U.F.R. de Mathématiques Parcours PEIP, 2015–16 Mathématiques pour les Sciences de l’Ingénieur
Fiche d’exercices no 4
Ex 1. M. Martin est-il un « bon risque » ?
Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1, R2 et R3 : les bons risques, les risques moyens et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totale pour la classe R1, 50% pour R2 et 30% pour R3. Les statistiques indiquent que les probabilités d’avoir un accident au cours de l’année pour une personne de l’une de ces trois classes sont respectivement de 0,05, 0,15 et 0,30.
1) Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l’année ?
2) Si M. Martin n’a pas eu d’accident cette année, quelle est la probabilité qu’il soit un bon risque ?
Ex 2. Alcootest
On s’intéresse à la fiabilité d’un alcootest pour automobilistes. Grâce à des études statistiques, sur un grand nombre d’automobilistes, on sait que 0,5% d’entre eux dé- passent la dose d’alcool autorisée. Aucun test n’est fiable a 100%. Pour celui que l’on considère, la probabilité que le test soit positif quand la dose d’alcool autorisée est dé- passée, et la probabilité que le test soit négatif quand elle ne l’est pas, valent toutes deux p“0,95.
1) Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ayant un test positif ait réellement dépassé la dose d’alcool autorisée ?
2) Quelle devrait être la valeur de ppour que cette probabilité soit de 95% ? 3) Un policier affirme : ce test est beaucoup plus fiable le samedi soir à la sortie des boites de nuit ! Sachant que la proportion d’automobilistes ayant trop bu est alors de 30%, déterminer s’il a raison.
Ex 3. De l’utilité du conditionnement
On dispose de trois urnes U1, U2, U3 contenant chacune des boules bleues et des boules jaunes. La composition respective des urnes est 6 bleues 3 jaunes pour U1, 7 bleues 4 jaunes pour U2 et 3 bleues 3 jaunes pour U3. On prélève au hasard une boule dans U1 et une boule dans U2. On les place dans U3 et on tire une boule dansU3. Quelle est la probabilité qu’elle soit bleue ?
Ex 4. Jour de chance
Un site de jeux propose le jeu suivant. Chaque internaute désireux de jouer s’inscrit en misant un euro et en indiquant son jour de naissance (lundi, mardi, . . .). Le jeu commence systématiquement un lundi et une fois par jour, les organisateurs filment et mettent en ligne un seul lancer d’un dééquilibré, jusqu’au jour de la première apparition du 6. Le jeu s’arrête alors et les candidats nés ce même jour de la semaine se partagent les mises1. Par exemple si la première apparition du 6 a lieu un jeudi, les gagnants sont tous les joueurs nés un jeudi.
1) Quelle est la probabilité qu’il n’y ait toujours aucun gagnant au bout de 10 semaines ?
2) Calculez la probabilité de gagner pour un joueur né un dimanche.
3) Le jeu est-il équitable (en admettant que les jours de naissance de l’ensemble des joueurs se répartissent uniformément sur les 7 jours de la semaine) ?
Ex 5. Tournoi triangulaire
Trois joueurs a, b, c décident d’organiser un tournoi triangulaire de ping-pong selon la règle suivante. Le premier match oppose a et b. Le perdant laisse la place à c pour le deuxième match. Si le gagnant du premier match remporte le deuxième, il a gagné le tournoi. Sinon le perdant du deuxième match laisse sa place et ainsi de suite ; le premier joueur qui réussit à remporter deux matchs consécutifs gagne le tournoi.
On propose la modélisation suivante : les évènements élémentaires sont représentés par desmots formés avec les lettresa,b,c. Par exemple, le motaareprésente l’évènement agagne les deux premiers matchs et donc le tournoi, le motbcabbreprésente l’évènement b gagne le premier match, c le deuxième, a le troisième, b les quatrième et cinquième.
Pour voir quels sont les motsmots admissibles, on pourra s’aider de l’arbre de la page 3.
On note e0 et e1 les deux mots infinis correspondant à un tournoi sans fin : e0 “acbacbacbacb . . . acb . . . .
e1 “bcabcabcabca . . . bca . . . .
Les autres mots sont de longueur finie et on les numérotera à l’aide de l’arbre :e2 “aa, e3 “bb,e4 “acc,e5 “bcc,e6 “acbb, e7 “bcaa, e8 “acbaa, etc.
On pose alors Ω “ te0, e1, e2, e3, . . .u. Pour définir une probabilité sur l’ensemble infini dénombrable Ω, on fera l’hypothèse suivante : pourk ě2, la probabilité de l’évè- nement élémentaireek vaut 2´`pkqoù`pkqest la longueur ( nombre de lettres) du mot ek. Ceci correspond à l’idée que lors de chaque match, la probabilité de victoire de chacun des deux adversaires reste égale à 1{2, quel que soit son parcours antérieur.
Pour éviter des écritures fastidieuses, on pourra utiliser des exposants pour représen- ter la répétition de certaines séquences de lettres. Par exemple :
acbacbacbacbaa“ pacbq4aa.
1. Le site étant financé par la publicité, les organisateurs n’effectuent pas de prélèvement sur les mises.
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b c
c a
a b
b Figure 1 – Arbre des résultats possibles
1) Décrire tous les évènements élémentaires qui composent l’évènement a gagne le tournoi.
2) Montrer que la probabilité de gagner le tournoi est 5{14 pour a, 5{14 pour b et 2{7 pour c.
3) En déduire la probabilité dete0, e1u. Interprétation ?
4) Quelle est la probabilité que le tournoi s’achève en exactement k matchs ? (On pourra examiner les trois cask “3n,k“3n`1 etk “3n`2). Quelle est la probabilité que le tournoi dure plus de k matchs ?
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