MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 21
Semaine du lundi 22 au vendredi 26 mars 2021
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 19 : calcul différentiel
Dans tout le chapitre :E etF sont deuxR-espaces vectoriels normés de dimension finie ; U est un ouvert deE;a est un point deU;f est une application deU dansF.
1. Applications différentiables.
1.1 Différentielle
Définition : différentiabilité de f ena; différentielledfa def ena.
Exemple : différentielle de l’application M 7→M2, deMn(R)dansMn(R).
Remarque : la différentiabilité implique la continuité.
Proposition : pour les fonctions d’une variable réelle, lien entre différentielle et dérivée.
1.2 Dérivée selon un vecteur
Définition : dérivée selon un vecteur en un point.
Théorème : la différentiabilité implique la dérivabilité selon tout vecteur (+ formule). Réciproque fausse.
1.3 Dérivées partielles
On fixe désormais une base deE.
Définition : dérivées partielles en un point (selon une base).
Théorème : la différentiabilité en un point implique l’existence des dérivées partielles (+ formule).
Théorème : expression de la différentielle à l’aide des dérivées partielles (sous hypothèses).
1.4 Matrice jacobienne, jacobien
On fixe une base deF. L’applicationf est désormais supposée de classeC1.
Définition : matrice jacobienne et jacobien def, relativement à des bases deE et F.
2. Opérations sur les applications différentiables.
2.1 Outils : continuité d’applications linéaires ou bilinéaires Rappelons deux lemmes, déjà énoncés et démontrés au chapitre 4.
Lemme 1 : continuité des applications linéaires ; cas particulier où la source est de dimension finie.
Lemme 2 : continuité des applications bilinéaires ; cas particulier où la source est de dimension finie.
2.2 Combinaison linéaire, composition par une application bilinéaire
Théorème : l’ensemble des applications différentiables est un EV, et la différentielle est linéaire ; si f et g sont différentiables etB bilinéaire, alorsB(f, g)est différentiable (concordance espaces. . . ), plus formule.
2.3 Composition d’applications différentiables
Théorème : toute composée d’applications différentiables est différentiable, plus formule.
Théorème : interprétation métricielle et « règle de la chaîne ».
Exemple : dérivées partielles en coordonnées polaires.
Proposition : dérivée le long d’un arc.
3. Applications de classe C1.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/3 14 mars 2021
MP 2020-21
3.1 Définition et premières propriétés Définition : application de classe C1.
Théorème (ADMIS) : une application est de classe C1 ssi elle admet des dérivées partielles (dans une base) et ses dérivées partielles sont continues.
Remarque : une fonction peut être différentiable sans que ses dérivées partielles (ou sa différentielle) soient continues.
Proposition : différentielle d’une application linéaire.
3.2 Opérations sur les applications de classe C1
Proposition : combinaison linéaire, composition par une application bilinéaire, d’applications de classeC1. 3.3 Circulation d’une forme différentielle sur un arc paramétré
Définitions : forme différentielle (resp. de classe Ck), champ de vecteurs, intégrale curviligne (ou circulation).
Remarque : indépendance de la définition d’une intégrale curviligne par rapport au paramétrage de l’arc.
Méthde de calcul d’une intégrale curviligne, et exemple détaillé.
Théorème : l’intégrale curviligne dedf sur un arc ne dépend que des extrémités de l’arc.
Corollaire : caractérisation des fonctions différentiables constantes sur un ouvert connexe par arcs par l’annulation de la différentielle.
Remarques : sur un ouvert !
4. Cas particulier des fonctions numériques.
4.1 Algèbre C1(U) Définition : algèbreC1(U).
4.2 Gradient d’une fonction de U dans R Définition : gradient def ena.
Remarque : expression en coordonnées cartésiennes.
Proposition : dérivées partielles en coordonnées polaires.
Proposition : gradient en coordonnées polaires.
4.3 Extrema
Définitions : maximum/minimum/extremum, local ou global.
Théorème : si une fonction de classeC1sur un ouvert présente un extremum local en un point, alors la différentielle de la fonction en ce point est nulle.
Remarque : réciproque fausse, contre-exemple.
Définition : point critique.
Remarque : bien vérifier que U est ouvert ! Contre-exemple.
Méthode de recherche des extrema d’une fonction de plusieurs variables : déterminer l’éventuel signe def(a+ h)−f(a), pour apoint critique ethtendant vers0E.
Exemple détailé.
Attention : la méthode de la hessienne est désormais hors-programme.
5. Dérivées partielles d’ordre supérieur.
5.1 Théorème de Schwarz
Définition : dérivées partielles secondes.
Théorème de Schwarz (ADMIS) : en tout point où les dérivées partielles secondes ∂f
∂xi∂xj et ∂f
∂xj∂xi sont continues, elles prennent la même valeur.
5.2 Algèbre Ck(U)
Définition : fonctions de classeCk, de classeC∞.
Proposition :Ck(U, F)est un espace vectoriel etCk(U,R)est une algèbre.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/3 14 mars 2021
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5.3 Exemple d’équations aux dérivées partielles
Remarque : si un changement de variable est suggéré, suivre l’indication ! Sinon, et si aucune méthode de résolution évidente ne saute aux yeux, alors on passe aux coordonnées polaires.
Exemple 1 : résolution de ∂2f
∂x∂y = 0.
Exemple 2 : résolution de l’équation des cordes vibrantes ∂2z
∂x2(x, t)− 1 c2
∂2z
∂x2 = 0.
6. Tangentes aux courbes, plans tangents aux surfaces :
6.1 Tangente à une courbe plane définie par une équation impliciteF(x, y) = 0 Définitions : équation impliciteF(x, y) = 0.
Proposition : pour une courbe plane de classeC1, la vitesse est orthogonale au gradient.
Définitions : point régulier ; plan tangent.
Proposition : pour une courbe plane définie par F(x, y) = 0, équation de la tangente en un point.
Exemple.
6.2 Plan tangent à une surface paramétrée, définie par x(u, v),y(u, v),z(u, v) Définitions : nappe paramétrée, support ou surface paramétrée.
Définitions : point régulier, plan tangent en un point régulier.
Exemple : (construction du tore puis) plan tangent au tore.
6.3 Surface définie par une équation implicite F(x, y, z) = 0 Définition d’une surface par une équation impliciteF(x, y, z) = 0.
Existence (ADMISE) d’un paramétrage de classeC1.
Proposition : pour une surface de classeC1, la vitesse est orthogonale au gradient.
Définition : point régulier.
Proposition : pour une surface définie par F(x, y, z) = 0, équation du plan tangent en un point.
Équation du plan tangent en un point.
Exemple détaillé.
C’est la dernière semaine de colles, merci à tous pour votre participation !
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/3 14 mars 2021
