U.F.R. de Mathématiques Parcours PEIP, 2015–16 Mathématiques pour les Sciences de l’Ingénieur
Fiche d’exercices no 2
Ex 1.
Soit f :RÑR, la fonction 2π-périodique vérifiant fpxq “ x pour toutxPs ´π, πs.
1) Dessiner la représentation graphique de f sur l’intervalle r´5π,5πs.
2) Déterminer la série de Fourier def. Pour quelles valeurs dexcette série converge- t-elle vers fpxq?
3) En déduire le calcul de la somme de la série alternée
S1 “
`8ÿ
j“0
p´1qj 2j`1. Ex 2.
Soit f :RÑR, la fonction 2π-périodique vérifiant fpxq “ x2 pour|x| ďπ.
1) Dessiner la représentation graphique de f sur l’intervalle r´5π,5πs.
2) Déterminer la série de Fourier def. Pour quelles valeurs dexcette série converge- t-elle vers fpxq?
3) En déduire la valeur des sommes de séries
`8ÿ
k“1
p´1qk`1 k2 ,
`8ÿ
k“1
1 k2.
Ex 3.
Soit f :RÑR, la fonction 2π-périodique et impaire vérifiant fpxq “xpπ´xqpour xP r0, πs.
1) Dessiner la représentation graphique de f sur l’intervalle r´5π,5πs.
2) Déterminer la série de Fourier def. Pour quelles valeurs dexcette série converge- t-elle vers fpxq?
3) Calculer la somme
`8ÿ
k“1
p´1qk´1 p2k´1q3.
4) Que donne l’identité de Parseval pour f?
5) Calculer la somme
`8ÿ
k“1
1
p2k´1q6 et en déduire la valeur de la somme :
S “
`8ÿ
n“1
1 n6.
Ex 4.
Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle
y2`y “ |cost| (1)
1) Résoudre l’équation différentielle homogène associée à (1).
On cherche maintenant une solution particulière de l’équation générale, ϕ, dévelop- pable en série de Fourier.
2) Développer tÞÑ |cost|en série de Fourier.
3) Siϕest une fonctionπ-périodique, de classeC2 surR, vérifiant l’équation diffé- rentielle (1), montrer que ses coefficients de Fourier sont donnés par
a0 “ 2
π, ak “ 4 π
p´1qk
p4k2´1q2 @kě1 et bk “0 @kě0.
Pour tout tě0 et tout ně1, on pose Snptq “ 2
π ` 4 π
n
ÿ
k“1
p´1qk
p4k2´1q2 cosp2ktq.
4) Montrer que la série trigonométrique pSnqnPN converge sur R vers une fonction S de classeC2 surR, solution de l’équation différentielle (1).
5) Donner les solutions de (1).
2
