Annexes
Annexe B Rappels sur l'observabilité
B.1 Observabilité des systèmes linéaire
Soit un système dynamique décrit par l'équation d'état déterministe suivante:
{
x´(t)=y=CxAx(t)+(tBu) (t) (B.1)Ou' les vecteurs x(t)∈Rn , u(t)∈Rm et y(t)∈Rp représentent respectivement l'état, la commande et la sortie du système. Les matrices A , B et C sont des matrices constantes de dimension appropriées. L'observabilité du système linéaire (B.1) est garantie si et seulement si:
rang
( [
C AC ACAC⋮n−12] )
=n (B.2)Le système (B.1)est observable, si la rang de la matrice d'observabilité est égal à la dimension de ce système. Dans le cas ou' le rang est inferieur à n on parle alors, l'observabilité partielle.
B.2 L'observabilité des systèmes non linéaires
Quelque définitions liées à l'observabilité des systèmes non linéaires sont rapportées dans [15].
B.2.1 Observabilité au sens du rang
Considérons le système non linéaire donné par:
{
x´=fy=h((x)+gx)(x)u (B.3)Ou' les vecteurs x(t)∈Rn , u(t)∈Rm sont respectivement le vecteur d'état et de commande du système.
On dit que la paire (f , h) est observable au sens de rang si la condition donnée par (B.4) est satisfaite.
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Annexes
rang(O)=rang
(
d Ld Ldhfn−1...fhh)
=n (B.4)où d Lfh désigne la dérivée de Lie de h dans la direction de f . L'écriture de d Lfkh est donnée par le co-vecteur:
d Lfkh =( ∂ Lkf
h
∂ x1 ,∂ Lfk
h
∂ x2 , …,∂ Lfk
h
∂ xn ¿ (B.5)
Exemple B.1 Soit le système non linéaire :
{
x´1=x221´xy=+2=expxx211(
x2)
+x2) B.6
(
Dans ce système, h=[x1,0] et dh=[1,0] . Appliquons la condition du rang d'observabilité donnée en (B.4
(
O=
(
d Ldhfh)
=(
x1 exp1 0(
x2)
+1)
) B.7
(
Alors rang(O)=2=n . Le système est donc localement faiblement observable
.
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