
1`uk et lim
kÑ`8wk “1,
puisque uktend vers 0. On vient donc de montrer que les deux suites pukqkPN
et pvkqkPN sont équivalentes en `8.
2) En déduire la convergence de la sérieř`8 k“0vk.
On vient de montrer l’équivalence entre uk et vk. D’après l’énoncé, la suite pukqkPN est une suite de réels positifs; la règle des équivalents s’applique donc : les deux séries sont de même nature. Comme ici on a supposé que la série de terme général uk était convergente, on en déduit que la série de terme général vk est également convergente.
3) Montrer de façon analogue que si la sérieř`8
k“0vkconverge, alorsř`8
k“0ukconverge également.
On va suivre la même démarche que dans les deux questions précédentes, en inversant les rôles de uk et vk. Les équivalences suivantes s’appuient sur le fait que 1`uk ne peut s’annuler, caruk ě0 pour tout k ě0.
vk“ uk
1`uk ôvkp1`ukq “ ukôvk “ukp1´vkq ôvk“ukxk avec xk “1´vk. Par hypothèse, la série desvk converge, donc la suitepvkqkPNtend vers 0 ; on en déduit que la suitepxkqkPNconverge vers 1, et donc que uketvk sont équi- valents. Toujours grâce à la positivité des uk, on peut appliquer la règle des équivalents, les séries de terme généraluketvk respectivement sont de même nature. Puisque l’on a supposé que la série de terme général vk convergeait, on en déduit que celle de terme général uk converge.
Conclusion : On vient de montrer que
`8
ÿ
k“0
ukă `8 ñ
`8
ÿ
k“0
vk ă `8 et
`8
ÿ
k“0
vkă `8 ñ
`8
ÿ
k“0
uk ă `8,
on a donc bien l’équivalence entre ces convergences : les séries sont de même nature.
Ex 3. Développement en série de Fourier (7 points)
Soit f :RÑR, la fonction 2-périodique vérifiant fpxq “ |x|pour |x| ď1.
1) Dessiner la représentation graphique de f sur l’intervalle r´3,3s.
1 y
−3 −2 −1 1 2 3
x
Figure 1 – Fonction 2-périodique vérifiantfpxq “ |x| pourxP r´1,1s
2) Déterminer la série de Fourier def. Pour quelles valeurs dexcette série converge- t-elle vers fpxq?
La fonctionxÞÑ |x|étant continue surr´1,1s, elle est intégrable surr´1,1s.
On peut donc calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2-périodique f :
a0pfq “ 1 2
ż1
´1
fpxqdx“ 1 2
ż1
´1
|x|dx“ ż1
0
xdx“ 1 2,
où l’on s’est servi de la parité de la fonction valeur absolue pour la troisième égalité. Pour calculer les coefficients suivants, on rappelle queω“2π{T “π.
On a alors pour toutk ě1 akpfq “
ż1
´1
fpxqcospkπxqdx“ ż1
´1
|x|cospkπxqdx“2 ż1
0
xcospkπxqdx
“2
˜„
x sinpkπxq kπ
1 0
´ 1 kπ
ż1
0
sinpkπxqdx
¸
“ ´ 2 kπ
„
´cospkπxq kπ
1 0
“ 2
k2π2pcospkπq ´1q “ 2
k2π2pp´1qk´1q
“
$
&
%
0 si k est pair,
´ 4
p2p`1q2π2 si k est impair et k “2p`1.
On rappelle queb0pfq “ 0 par définition. Pour toutk ě1, bkpfq “
ż1
´1
fpxqsinpkπxqdx“ ż1
´1
|x|sinpkπxqdx“0,
car on intègre une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à l’origine.
Au total, la série de Fourier de f est Spf, xq “ 1
2´
`8ÿ
p“0
4
p2p`1q2π2 cospp2p`1qπxq.
Pour déterminer l’ensemble des réels x tels que la série de Fourier Spf, xq converge, on va appliquer le théorème de Dirichlet. Notons tout d’abord que la fonction f est continue sur R, donc sur l’intervalle r´1,1s. Si l’on pose a0 “ ´1, a1 “ 0 et a2 “1, fpxq “ ´x sur sa0, a1r et fpxq “ x sur sa1, a2r. Il est donc immédiat que f est dérivable sur chacun de ces deux intervalles ouverts ; enfin, f1 étant constante sur ces mêmes intervalles, les limites à gauche et à droite de f1 existent. La fonction f est donc C1 par morceaux surr´1,1s: le théorème de Dirichlet entraîne alors queSpf, xqconverge vers fpxqen tout x oùf est continue, donc pour tout xP Rici. En particulier,
Spf, xq “ 1 2´ 4
π2
`8ÿ
p“0
cospp2p`1qπxq
p2p`1q2 “fpxq “ |x| @xP r´1,1s. (2)
3) Calculer la somme
`8
ÿ
k“0
1
p2k`1q2 et en déduire la valeur de la somme : S “
`8ÿ
n“1
1 n2.
Si l’on regarde ce que donne l’égalité (2) en x“0, on obtient 1
2 ´ 4 π2
`8
ÿ
p“0
1
p2p`1q2 “0, ce qui donne immédiatement
`8ÿ
p“0
1
p2p`1q2 “ π2 8 .
La série de terme général p1{n2qně1 est une série de Riemann convergente ; comme le terme général est positif, elle est absolument convergente, et donc sommable par paquets. En découpant la somme en deux paquets, l’un conte- nant les termes d’indice pair, l’autre, ceux d’indice impair, on obtient :
S “
`8ÿ
n“1
1 n2 “
`8ÿ
p“1
1 p2pq2 `
`8ÿ
p“0
1
p2p`1q2 “ 1 4
`8ÿ
p“1
1 p2 ` π2
8 “ 1
4S`π2 8 , ce qui conduit immédiatement à S “ π2
6 .
4) Appliquer l’égalité de Parseval pour calculer la somme
`8ÿ
k“0
1 p2k`1q4.
Pour pouvoir appliquer l’égalité de Parseval, on commence par vérifier quef est de carré intégrable sur un intervalle de longueur la période, donc ici, de longueur 2. Sur r´1,1s pfpxqq2 “ x2, qui est continue, donc intégrable, sur r´1,1s. Parseval s’applique :
1 2
ż1
´1
fpxq2dx“a0pfq2`1 2
`8
ÿ
k“1
pakpfq2`bkpfq2q.
En remplaçant les coefficients par leur expression, puis en calculant l’inté- grale, on obtient :
1 4` 1
2
˜ 16 π4
`8
ÿ
p“0
1 p2p`1q4
¸
“ 1 2
ż1
´1
x2dx“ ż1
0
x2dx“ 1 3, soit
`8ÿ
k“0
1
p2k`1q4 “ π4 8
ˆ1 3 ´1
4
˙
“ π4
8ˆ12 “ π4 96.
