Théorie quantique des champs

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Théorie quantique des champs

Felix Brümmer

To cite this version:

Formulaire : Theorie quantique des champs

F. Brummer

Faculte des sciences, Universite de Montpellier

2015-19

Table des matieres

1 Introduction 4

1.1 A propos de ces notes . . . 4

1.2 Quelques remarques introductoires . . . 4

2 Theorie relativiste des champs classiques 6 2.1 Rappel de la relativite restreinte . . . 6

2.2 Le champ scalaire classique . . . 7

2.3 Le theoreme de Noether . . . 9

3 La quantication canonique du champ scalaire libre 12 3.1 Le developpement des champs en modes de Fourier . . . 12

3.2 Les relations de commutation canoniques . . . 14

3.3 L'espace de Fock . . . 15

3.4 Propagateurs . . . 16

4 Interactions 19 4.1 La theorie libre vs. la theorie avec interactions . . . 19

4.2 La formule de reduction de LSZ . . . 20

5 La quantication par l'integrale de chemin 24 5.1 Les integrales de chemin en mecanique quantique . . . 24

5.2 Fonctionnelle generatrice . . . 28

5.3 Les integrales de chemin en theorie quantique des champs . . . 28

6 La theorie des perturbations et les diagrammes de Feynman 33 6.1 Les diagrammes de Feynman . . . 33

6.2 Les regles de Feynman pour la theorie 4 _{. . . . 36}

6.3 Un premier regard a la renormalisation . . . 39

7 Sections ecaces et taux de desintegration 46 7.1 La diusion : les processus 2 ! 2 et 2 ! n . . . 46

7.2 La desintegration : les processus 1 ! n . . . 49

8 Fermions 50 8.1 Le groupe et l'algebre de Lorentz . . . 50

8.2 Le champ de Dirac . . . 51

8.3 La quantication canonique du champ de Dirac libre . . . 54

8.4 Les integrales de chemin pour les fermions . . . 58

8.5 La theorie de Yukawa . . . 59

9 L'electrodynamique quantique 62 9.1 La quantication du champ electromagnetique . . . 62

9.2 L'electrodynamique quantique . . . 65

9.3 Processus elementaires au niveau des arbres . . . 66

A Annexe mathematique 81 A.1 Le theoreme des residus . . . 81 A.2 Quelques proprietes de la fonction Gamma . . . 82 A.3 Calcul fonctionnel . . . 83

Chapitre 1

Introduction

1.1 A propos de ces notes

Ce formulaire accompagne le cours HMPH316 \Theorie quantique des champs" de la deuxieme annee du master \Cosmos, champs et particules" a la faculte des sciences de l'Universite de Mont-pellier. En ce moment il contient surtout les formules et tres peu d'explications. De plus, il contient sans doute toujours des erreurs typographiques et manque des signes perdus | merci de me le signaler si vous trouvez l'un ou l'autre (felix.bruemmer@umontpellier.fr).

Les prerequis pour ce cours sont des connaissances au niveau de la licence et du M1 en physique theorique : Mecanique analytique, theorie des champs classiques (electrodynamique), relativite restreinte, mecanique quantique avancee, introduction a la physique theorique des particules. C^ote mathematique, des connaissances elementaires de l'analyse complexe et de l'analyse fonctionnelle seront utiles.

Litterature et sources pour ce texte et le cours :

 M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books 1995.

 M. Srednicki, Quantum Field Theory, Cambridge Univ. Pr. 2007.  P. Ramond, Field Theory : A Modern Primer (2nd ed.), Westview 2001.  A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton Univ. Pr. 2003.

 M. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model, Cambridge Univ. Pr. 2014.  S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields vols. I, II, Cambridge Univ. Pr. 2000.

 Notes de cours en ligne par M. Gaberdiel (Zurich), M. G. Schmidt (Heidelberg), D. Tong (Cambridge), T. Weigand (Heidelberg).

1.2 Quelques remarques introductoires



A quoi sert la TQC ?

Problemes de la mecanique quantique : Inheremment non-relativiste (eq. de Schrodinger n'est pas invariant par Lorentz, le temps joue un r^ole special). Nombre de particules xe, impossible de decrire diusion inelastique et desintegration. Solution : TQC.

Domaines d'application :

 physique des particules elementaires a hautes energies  physique nucleaire et hadronique

 physique statistique (pas forcement TQC relativiste)  matiere condensee (TQC non relativiste)

Apercu du cours :

 Observables (en physique des particules a hautes energies) : sections ecaces de diusion, taux de desintegration.

 Donnees par les elements de la matrice S aux facteurs cinematiques pres.

 Matrice S = operateur unitaire dont les elements de matrice sont les amplitudes de transition entre un etat \incident" a t ! 1 et un etat \emergent" a t ! +1.

 Elements de la matrice S = residus des fonctions de correlation en ordre chronologique sur couche de masse transformees par Fourier, d'apres la formule de reduction de LSZ.

 Partie majeure de ce cours : Calcul des fonctions de correlation.

 Outil principal : l'integrale de chemin de Feynman evaluee en theorie des perturbations.  Aux ordres superieures en theorie des perturbations, resultats souvent donnes par des

integrales impropres divergentes. Necessite de regulariser et renormaliser la theorie an d'en obtenir des reponses nies.

Chapitre 2

Theorie relativiste des champs

classiques

2.1 Rappel de la relativite restreinte

Metrique de Minkowski en signature (+ ) : g = (g) = 0 B B @ +1 1 1 1 1 C C A (2.1)

g _{= metrique inverse, m^emes coecients car}

(gg) = 0 B B @ +1 1 1 1 1 C C A 0 B B @ +1 1 1 1 1 C C A = 1 : (2.2) Ici et partout : convention de sommation,

ab = gab = gab 3

X

=0

ab: (2.3)

Transformations de Lorentz propres orthochrones  2 SO"_{(3; 1) :}

T_{g = g ; det  = +1 (propre), }0

0> 0 (orthochrone) . (2.4)

Les coordonnees d'espace-tems

x = (x_{) =} t

~x 

(convention : c = 1) (2.5) se transforment comme un vecteur de Lorentz :

x ! x : (2.6)

Derivees par rapport a x :

@_@x@_ =  @ @t; ~r  (2.7) @_{ g}_@  =  _@ @t ~r  (2.8)   @@= @ 2 @t2
: (2.9)

2.2 Le champ scalaire classique

L'equation de Schrodinger (convention : ~ = 1)

i_@t@j i = Hj i (2.10)

n'est pas invariant par les transformations de Lorentz : lineaire en temps mais quadratique en espace, p.ex. pour une particle libre sans spin : H = p2

2m = 2m
. Mecanique quantique : temps

= parametre du systeme, pas un operateur ; espace = (valeur propre de l')operateur de position. TQC : espace devient un parametre egalement.

Representation de Heisenberg : operateurs en mecanique quantique dependent du temps. Operateurs en TQC dependent du temps et de l'espace de facon covariante : (t) ! (t; ~x). Les etats (= vecteurs de l'espace de Hilbert) sont independants de l'espace-temps (contrairement a la representation de Schrodinger).

Ces champs quantiques seront ulterieurement a valeur operateur. Mais dans ce chap^tre on va d'abord considerer des champs classiques : fonctions de l'espace-temps a valeur reelle ou complexe. Quantite fondamentale : action S.

Trois postulats : S est une fonctionnelle1

1. reelle (observables = reelles ; en MQ lie a la conservation de probabilite), 2. invariante par les transformations de Lorentz (theorie relativiste), 3. locale (structure causale)

sur l'espace des champs i.

Localite :

S[i] =

Z

d4_{x L(}

i(x); @i(x); : : :) (2.11)

ou la fonction L (densite lagrangienne, \lagrangien") depend des champs et de leurs derivees a un seul point x de l'espace-temps. Cf. formalisme lagrangien de la mecanique classique,

S[qi] =

Z

dt L(qi(t); _qi(t); : : :) (2.12)

Invariance : Postulat 2. ) L est une fonction scalaire, L0_{= L, puisque}

S ! S0₌Z _d4_{x det  L}0 !_{= S (2.13)}

avec det  = 1.

Principe fondamental : principe de moindre action.

Chemin classique (dans l'espace de conguration des champs) $ action stationnaire, S

i = 0 : (2.14)

Cf. les trajectoires classiques en mecanique veriant S qi = 0.

On a S[i+
i] = S[i] +_S i

i+ O jj
ijj 2
= S[i] + Z d4_x @L @i
i+ @L @(@i)@
i+ @L @(@@i)@@
i+ : : :  + O jj
ijj2
= S[i] + Z d4_x @L @i @ @L @(@i)+ @@ @L @(@@i) : : : 
i + O jj
ijj2
: (2.15)

Troisieme egalite ( integrations par parties,
i et toutes ses derivees supposees de s'annuller a

l'inni.

Alors d'apres Eq. (2.14) @L @i @ @L @(@i)+ @@ @L @(@@i) : : : = 0 (2.16) (equations de mouvement). Quatrieme postulat :

4. L'action est telle que les equations de mouvement sont au maximum de second ordre , L peut dependre de @i (au maximum quadratiquement) ou de @@i (au maximum

lineairement), mais pas des derivees superieures. (Cf. mecanique : ~F = m ~x.) Un terme qui depend de @@i lineairement peut toujours ^etre ecrit comme

f(j)@@i= @  f(j)@i  | {z } derivee totale @f @j (@j) (@i) (2.17)

On regarde seulement des congurations ou tous les champs et toutes ses derivees s'annulent a l'inni ) on peut supprimer les derivees totales dans L car

Z

R4@F(i; @i; : : :) =

Z

@R4F(i; @i; : : :) = 0 (2.18)

pour une fonction F quelconque. On deduit alors du postulat 4. et de (2.17) : Sans perte de generalite, on peut supposer que L ne depend que de i et de @i(et de ce dernier au maximum

quadratiquement).

Les e.d.m. deviennent les equations d'Euler-Lagrange, @L

@i @

@L

@(@i) = 0 : (2.19)

Cf. equations d'E-L en mecanique,

@L @qi d dt @L @ _qi = 0 : (2.20)

Exemple : Le champ scalaire reel

Un seul champ (x) a valeurs reelles qui se transforme comme (x) ! ( 1_{x). Le lagrangien}

est

 Le terme cinetique 1

2@@ : le terme le plus simple permis par l'invariance de Lorentz

qui implique des derivees. Coecient 1

2 choisi par convention (normalisation du champ).

Implication : dimension [] = 1.2

 La densite d'energie potentielle V() = une fonction quelconque ; developpement limite en 0 :

V() = V0+ M3 +1₂m22+1₆3+_4!14+ : : : (2.22)

La constante V0 ne joue pas dans les equations de mouvement. Le terme lineaire peut ^etre

absorbe par une redenition du champ  !  cte. et des autres coecients. Alors, sans perte de generalite, les premiers termes dans V sont

V() =1₂m22₊1

63+ 1

4!4: (2.23)

On pourrait ajouter des termes de dimension > 4 a L comme @@, 2@@,. . . , 5, 6; : : :

etc. (avec des coecients de dimension < 0). En physique quantique, un tel terme representera une interaction non renormalisable ! il y a des bonnes raisons de les supprimer comme on verra plus tard.

 Equation de mouvement pour le cas special  = 0,  = 0,

L = 1₂@@ 1₂m22 (2.24)

(\champ libre") : Equation de Klein-Gordon,

 + m2
_{= 0 : (2.25)}

Solution : superpositions des ondes planes (x) =X

p

a(p) eipx; p2= m2: (2.26)

Interpretation de m2_{: p= quadri-impulsion, alors p}2_{= E}2 _~p2_{= m}2_{, alors m}2_{= (masse)}2_.

 Equation de mouvement en cas general :

 + m2
₌ 

22 

63: (2.27)

Interpretation de  et  : termes non-lineaires dans l'equation de mouvement = termes d'interaction. Si  6= 0 et/ou  6= 0 : plus de solution exacte, plus de principe de superposition, self-interaction, diusion.

2.3 Le theoreme de Noether

On considere une transformation continue dependant d'un parametre reel  :

i(x) ! 0i(x) = i(x) + 
i(x) + O(jj2) (2.28)

Si l'action reste inchangee,

S[i] = S[0i] (2.29)

2. Avec ~ = c = 1 il n'y a qu'une seule unite, celle de la masse : [masse] = [energie] = [impulsion] = [temps 1_]

= [distance 1_{]. L'action est sans dimension, le lagrangien est de dimension [masse]}4 _{(ou 4 en bref), donc [] = 1}

la transformation est une symetrie de la theorie. S inchangee , L change au maximum par une derivee totale. Au premier ordre :

L ! L + @J^(x) = L + _@@L i(
i) + @L @(@i)@(
i) = L +  @  @L @(@i)
i  +   @L @i @ @L @(@i)  | {z } =0
i (2.30)

En comparant la premiere et la derniere ligne : @J^= @  @L @(@i)
i  (2.31) et alors @J(x) = 0 (2.32) avec J₌ @L @(@i)
i ^ J_{: (2.33)}

On a etabli le theoreme de Noether : (symetrie i ! 0i) ) ( 9 courant conserve J(x)) .

Consequence d'un courant (ou plus precisement : densite de courant) satisfaisant l'equation de continuite @J= 0 : l'existence d'une charge conservee Q car pour J= (;~|)

0 = @J= _ ~r
~| (2.34)

alors en integrant sur l'espace, d dt Z espace | {z } Q = Z espace~r
~| = Z inni spatial~|
d~S = 0 : (2.35)

Exemple : Champ scalaire libre sans masse L = 1

2@@ (2.36)

Symetrie : (x) ! 0_{(x) = (x) +}

Variation du lagrangien nulle, L ! L, alors ^J_{= 0}

Courant conserve :
 = 1 alors J_{(x) = @}_(x)

Ici : conservation du courant , eq. de mouvement  = 0.

Exemple plus interessant : symetrie de translation  symetrie de Poincare

Symetrie d'espace-temps x _{! x} _a_{(quatre parametres = composantes de a}_{). Pour un champ}

scalaire,

(x) ! (x + a) = (x) + (@)a+ O(jjajj2): (2.37)

Transformation du lagrangien au premier ordre :

L ! L + (@L)a= L + a@(_{| {z }}L) ^ J

Un courant conserve par translation independante, groupes dans un tenseur T  : @L @(@)@ ^ J  =_@(@@L )@   L  T (2.39)

alors les equations de conservation sont

@T = 0 : (2.40) On appelle T  le tenseur d'energie-impulsion. Charges conservees : _Z d3_{x T}00_{ H (hamiltonien) ; (2.41)} Z d3_{x T}0i_{ P}i_{; i = 1; 2; 3 (impulsions) : (2.42)}

Chapitre 3

La quantication canonique du

champ scalaire libre

3.1 Le developpement des champs en modes de Fourier

On considere un champ scalaire reel libre,

L = 1₂@@ 1₂m22: (3.1)

Apres une transformation de Fourier (t; x) =

Z _d3k

(2)3ei~k
~x~(t;~k) (3.2)

l'equation de Klein-Gordon ( + m2_{) = 0 devient}

 @2

@t2+ (j~kj2+ m2)



~ = 0 : (3.3)

Oscillateur harmonique avec frequence !_~k=qj~kj2_{+ m}2_{(racine positive).}

Rappel : en mecanique quantique, hamiltonien de l'oscillateur harmonique H = 1₂p2₊!2

2 q2 (3.4)

diagonalise par une transformation canonique, q = p1

2!(a + ay) ; p = i r

!

2(a ay) (3.5)

ou [q; p] = i, alors [a; ay_{] = 1, alors}

H = !  ay_{a +}1 2  (3.6) avec les etats propres

jni / (ay₎n_{j0i : (3.7)}

Pour quantier le champ scalaire, on denit le moment conjugue (t; ~x) de (t; ~x) (aucune relation avec le nombre )

(t; ~x) = @L

Pour un champ scalaire reel libre, eq. (3.1) donne

(t; ~x) = _(t; ~x) : (3.9)

De plus, la densite hamiltonienne H est H =  _ L = 1 22+ 1 2(r)2+ 1 2m22; H = Z d3_{x H : (3.10)} Cf. mecanique, p = @L @ _q et H = p _q L.

On denit des coecients de Fourier a et b par (t; ~x) =

Z _d3k f(j~kj)



a(~k)e i(!~kt ~k
~x)+ b(~k)ei(!~kt+~k
~x)



(3.11) (cf. eq. (3.5) en MQ), ou f(j~kj) = une fonction quelconque (redondante, pourrait ^etre absorbee dans la denition de a et b), a specier plus tard.

En tant que champ reel,  satisfait l'equation  = ₌ Z d3k

f(j~kj) 

a_(~k)ei(!~kt ~k
~x)+ b(~k)e i(!~kt+~k
~x)

 =

Z _d3k f(j~kj)



a_{( ~k)e}i(!~kt+~k
~x)+ b( ~k)e i(!~kt ~k
~x)

 (3.12)

En comparant avec eq. (3.11) :

b_{( ~k) = a(~k) (3.13)} donc (t; ~x) = Z _d3k f(j~kj) 

a(~k)e i(!~kt ~k
~x)+ a( ~k)ei(!~kt+~k
~x)

 =

Z _d3k f(j~kj)



a(~k)e i(!~kt ~k
~x)+ a(~k)ei(!~kt ~k
~x)



=

Z _d3k f(j~kj)



a(~k)e ikx_{+ a}_(~k)eikx

k0_=!~ k

(3.14)

avec kx  kx. On choisit f(j~kj) tel que _f(j~kj)d3k est invariant par des transformations de Lorentz

propres orthochrones : d4_{k (k}2 _m2_)(k0_{) manifestement invariant ;} Z ₁ 1dk 0_(k2 _m2 | {z } (k0₎2 _!2 ~k )(k0_{) =} 1 2!_~k car (g(x)) = X fy j g(y)=0g 1 jg0_(y)j(x y) : Ainsi, si f(j~kj) / !_~k, alors d3_k

f(j~kj) est invariant. Convention :

f(j~kj) = (2)3_2! ~k: (3.15) Notation : f dk  d3k (2)3_2!

~k mesure d'integration invariante : (3.16)

En resume :

(x) = Z

f

ou k0_{= !} ~k= + q j~kj2_{+ m}2_. On montre (! exercices) a(~k) = i Z d3_xeikx $_@ 0(x) ; ou f $@ g  f(@g) (@f)g : (3.18)

Pour le moment conjugue on trouve l'expression (t; ~x) = _(t; ~x) =

Z f

dk( i!_~k)a(~k)e ikx _a_(~k)eikx_{: (3.19)}

3.2 Les relations de commutation canoniques

Quantication : champs ! operateurs, relations canoniques de commutation a temps egaux [(t; ~x); (t; ~x0_{)] = 0 ;}

[(t; ~x); (t; ~x0_{)] = 0 ;}

[(t; ~x); (t; ~x0_{)] = i}(3)_{(~x ~x}0_{) :}

(3.20) Cf. mecanique quantique, [qi; qj] = [pi; pj] = 0 et [qi; pj] = iij.

Equivalent a eq. (3.20) (! exercice) :

[a(~k); ay_(~k0_{)] = 2!}

~k(2)3(3)(~k ~k0) : (3.21)

(Operateurs ! conjugue complexe a _{remplace par conjugue hermitien a}y_.)

Quantication canonique du champ scalaire reel libre. Ensuite on va montrer H = Z f dk !_~kay_{(~k)a(~k) + E} 0 (3.22)

avec E0 une constante (comparaison : en mecanique quantique, pour un ensemble d'oscillateurs,

H =P_i!i(ayiai+12)). Densite hamiltonienne : H =1₂2₊1 2(r)2+ 1 2m22 =1₂ Z f

dk fdk0 _!~k!~k0_a(~k)e ikx _ay_(~k)eikx _a(~k0_)e ik0_x

ay_(~k0_)eik0_x

+1₂ Z

f

dk fdk0 ~k
~k0_a(~k)e ikx _ay_(~k)eikx _a(~k0_)e ik0_x

ay_(~k0_)eik0_x

+m₂2 Z

f

dk fdk0_a(~k)e ikx_{+ a}y_(~k)eikx _a(~k0_)e ik0_x

+ ay_(~k0_)eik0_x

:

Hamiltonien, en utilisantR d3_{x e}i~q
~x_{= (2)}3_(3)_{(~q) et avec !  !} ~k et !0 !~k0 : H = Z d3_{x H} = 1₂ Z f dk fdk0 _(3)_{(~k ~k}0₎_!!0_{+ ~k
~k}0_{+ m}2  ay_(~k)a(~k0_)e i(! !0_)t + a(~k)ay_(~k0_)ei(! !0_)t + (3)_{(~k + ~k}0₎ _!!0 _~k
~k0_{+ m}2  a(~k)a(~k0_)ei(!+!0_)t + ay_(~k)ay_(~k0_)e i(!+!0_)t! = 1 2 Z f dk 1 2!  !2_{+ ~k}2_{+ m}2 | {z } 2!2  ay_{(~k)a(~k) + a(~k)a}y_(~k) +1₂ Z f dk_2!1  !2_{+ ~k}2_{+ m}2 | {z } 0 

a(~k)a( ~k)e2i!t_{+ a}y_(~k)ay_{( ~k)e} 2i!t

= 1₂ Z

f

dk !ay_{(~k)a(~k) + a(~k)a}y_(~k)_:

(3.24)

On peut echanger l'ordre des a et ay _{en prenant compte des relations de commutation eq. (3.21) :}

H = Z f dk ! ay_{(~k)a(~k) +}Z _{fdk !}2_(2)3_(3)₍₀₎ | {z } E0 : (3.25)

E0 diverge : somme sur toutes les energies du point zero d'un inni d'oscillateurs.

3.3 L'espace de Fock

Espace de Hilbert sur lequel ces operateurs agissent : espace de Fock.  h jH E0j i  0 pour tous les etats j i

car h jH E0j i =R fdk !~kjja(~k)j ijj2 manifestement deni positif

 9 un etat j0i (le vide) tel que a(~q)j0i = 0 8 ~q

car sinon : soit un etat propre de H avec energie E, Hj i = Ej i ; par application repetee des a, on pourrait abaisser l'energie a volonte et nalement arriver aux valeurs negatives,

Ha(~q)j i = Z f dk !_~kay_{(~k)a(~k)a(~q)j i + E} 0a(~q)j i = a(~q)Hj i + Z f dk !_~k [ay_{(~k); a(~q)]} | {z } 2!~k(2)3(3)(~k ~q) a(~k)j i = (E !~q)a(~q)j i

 On appelle E0 lenergie du vide : constante divergente. L'ajout d'une constante a H ne

change pas les observables ! redenir H pour y absorber E0.

Origine :

1. energie calculee dans un volume inni, Z R3d 3_{x e}i~p
~x_{= (2)}3_(3)_{(~p) ) \V} R3" = Z d3_{x = (2)}3_(3)₍₀₎

Divergence infrarouge (on prend la somme sur des longueurs d'onde sans limite superieure). Quantite nie en IR : densite d'energie du vide, 0= _VE_R30.

2. 0diverge toujours dans l'ultraviolet :

0= 1₂ Z _d3k (2)3 q j~kj2_{+ m}2₌ 1 162 Z ₁ 0 dj~kj j~kj 2q_j~kj2_{+ m}2

Interpretation physique : on prend la somme sur des longueurs d'onde inniment courts. A tres courtes distances, la theorie devrait ^etre remplace par une theorie plus fondamentale. En particulier : energie du vide pas observable en TQC, mais impor-tant pour la gravite ) au-dessous de l'echelle de longueur de la gravite quantique `Planck=

q

~G

c3  10 35 m, besoin d'une structure qui remplace la TQC.

 Interpretation des operateurs de champ :

 l'action ay_{(~k) sur le vide cree un etat propre de l'hamiltonien avec impulsion ~k,}

jki = ay_{(~k)j0i (3.26)}

Operateur de creation. jki = \etat a une particule" avec impulsion bien denie (mais position maximalement incertaine)

 a(~k)j0i = 0 8 ~k, et

a(~k)jki / j0i (3.27)

Operateur d'annihilation.

 Spectre de l'hamiltonien libre = fetats a n particulesg, obtenus par l'action successive des ay _{sur le vide.}

 Normalisation :

hkjk0_{i = h0j a(~k)a}y_(~k0₎

| {z }

[a(~k);ay_(~k0_)]+ay_(~k0_)a(~k)

j0i = h0j(2)3_2!

~k(3)(~k ~k0)j0i + h0jay(~k0) a(~k)j0i_{| {z }} 0

= (2)3_2!(3)_{(~k ~k}0₎

(3.28)

 (x) cree particule localisee a x, jxi = (x)j0i (mais impulsion maximalement incer-taine)

 hpjxi = eipx

 hxjx0_{i = amplitude de probabilite pour l'evolution de jx}0_{i a hxj. Voir section suivante.}

3.4 Propagateurs

Causalite

dk fdk0_h0j_a(~k)e ikx_{+ a}y_(~k)eikx _a(~k0_)e ik0_y

+ ay_(~k0_)eik0_y

j0i =

Z f

dk fdk0_h0je ikx _a(~k)ay_(~k0₎

| {z } ay_(~k0_{)a(~k) [a}y_(~k0_);a(~k)] eiky_j0i = Z f dk e ik(x y)_: (3.29)

Violation de causalite ? Non car quantite importante pour les mesurements = commutateur. Or [(x); (y)] = h0j[(x); (y)]j0i = D(x y) D(y x)

= 0 si (x y)2_{< 0 (! exercice).} (3.30)

Probabilite de propager de x a y s'annulle avec probabilite de propager de y a x, si la distance entre x et y est du genre espace.

Generalisation pour le champ scalaire complexe :

[(x); y_{(y)] = 0 si (x y)}2_{< 0 : (3.31)}

Probabilite d'un particule  de propager de x a y s'annulle avec probabilite d'un antiparticule y

de propager de y a x.

Propagateur de Feynman

On denit

DF(x y)  h0j T (x)(y)j0i (3.32)

(propagateur de Feynman), avec

T ((x)(y))  

(x)(y) x0_{ y}0

(y)(x) y0_{ x}0 (3.33)

(produit des operateurs en ordre chronologique, indique par le symbole T ; se generalise de facon evidente aux produits de multiples operateurs). Explicitement :

DF(x y) = (x0 y0)D(x y) + (y0 x0)D(y x)

= (x0 _y0₎Z _{fdk e} ik(x y)_{+ (y}0 _x0₎Z _{fdk e}ik(x y)

= Z _d3k (2)3 1 2!ei~k
(~x ~y)  (x0 _y0_)e i!(x0 _y0₎ + (y0 _x0_)ei!(x0 _y0₎ : (3.34)

On souhaite reecrire cette quantite de maniere manifestement covariante. On note d'abord que (x0 _y0₎ 1 2!e i!(x 0 _y0₎ = (x0 _y0₎ 1 2i I C dk 0 e ik 0_(x0 _y0₎ (k0 _!)(k0_{+ !)} (3.35)

ou la courbe C est denie par

−ω +ω

Imk0

Rek0

C_

Explication : Voir annexe A pour un rappel du calcul des integrales avec le theoreme des residus. Au membre droite de (3.35), x0 _y0_{est positif grace a la fonction , alors l'integrande decro^t de}

dans le demi-plan complexe inferieur sans que l'arc a jk0_{j ! 1 contribue a l'integrale. Le long}

de l'axe reelle on a choisi la courbe d'integration de la sorte qu'elle contourne le p^ole a k0 _{= !}

par dessous, et qu'elle inclut le p^ole a k0 _{= +!. Le residu de la fonction f(k}0_{) =} e ik0(x0 y0) (k0 _!)(k0_+!) a

k0_{= +! est}

res (f; !) = e i!(x

0 _y0₎

2! ; (3.36)

et (3.35) resulte du theoreme des residus. De m^eme, (y0 _x0₎ 1 2!ei!(x 0 _y0₎ = (y0 _x0₎ 1 2i I C+ dk0 e ik 0_(x0 _y0₎ (k0 _!)(k0_{+ !)}: (3.37)

M^eme raisonnement mais maintenant la courbe C+ doit ^etre fermee dans le demi-plan superieur

puisque x0 _y0 _{est negatif, donc l'integrande decroit exponentiellement pour Im k}0_{> 0.}

−ω +ω Re

Im k0

k0

C₊

Inserer eqs. (3.35) et (3.37) dans eq. (3.34) : DF(x y) =

Z _d3k (2)3

Z _dk0

2iei~k
(~x ~y)

e ik0_(x0 _y0₎ (k0₎2 _!2_{+ i} (x0 y0) (y0 x0)
| {z } = 1 (3.38) ou \i" = moyen mnemotechnique, evoque que l'integration sur k0_{est denie par le contournement}

du p^ole a ! par dessous et du p^ole a +! par dessus. Utiliser (k0₎2 _!2_{= (k}0₎2 _j~kj2 _m2₌

k2 _m2_: DF(x y) = Z _d4k (2)4 i k2 _m2_{+ i}e ik(x y): (3.39)

Exercice ! iDF(x y) est une fonction de Green pour l'operateur de Klein-Gordon,

( + m2_)D

F(x y) = i(4)(x y) : (3.40)

(Rappel : si G est une fonction de Green pour l'operateur D, DxG(x; y) = (x y), alors l'equation

dierentielle Dxf = J a la solution f(x) =R dy J(y)G(x; y). Fonctions de Green dierentes pour

conditions aux limites dierentes.)

Chapitre 4

Interactions

4.1 La theorie libre vs. la theorie avec interactions

Avant : theorie libre sans interactions.  L = 1

2(@)2 12m202

 equation de mouvement lineaire, ( + m2 0) = 0

) principe de superposition, pas de diusion

 theorie exactement soluble, spectre = etats a n particules  premiere excitation : energie au repos m0

 decomposition en modes de Fourier : a(~k), ay_{(~k) ne dependent pas du temps, annihile / cree}

etat a 1 particule bien normalise :

ay_{(~k)j0i = jki ; hk}0_{jki = 2!(2)}3_(3)_{(~k ~k}0_{) :}

Dorenavant : theorie avec interactions,  L = 1

2(@)2 12m202 Vint()

 equation de mouvement non lineaire, ( + m2

0) = Vint0 ()

(ou generalement : ( + m2

0) = J avec J une fonction non lineaire de  et d'autres champs)

) diusion

 theories generalement non solubles, spectre = etats a n particules, etats lies, resonances instables. . .

 energie au repos du premier niveau excite m dierent de m0 :

masse de la particule 6= parametre m0 du lagrangien

 on peut toujours denir des operateurs a et ay _{par eq. (3.18) mais ils ne seront plus}

independants du temps. De plus,

ay_{(~k; t)j0i = j0i + j1i + : : : (4.1)}

A priori : ay_{(~k; t)j0i sera une combinaison lineaire de tous les etats du spectre (en particulier,}

ne sera plus un etat propre d'impulsion ~k).

On s'interesse aux experiences de diusion ou pour t ! 1 les particules incidentes/emergentes sont bien isolees, eectivement des particules libres. On va alors redenir  de facon que pour t ! 1, ay_{(~k; t)j0i = etat a une particule bien normalise, au moins \au sens faible", c.a.d. dans}

les produits scalaires avec d'autres etats. Alors aux temps asymptotiques on pourra utiliser le formalisme de la theorie libre. La redenition de  entrainera un changement correspondant de l'expression du lagrangien.

Evolution temporelle des operateurs selon equation de Heisenberg :

Generalisation relativiste :

(x) = eiP x_(0)e iP x _(4.3)

avec les impulsions P_{= T}0 _{= generateurs des translations en espace-temps.}

Redenition des champs : 1.

h0j(x)j0i= 0 :! (4.4)

En general,

h0j(x)j0i = h0jeiP x_(0)e iP x_{j0i = h0j(0)j0i = c (cte.) (4.5)}

a cause de l'invariance du vide par translations. Alors redenissons (x) ! (x) c. 2.

hpj(x)j0i= e! ipx_{: (4.6)}

Ici hpj = etat a une particule bien normalise, avec quadri-impulsion p, p2_{= m}2_{. En general}

on aurait

hpj(x)j0i = hpjeiP x_(0)e iP x_{j0i = e}ipx_{hpj(0)j0i (4.7)}

ou hpj(0)j0i = invariante de Lorentz, peut dependre seulement de p2 _{= m}2_{. Relation}

sou-haitee : hpj(0)j0i = 1, comme dans la theorie libre, ou on a hpj(0)j0i = hpj

Z f

dka(~k) + ay_(~k)_{j0i =}Z _{dk hpjkif}

= Z _d3k (2)3 1 2!_~k(2)32!~k(3)(~k ~p) = 1 : (4.8) Avec cette relation l'etat a une particule contenu dans ay_{j0i sera donc bien normalise.}

Theoreme (sans demonstration) :

Z  jhpj(0)j0ij2_{= 1 , theorie libre : (4.9)}

Pour une theorie avec interactions il faut donc redenir  ! =pZ.

3. On peut montrer (! exercices) : Si hpj est un etat lie ou multiparticules avec impulsion p,

alors

lim

t ! 1hpja

y_{(~k; t)j0i = 0 : (4.10)}

Apres les redenitions 1. et 2. et avec la propriete 3. on conclut que lim

t ! 1a

y_{(~k; t)j0i se comporte comme etat a une particule bien normalise: (4.11)}

4.2 La formule de reduction de LSZ

Experience de diusion idealisee, deux particules entrantes, deux particules en etat nal :

00000 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 11111 i _f temps intermediaires: interactions temps particule 2 particule 1 paquets d’onde libres bien separes 8 _ particule 1’ particule 2’ paquets d’onde libres bien separes 8 +

Particules a t ! 1 : paquets d'onde bien separes, assimiles a des champs libres. Particules a t ni : interactions. On cherche l'amplitude de probabilite quantique hfjii pour une transition de l'etat initial jii a l'etat nal jfi.

Pour justier les operations mathematiques suivantes, on considere des paquets d'onde de largeur nie, c.a.d. la convolution de a(~k; t) et ay_{(~k; t) avec des fonctions de test appropriees f(~k). Par}

exemple, pour un paquet d'onde gaussien localise autour de k1en espace d'impulsions :

ay₁(t)  Z d3_{k f} 1(~k)ay(~k; t) ; f1(~k) / exp j~k ~k1j 2 22 ! (4.12) (valeur exacte de  pas importante | a la n du calcul on prendra  ! 0, f1(~k) ! (3)(~k ~k1)).

Alors on assimile jii = lim t ! 1a y 1(t)ay2(t)j0i ; jfi = lim t ! +1a y 10(t)ay₂0(t)j0i : (4.13) On utilise la denition des a et ay _{eq. (3.18) pour calculer}

ay₁(+1) ay₁( 1) = i Z d3_{k f} 1(~k)  lim x0_{! 1} Z d3_x _e ikx_@$ 0(x)  lim x0_{! 1} Z d3_x _e ikx_@$ 0(x)  = i Z d3_{k f} 1(~k) Z d4_{x @} 0  e ikx_@$ 0(x) 

(theoreme fondamental de l'analyse)

= i Z d3_{k f} 1(~k) Z d4_{x e} ikx _ik0_@ 0+ @02+ (k0)2+ ik0@0
(x) = i Z d3_{k f} 1(~k) Z d4_{x e} ikx_(@2 0+ j~kj2+ m2)(x) (avec m2= k2= (k0)2 j~kj2) = i Z d3_{k f} 1(~k) Z d4_{x e} ikx_{( + m}2_{)(x) (IPP) :} (4.14) Pour la derniere egalite, la convolution avec f1(~k) garantie qu'il n'y a pas de terme de surface

(decroissance exponentielle lorsque j~kj ! 1). Dans la theorie libre les ay_i sont independents du temps car ( + m2_{) = 0 (et en particulier a}y

1(+1) = ay1( 1)), mais dans la theorie avec

interactions ( + m2_{) 6= 0.} Rearranger : ay₁( 1) = ay₁(1) + i Z d3_{k f} 1(~k) Z d4_{x e} ikx _{ + m}2
_(x) | {z } I1 : (4.15) Par conjugaison : a1(1) = a1( 1) + i Z d3_{k f} 1(~k) Z d4_{x e}ikx _{ + m}2
_(x) | {z } Iy 1 : (4.16)

On va utiliser ces relations pour reexprimer hfjii. Les operateurs d'annihilation et de creation dans hfjii sont en ordre chronologique, donc on peut inserer le symbole T (voir eq. (3.33)) sans rien changer :

hfjii = h0ja10(+1)a₂0(+1)ay₁( 1)ay₂( 1)j0i

= h0j T a10(1)a₂0(1)ay₁( 1)ay₂( 1)j0i

ce qui selon eq. (4.15) est hfjii = h0j T a10(1)a₂0(1)  ay₁(1) + iI1   ay₂(1) + iI2  j0i : (4.18)

Sous le symbole T on peut placer les ay_{(1) a la gauche des I}

i. Au cas limite des impulsions

parfaitement denies ou les largeurs des paquets d'onde tendent vers zero, fi(~k) ! (3)(~k ~ki).

Les a(1) et ay_{(1) deviennent les operateurs habituels de creation et d'annihilation de la theorie}

libre, pour lesquelles on utilise les relations canoniques de commutation : hfjii = 4!_~k1!_~k2(2)6_(3)_(~k

1 ~k10)(3)(~k₂ ~k₂0) + (3)(~k₁ ~k₂0)(3)(~k₂ ~k₁0)

 + 2!_~k1(2)3_(3)_(~k

1 ~k10)h0ja₂0(1)(iI₂)j0i + (3)(~k₁ ~k₂0)h0ja₁0(1)(iI₂)j0i

 +2!_~k2(2)3_(3)_(~k

2 ~k10)h0ja₂0(1)(iI₁)j0i + (3)(~k₂ ~k₂0)h0ja₁0(1)(iI₁)j0i



| {z }

termes \deconnexes"

+ h0j T a10(1)a₂0(1)(iI₁)(iI₂)j0i

= (termes deconnexes) + h0j Ta10( 1) + iI₁y0

 

a20( 1) + iI₂y0



(iI1)(iI2)j0i

= (termes deconnexes) + h0j T(iI₁y0)(iI₂y0)(iI1)(iI2)j0i :

(4.19)

Explications : Termes \deconnexes" viennent des relations de commutation ; contributions seule-ment si (quelques uns parmi) les impulsions des particules externes sont egales : pas de diusion, processus aux histoires \deconnexes". Pour la deuxieme egalite on a utilise eq. (4.16). Dans la derniere egalite on a utilise que sous le symbole T les operateurs d'annihilation agissent directe-ment sur le vide tout a droite et donc ne contribuent pas.

On trouve enn

hfjii = (termes deconnexes) + i4Z _d4_x

1 d4x2 d4x10 d4x₂0 e ik1x1 ik2x2+ik10x10+ik20x20

(1+ m2)(2+ m2)(10+ m2)(₂0+ m2)h0j T (x₁)(x₂)(x₁0)(x₂0)j0i :

(4.20)

Formule de reduction de Lehmann-Symanzik-Zimmermann pour la diusion 2 ! 2, generalisable aux processus n ! n0 _{de facon evidente. Relation entre amplitude de transition hfjii et fonction}

de correlation en ordre chronologique h0j T (x1) : : : (xn0)j0i.

Version equivalente apres transformation de Fourier : hfjii = (termes deconnexes)

+ ( i)4_(k2

1 m2)(k22 m2)(k120 m2)(k₂20 m2)h0j T ~(k₁) ~(k₂) ~(k₁0) ~(k₂0)j0i :

(4.21)  Sans la redenition des champs  ! =pZ (voir 4.1.2), on obtiendrait une formulation equivalente avec des facteurs explicites de Z1=2_{; quelques livres suivent cette convention}

alternative.

 Termes deconnexes : les particules se manquent, impulsions externes inchangees (a change-ments des noms d'indices pres).

 La physique interessante est dans les termes connexes.  Dans eq. (4.21) les particules sont sur couche de masse : k2

i = m2, alors ki2 m2= 0 avec m =

masse physique de la theorie avec interactions. Contribution a hfjii non nulle seulement si la transformee de Fourier de la fonction de correlation connexe h0j T ~(k1) ~(k2) ~(k10) ~(k₂0)j0i

a des p^oles a k2 i = m2.

 Un grande partie de la TQC et du reste de ce cours : Calcul de h0j T (x1) : : : (xn0)j0i

(resp. h0j T ~(k1) : : : ~(kn0)j0i). La formule LSZ permet ensuite de faire le lien avec

ob-servation : sections ecaces = j(elements de matrice de transition hfjii)j2 _{(aux facteurs}

 Deux strategies equivalentes pour calculer fonctions de correlation : passage a la representation d'interaction dans le cadre du formalisme canonique (! exercices), ou quan-tication par l'integrale de chemin (! chap^tre suivant).

Chapitre 5

La quantication par l'integrale de

chemin

5.1 Les integrales de chemin en mecanique quantique

Rappel : on travaille dans la representation de Heisenberg ou les operateurs dependent du temps et l'etat d'un systeme est constant (hors mesurements). On place un systeme dans l'etat jqii, un

etat propre de l'operateur de position ^q(t) a t = 0 avec valeur propre qi. On s'interesse a son

recouvrement avec l'etat jqf; T i, un etat propre de ^q(T ) = eiHT^q(0)e iHT avec valeur propre qf,

qui peut s'ecrire jqf; T i = e+iHTjqfi. Il ne faut pas confondre jqf; T i avec un etat de Schrodinger !

On a

hqf; T jqii = hqfje iHTjqii : (5.1)

Experience quintessenciee de la mecanique quantique : fentes de Young. On connait la position d'une particule a la source a t = 0 et on la mesure encore sur l'ecran a t = T . Entre la source et l'ecran il y a une plaque impenetrable percee par des fentes. Pour deux fentes :

source écran plaque q q q t=0 t=t t=T i 2 1 q_f 1

hqfje iHTjqii = hqfje iH(T t1)jq1ihq1je iHt1jqii + hqfje iH(T t1)jq2ihq2je iHt1jqii : (5.2)

n fentes : source écran plaque q t=0 t=t t=T i q_f q 1 q_n 1 hqfje iHTjqii = X n

hqfje iH(T t1)jqkihqkje iHt1jqii : (5.3)

Deux plaques avec n fentes chacune :

source q t=0 t=T i q_f q_n q₁ q₁ q_n’ ’ plaque plaque t=t1 t=t2 écran hqfje iHTjqii = X mk

hqfje iH(T t2)jqkihqkje iH(t2 t1)jqm0 ihq0mje iHt1jqii : (5.4)

Inniment de plaques avec inniment de fentes (= plus d'obstacle) : hqfje iHTjqii =

X

tous les chemins possibles entre

qf et qi

(amplitude de suivre le chemin) : (5.5)

Pour une discretisation avec N pas en temps et N ! 1, avec N integrations sur des positions intermediaires qi : δ t δ t δ t δ t q_i q_f t=0 q₁ q 3 2 2 q 3 t = N hqfje iHTjqii = lim_{N ! 1} Z N 1_Y j=1 (dqj) hqfje iHNTjq_{N 1}ihq_{N 1}je iHNTjq_{N 2}i


hq₁je iHNTjq_ii : (5.6)

Cas special : hamiltonien libre, H = _2mp^2. On note les relations Z

dq jqihqj = 1 ; Z

dp

2jpihpj = 1 ; hqjpi = eipq (5.7) pour des etats propres jqi de l'operateur de position ^q(0) avec valeur propre q, et jpi de l'operateur d'impulsion ^p(0) avec valeur propre p.

Pour le pas entre qj et qj+1, avec t = T=N :

hqj+1j exp  it_2m^p2  jqji = Z _dp 2hqj+1j exp  it_2m^p2  jpihpjqji = Z _dp 2exp  it_2mp2  exp (ip(qj+1 qj)) : (5.8) Integrale gaussienne : Z ₁ 1dx exp  1 2iax2+ ibx  =  2i a 1 2 exp  i_2ab2  (! exercices) ; (5.9) alors hqj+1j exp  it_2m^p2  jqji = m_2it 1 2 exp it m₂  qj+1 qj t 2! : (5.10) Avec q0 qi et qN  qf : hqfje iHTjqii = lim N ! 1  m 2i t N 2 N 1Y k=1 Z dqkexp 0 @i t m₂ N 1X j=0  qj+1 qj t 21 A : (5.11) Pour N ! 1 on remplace  qj+1 qj t 2 ! _q2_{; t}X j ! Z _T 0 dt (5.12)

et on denit la mesure de l'integrale de chemin par Z Dq  lim N ! 1  m 2i t N 2 N 1Y k=1 Z dqk: (5.13)

Expression compacte pour l'amplitude de transition : hqfje iHTjqii = q(T )=qZ f q(0)=qi Dq exp i Z _T 0 dt 1 2m _q2 ! : (5.14)

Prescription : integrer sur tous les chemins possibles q(t) avec q(0) = qi et q(T ) = qf, ponderer

avec eiS _{ou S = action classique le long du chemin.}

Cas plus general : hamiltonien separable,

H(^p; ^q) = _2m^p2 + V (^q) : (5.15) (Cas m^eme plus generaux : Termes mixtes, p.ex. ^p^q, donnent lieu aux ambigutes d'ordre. Termes d'ordre superieur en ^p ) integrale sur p non gaussienne.) Selon la formule de

Baker-Campbell-Hausdor, hqj+1j exp  i t  ^p2 2m+ V (^q)  jqji = hqj+1j exp  i t_2m^p2 

exp ( i t V (^q)) exp _4mt2[^p2_{; V (^q)] + O(t}3₎

| {z } negligeable lorsque t ! 0 ! jqji = Z _dp 2hqj+1j exp  i t_2m^p2 

jpihpj exp ( i t V (^q)) jqji + O(t2)

= Z _dp 2exp  i t_2mp2 + i(qj+1 qj)p  exp ( i t V (qj)) + O(t2) int. gaussienne₌ r m 2i texp  it  m 2 (qj+1 qj)2 t2 V (qj)  + O(t2₎ (5.16)

Dans la limite t ! 0 : termes en parentheses deviennent m

2 _q2 V (q) = L (le lagrangien) et

R_T

0 dt L(q; _q) = S[q]. Resultat comme pour le cas libre :

hqfje iHTjqii = q(T )=qZ f q(0)=qi Dq exp  i ~S[q]  : (5.17)

Utilite de ce formalisme : Calcul des insertions d'operateurs, par exemple hqf; t = T j^q(t = t1)jqi; t = 0i

= hqfje iH(T t1)^qe iHt1jqii

= lim N ! 1 Z Y j dqjhqfje iH tjqN 1ihqN 1je iH tjqN 2i





hqk+1je iH t _{| {z }}^qjqki q(t1)jqki hqkje iH tjqk 1i


hq1je iH tjqii (avec t1= k t) = lim N ! 1 Z Y j dqj q(t1)hqfje iH tjqN 1i


hq1je iH tjqii = q(T )=qZ f q(0)=qi Dq q(t1)eiS[q] (5.18)

De m^eme, pour une insertion de deux operateurs,

q(T )=qZ f q(0)=qi Dq q(t1)q(t2)eiS[q] =  hqfj^q(t1)^q(t2)jqii si T > t1> t2> 0 hqfj^q(t2)^q(t1)jqii si T > t2> t1> 0 = hqfj T ^q(t1)^q(t2)jqii (5.19) ou pour n operateurs : q(T )=qZ f q(0)=qi Dq q(t1) : : : q(tn)eiS[q]= hqfj T ^q(t1) : : : ^q(tn)jqii : (5.20)

L'integrale de chemin calcule les insertions des produits d'operateurs entre jqii et hqfj en ordre

chronologique. Il est important de noter que le membre de gauche d'eq. (5.20) n'implique que des quantites classiques qui commutent, tant que le membre de droite contient des operateurs quantiques.

5.2 Fonctionnelle generatrice

Action en presence d'une source J(t). Utilite : SJ J(t) = q(t) (5.22)  J(t)exp (iSJ[q]) =  @ @Sexp(iS)  S

J = iq(t) exp (iSJ[q]) ; (5.23) (pour la denition de la derivee fonctionnelle, voir l'annexe). Alors, sous l'integrale de chemin

1 i  J(t) Z Dq eiSJ[q] J=0= Z Dq q(t)eiS[q] _(5.24) ou plus generalement 1 i  J(t1)


1 i  J(tn) q(T )=qZ f q(0)=qi Dq eiSJ[q]     J=0 = q(T )=qZ f q(0)=qi Dq q(t1) : : : q(tn) eiS[q] = hqfj T ^q(t1) : : : ^q(tn)jqii (5.25)

la derniere egalite correspondant a eq. (5.20).

En TQC, il faudra evaluer eq. (5.25) pas entre jqi; t = 0i et hqf; t = T j mais plut^ot entre

j0; t ! 1i et h0; t ! +1j an de calculer les esperances quantiques des produits d'operateurs en ordre chronologique dans le vide.

5.3 Les integrales de chemin en theorie quantique des

champs

Objectif : calculer

h0j T (x1) : : : (xn)j0i (5.26)

pour obtenir hfjii avec la formule de LSZ, eq. (4.20).

Pour un champ scalaire reel avec des interactions, on denit l'action en presence d'une source J(x) SJ[] = Z d4_x1 2(@)2 1 2m22 Vint() + J  (5.27) et l'integrale de chemin en presence de la source

hf(~x); t0ji(~x); tiJ= (t0_;~x)= f(~x) Z (t;~x)=i(~x) D eiSJ[]_{: (5.28)}

L'integration est sur tous les chemins dans l'espace de conguration de . Comme avant on va ignorer le probleme mathematique de la denition rigoureuse (comment denir la mesure sur l'espace des chemins. . . ?)

On choisit i et f de maniere que hfj0i 6= 0 et h0jii 6= 0. Alors, lorsque t ! 1 et t0 ! +1,

seulement les projections de ji;fi sur l'etat fondamental peuvent contribuer a l'integrale. Pour

demontrer cela, supposons que Hj0i = 0 (sinon on ajoute une constante a H) et inserons deux ensembles complets d'etats propres de H, Hjni = Enjni, dans l'expression de l'integrale de chemin,

lim T ! 1 (+T;~x)=Z f(~x) ( T;~x)=i(~x) D exp i Z _T Tdt Z d3_{x(L + J)} ! = lim T ! 1hf; T ji; T iJ = lim T ! 1 X mn

hf; T je iHTjn; T iJhnjmiJ hm; T jeiH( T )ji; T iJ

= lim T ! 1 X mn e i(En+Em)T_h f; T jn; T iJhn; 0jm; 0iJ hm; T ji; T iJ: (5.29)

On donne a T une partie imaginaire iT , puis on pose  ! 0 apres l'integration (cette prescription fait partie de la denition de l'integrale, voir integrale gaussienne avec exposant ima-ginaire ! exercices). Alors

lim

 ! 0 T ! 1(1 i)lim hf; T ji; T iJ= e 0_h

fj0ih0j0iJh0jii (5.30)

Explication : Toutes les contributions a la somme de la derniere ligne de eq. (5.29) decroissent exponentiellement lorsque jT j ! 1, sauf celle de l'etat fondamental ou E0 = 0. De plus, on a

J ! 0 a T ! 1 ) les amplitudes hfj0iJ et h0jiiJ deviennent celles sans source. On trouve

l'expression de l'amplitude de persistance du vide en presence de la source J : h0j0iJ = _N1 _{ ! 0}lim lim

T ! 1(1 i) Z D exp i Z _T Td 4_{x (L + J)} !  1 NZ[J] (5.31) N = hfj0ih0jii est une constante de normalisation independante de J ; pour que h0j0i = 1 il

faut que N = Z[0]. Z[J] est la fonctionnelle generatrice des fonctions de correlation a n points : h0j T (x1) : : : (xn)j0i = _Z[0]1 1_iJ(x 1)


1 i  J(xn)Z[J]   J=0 : (5.32)

Cf. physique statistique : moyenne thermique d'une observable donnee par la derivee de la fonction de partition (fonction generatrice), par exemple

Exemple : Propagateur de Feynman de la theorie libre

On va utiliser ce formalisme pour retrouver la fonction de correlation a deux points dans la theorie libre. On connait deja le resultat, a savoir le propagateur de Feynman. L'action est

iSJ = i Z d4_x1 2(@)2 m2 2 2+ J  IPP₌ i 2 Z d4_{x ( + m}2_{) 2J}
Fourier₌ i 2 Z d4_xZ d4p (2)4 Z _d4q (2)4ei(p+q)x  ~(p)(q2 _m2_{) ~(q) + 2 ~J(p) ~(q)} =₂i Z d4_p (2)4  ~(p)(p2 _m2_{) ~( p) + 2 ~J(p) ~( p)} =₂i Z d4_p (2)4  ~(p) +_p2 1_m2J(p)~ _(p2 _m2₎_{~( p) +} 1 p2 _m2J( p)~  ~ J(p)_p2 1_m2J( p)~ ! (5.34)

On fait un changement de variable ~0_{(p)  ~(p) +} 1

p2 _m2J(p). A noter D~ 0 = D (ajout de

constante). On retrouve alors le m^eme integrale de chemin que pour J = 0 a un facteur pres : Z[J] = exp ₂i Z _d4p (2)4 ~ J(p) ~J( p) p2 _m2 ! Z[0] : (5.35)

A priori l'integrande n'est pas denie a cause des p^oles a p0 _{= }p_j~pj2_{+ m}2 _{ !~p. Mais pour}

denir l'integration de chemin dans Z[J] nous avions remplace t ! t(1 i). En espace de Fourier : p0 _{! p}0_{(1 + i) ) courbe de Feynman, evite le p^ole a !}

~p au-dessous et celui a +!~p au-dessus.

Alors en fait Z[J] = exp i 2 Z _d4p (2)4 ~ J(p) ~J( p) p2 _m2_{+ i} ! Z[0] : (5.36)

Apres inversion de la transformation de Fourier, on obtient enn l'expression de la fonctionnelle generatrice pour un champ scalaire libre :

Z[J] = exp  1 2 Z d4_xZ _d4_{y J(x)D} F(x y)J(y)  Z[0] (5.37)

avec l'expression de DF comme avant (voir eq. (3.39)),

DF(x y) =

Z _d4p (2)4

i

p2 _m2_{+ i}e ip(x y): (5.38)

On applique eq. (5.32) pour trouver la fonction a deux points : h0j T (x1)(x2)j0i = _Z[0]1  1 i ₂  J(x1)  J(x2)Z    J=0 = DF(x1 x2) (5.39)

ce qui est l'ancien resultat du chapitre 3.4.

Exemple : Fonctions a n > 2 points dans la theorie libre Avec eqs. (5.32) et (5.37) on trouve pour la fonction a 3 points

h0j T (x1)(x2)(x3)j0i =  1 i 3 _ J(x1)  J(x2)  J(x3) exp  1 2 Z d4_xZ _d4_{y J(x) D} F(x y) J(y)    J=0 = 0 : (5.40)

Raison : developpement de l'exponentielle ) que de puissances paires de J. En prenant un nombre impaire de derivees, il y reste un nombre impair de facteurs de J dans chaque terme qui s'annullent a J = 0. M^eme raisonnement pour toutes les autres fonctions a n = (2m + 1) points :

h0j T (x1)(x2) : : : (x2m+1)j0i = 0 : (5.41)

Fonction a quatre points : on developpe l'exponentielle. La seule contribution vient des termes avec 4 facteurs de J (termes avec moins que 4 facteurs : zero sous la quatrieme derivee fonctionnelle ; termes avec plus que 4 : zero a J = 0). On trouve ainsi

h0j T (x1)(x2)(x3)(x4)j0i

= DF(x1 x2)DF(x3 x4) + DF(x1 x3)DF(x2 x4) + DF(x1 x4)DF(x2 x3) : (5.42)

Resultat general : theoreme de Wick, h0j T (x1)(x2) : : : (x2n)j0i =

X

appariements

DF(xi1 xi2)


DF(xi2n 1 xi2n) : (5.43)

Convergence et prolongement analytique

Nos integrales de chemin sont ponderees avec une exponentielle eiS[] _{dont l'exposant est}

pure-ment imaginaire. Pour les denir il fallait donner une petite partie imaginaire au parametre t. Explicitement : Separer les parties positives et negatives de S,

S = Spos+ Sneg; Spos=

Z dt d3_x ( )2 2 ; Sneg= Z dt d3_x (~r)2 2 + m2 2 2+ Vint() ! (5.44) (en supposant que Vintpossede une borne inferieure, alors est positif apres ajout d'une constante).

Avec t ! t(1 i) on a dt ! (1 i) dt et  ! (1 i) 2, donc au premier ordre

iSpos ! (i )Spos; iSneg ! (i + )Sneg: (5.45)

Par consequent, iS tend vers 1 lorsque jjjj ! 1 (cf. exercices pour les integrales gaussiennes en dimension nie).

Procedure :

1. integration complexe sur t avec la courbe d'integration temporelle legerement penchee par rapport a l'axe reelle, t ! t(1 i)

2. evaluer l'integrale sur t et, en fonction de celle-ci, l'integrale de chemin 3. poser  = 0.

Equivalent :

1. integration complexe sur t avec la courbe d'integration tournee par 90 _{par rapport a l'axe}

reelle, t !   it, @t ! @ = i@t, dt ! d = i dt

2. evaluer l'integrale et l'integrale de chemin,

3. inverser la rotation si necessaire (c.a.d. si la quantite calculee depend de t/).

Rotation de Wick. Donne le bon resultat si pas de p^ole touche lors de la rotation de la courbe d'integration.

Exemple, important plus tard : Z _d4p (2)4 1 (p2
2_{+ i)}n p0_{! ip}0 ! i Z _d4p (2)4 1 ( (p0₎2 _~p2
2₎n = i (2)4( 1)n Z ₁ 0 djpj 22_jpj3 (jpj2₊
2₎n = ( 1)n i 162 1 (n 1)(n 2)
4 2n (n > 2) : (5.46)

Dans l'integrale de chemin, rotation de Wick t !  donne l'integrale de chemin euclideenne Z D e SE[]; S E= Z d4_x E  1 2(@)2+ 1 2(r)2+ m2 2 2+ Vint()  :

Souvent mieux deni (exposant reel, decroissant si jjjj ! 1) et plus facile a evaluer (approxima-tion du point col ! exercice ; methodes numeriques : TQC sur reseau). Connec(approxima-tions avec physique statistique :

TQC physique statistique

integrale de chemin integrale de chemin euclideenne equation de Schrodinger i@t = _2m1
equation de la chaleur @tu = 
u

operateur d'evolution eiHt _{facteur de Boltzmann e} H

Chapitre 6

La theorie des perturbations et les

diagrammes de Feynman

6.1 Les diagrammes de Feynman

Simple exemple d'une theorie avec interactions : theorie 4_,

L = 1 2Z@@ 1 2(m2+ m2)2  +  24 4 (6.1)

avec m2 _{= masse}2 _{du particule = energie}2 _{au repos de la premiere excitation ;  = deni par}

une certain section ecace de diusion (details plus tard). Les parametres Z, m2, _doivent ^etre

choisis tel que

h0j(x)j0i = 0 ; hkj(x)j0i = eikx _(6.2)

ou hkj = etat a 1 particule bien normalise (voir la derivation de la formule de LSZ, section 4.2). Lorsque  ! 0, on s'attend que Z ! 1 et m2 ! 0, _ ! 0 (cas limite de la theorie libre). En

fait on va bient^ot trouver que Z = 1 + O(2_{), }

m2 = O(), _ = O(2). Notre objectif sera de

construire les fonctions a n points par un developpement en .

Pour l'instant on pose Z = 1, m2 = 0, _ = 0 pour simplier la notation. Attention : par

consequent, m2_{, , Z ne representent pas la masse, le couplage, la normalisation du champ}

phy-sique. On va revisiter ce point dans Section 6.3. La fonctionnelle generatrice est donnee par

Z[J] = Z D exp  i Z (L + J)  : (6.3) On note que 1 i  Jei R J_{= e}iRJ _(6.4)

et plus generalement, pour une fonction f quelconque dont l'action sur des operateurs dierentiels est denie par son serie de Taylor,

f  1 i  J  eiRJ_{= f()e}iRJ_{: (6.5)}

En theorie 4_{on denit Vint() =} 

244le potentiel d'interaction. Alors

exp  i Z Vint()  exp  i Z J  = exp  i Z Vint  1 i  J  exp  i Z J  (6.6)

ou bien, en multipliant avec l'exponentielle de l'action libre et integrant sur , Z[J] = exp  i Z Vint  1 i  J  Z D exp  i Z ₁ 2(@)2 1 2m22+ J  | {z } Z0[J] (6.7)

ou Z0[J] est la fonctionnelle generatrice de la theorie libre sans interactions. En resume :

Z[J] = exp  i Z Vint  1 i  J  Z0[J] (6.8)

avec Z0[J] donne par eq. (5.37),

Z0[J] = Z0[0] exp  1 2 Z d4_{x d}4_{y J(x)D} F(x y)J(y)  : (6.9)

On insere l'expression de Vint et on substitue les series de Taylor des exponentielles :

Z[J] = Z0[0] 1 X V =0 1 V !  i 24 Z d4_x 4 J(x)4 V 1_X P =0 1 P !  1 2 Z d4_{x d}4_{y J(x)D} F(x y)J(y) P (6.10) Apres developpement des sommes, un terme avec P et V xe contient E = 2P 4V facteurs de J et peut donc contribuer a la fonction de correlation a E points (car celle-ci est obtenue en prenant E derivees fonctionnelles de Z par rapport a J). On organise les termes avec l'aide d'une notation diagrammatique, les diagrammes de Feynman. Pour chaque terme on trace

x y propagateur DF(x y) (P au total) vertex iR d4_x 4 J(x)4 (V au total) Exemples : E = 0 V = 1 E = 2 V = 0 E = 2 V = 1 E = 2 V = 2 E = 4 V = 0 E = 4 V = 1 E = 4 V = 2 + diagrammes deconnexes

Nombre de termes dans eq. (6.10) qui correspondent a un diagramme donne :  rearrangement des 4 

J(x) associes a un vertex ) facteur 4! = 24 qui supprime le facteur 241

dans Vint

 rearrangement des V vertex ) facteur V ! qui supprime le facteur 1

V ! de l'exponentielle

 rearrangement des sources aux extremites des propagateurs ) facteur 2! qui supprime le 1 2

devantRJDJ

 rearrangement des P propagateurs ) facteur P ! qui supprime le facteur 1

P ! de l'autre

expo-nentielle Conclusion :

Z[J] = Z0[0]

X

(diagrammes de Feynman) modulo surcomptage \Surcomptage" car rearrangement des 

J(xi) peut donner le m^eme resultat qu'un rearrangement

des J(xi) : il faut diviser par un facteur de symetrie S du diagramme. Ce facteur doit ^etre determine

au cas par cas. Exemples : Le diagramme

a S = 4 : echanger les extremites du propagateur interne donne le m^eme diagramme. Pareil pour un echange simultane des extremites des propagateurs externes (connectes aux sources) si au m^eme temps on echange les deux sources.

Le diagramme

a S = 8 : 2 (echanger les extremites du propagateur a gauche) 2 (echanger les extremites du propagateur a droite) 2 (echanger le propagateur a gauche avec celui a droite).

Le diagramme

a S = 2
3! = 12 dont 3! pour une permutation des propagateurs internes, 2 pour echanger toutes les extremites simultanement avec les sources.

Conclusion nale : Z[J] = Z0[0]

X

diagrammes de Feynman

(diagramme D) = (facteur de symetrie S(D)) : (6.11) Chaque diagramme represente une expression algebrique qui depend des J, des DF et de .

Diagrammes connexes

D connexe , on peut relier tout point du diagramme a tout autre par un chemin. Diagramme D general = produit des sous-diagrammes connexes CI, chacun avec son facteur de symetrie :

D = _S1

D

Y

I

ou SD = facteur de symetrie qui n'a pas encore ete pris en compte par les CI. On a

SD=

Y

I

nI! (6.13)

(n! venant des permutations des sous-diagrammes connexes de la m^eme topologie). Donc Z[J] / X fnIg D =X fnIg Y I 1 nI!(CI) nI ₌Y I 1 X nI=0 (CI)nI nI! = Y I exp(CI) = exp X I CI ! : (6.14) En conclusion, Z[J] / (somme de tous les diagrammes) / (exponentielle de la somme des dia-grammes connexes) : Z[J] = eiW [J] _(6.15) ou iW [J] = X diagrammes connexes, E6=0 CI: (6.16)

On a choisi la normalisation telle que les diagrammes de vide avec E = 0 ont ete exclus. Z = fonctionnelle generatrice des fonctions de correlation, W = fonctionnelle generatrice des fonctions de correlation connexes.

6.2 Les regles de Feynman pour la theorie 

Calcul des fonctions de correlation a n points

h0j T (x1) : : : (xn)j0i  h(x1) : : : (xn)i

avec l'aide des diagrammes de Feynman : On note que l'eet de 1

i 

J(xk)  k

sur un diagramme de Feynman est de enlever une source et de labelliser xk l'extremite du

propa-gateur ou elle etait attachee. Fonction a un point

Notre derivation de la formule de LSZ necessite

h(x1)i= 0 :! (6.17) On a h(x1)i = 1Z[J]    J=0 (6.18) La seule contribution peut venir des diagrammes avec E = 1 qui n'existent pas en Z[J]. Donc en fait

h(x1)i = 0 (6.19)

Fonction a deux points h(x1)(x2)i = 12Z[J]    J=0 = 12iW [J]    J=0 + _{| {z }}1iW [J] h(x1)=0i 2iW [J]    J=0 = 12iW [J]    J=0

=X diagrammes connexes avec E=2, sources enlevees et avec ses extremites a x1et x2

: (6.20) Au premier ordre en , h(x1)(x2)i = x x 1 2 + x2 x1 + O() =1 2DF(x1 x2) + 1 2DF(x2 x1) + O() = DF(x1 x2) + O() : (6.21) Facteurs 1

2 = facteurs de symetrie. Le resultat au premier ordre est donc le m^eme que celui de la

theorie libre (pas de surprise). Corrections jusqu'a O(2_{) :}

h(x1)(x2)i = 2 x x 1 2 + x1 y x2 + x1 y1 y2 x₂ + x₁ y x₂ y 1 2 + x₁ y1 y2 x₂ + O(3) ! = DF(x1 x2) +1₂ Z d4_{y D}

F(x1 y)( i)DF(y y)DF(y x2)

+1₄ Z d4_y 1d4y2DF(x1 y1)( i)DF(y1 y1)DF(y1 y2)( i)DF(y2 y2)DF(y2 x2) +1₄ Z d4_y 1d4y2DF(x1 y1)( i)DF(y1 y2)( i)DF(y2 y2)DF(y2 y1)DF(y1 x2) +1 6 Z d4_y 1d4y2DF(x1 y1)( i)DF(y1 y2)DF(y1 y2)DF(y1 y2)( i)DF(y2 x2) + O(3₎ (6.22) Explications : le facteur 2 devant la parenthese de la premiere ligne vient de x1$ x2, les facteurs

devant les integrales des facteurs de symetrie residuels. Fonction a n points

On peut traiter des diagrammes generales dans la m^eme facon. Chaque vertex emporte un facteur ( i)Rdy, chaque propagateur un facteur DF. En resume, on obtient les regles de Feynman dans

1. Pour chaque point externe, x = 1

2. Pour chaque propagateur, x y = DF(x y)

3. Pour chaque vertex, z = ( i)

R d4_z

4. Diviser par le facteur de symetrie.

Normalement les calculs sont plus simples dans l'espace des impulsions. On rappelle l'expression de DF et sa transformee de Fourier : DF(x y) = Z _d4p (2)4 i p2 _m2_{+ i}e ip(x y) ) gDF(p) = i p2 _m2_{+ i}: (6.23)

Alors dans l'espace des impulsions chaque propagateur est associe a un p. Pour un vertex avec des impulsions entrantes p1;2;3;4 :

( i) Z

d4_{z e} ip1ze ip2ze ip3ze ip4z= ( i)(2)4(4)(p

1+ p2+ p3+ p4) (6.24)

alors l'impulsion est conservee a chaque vertex. On obtient ainsi les regles de Feynman dans l'espace des impulsions

1. Pour chaque point externe,

x

p _{= e ipx}

2. Pour chaque propagateur, p = i

p2 _m2_+i

3. Pour chaque vertex,

p p p 1 2 3 p4 = ( i)(2)4_(4)_{(p1+ p2+ p3+ p4)}

4. Integrer toutes les impulsions. 5. Diviser par le facteur de symetrie. ou plus pratiquement

3. Pour chaque vertex,

p p p 1 2 3 p4 = i

4.a Imposer la conservation des impulsions a chaque vertex. 4.b Integrer toutes les impulsions pas encore determinees.

5. Diviser par le facteur de symetrie.

Tentative d'exemple : La correction O() a la fonction a deux points On va essayer d'appliquer ces regles au calcul du diagramme

x1 x2 p p 1 2 p₃ =1₂ Z _d4p 1 (2)4 d4_p 2 (2)4 d4_p 3 (2)4eip1x i p2 1 m2+ i( i)(2) 4_(4)_(p 1 p2)_p2 i 3 m2+ i i p2 2 m2+ ie ip2y = ₂ Z _d4p 1 (2)4eip1(x y) 1 (p2 1 m2+ i)2 Z _d4p 3 (2)4 1 p2 3 m2+ i (6.25) Pour evaluer l'integrale de p3 on eectue une rotation de Wick et on transforme aux coordonnees

spheriques : _Z d4_p 3 (2)4 1 p2 3 m2+ i = i 8 Z ₁ 0 jpj3 jpj2_{+ m}2djpj (6.26)

N'existe pas comme integrale impropre (la primitive diverge comme  jpj2 _{lorsque jpj ! 1,}

divergence quadratique). Complication supplementaire : necessite de renormaliser la theorie. Resume provisoire : Calcul des observables en theorie de perturbations

Pour calculer la section ecace pour un processus n ! m :

1. Calculer et additionner tous les diagrammes de Feynman avec n + m pattes externes a un ordre xe en  pour obtenir la fonction a n + m points h(x1) : : : (xn+m)i. (Si quelques-uns

des diagrammes divergent ! renormalisation, section 6.3.)

2. Choisir les parametres libres du lagrangien de la sorte que les prerequis pour notre derivation de la formule de LSZ sont remplis. (Lie avec la renormalisation, voir section 6.3 egalement.) 3. Obtenir l'amplitude de transition hfjii selon la formule de LSZ.

4. Enn obtenir la section ecace en prenant compte des facteurs cinematiques (chapitre 7).

6.3 Un premier regard a la renormalisation

La fonction a deux points admet la representation spectrale (voir p.ex. le livre de Weinberg) : Z

d4_{x h0j T (x)(0)j0ie}ipx₌ iZ

p2 _m2 + (termes reguliers a p2= m2) (6.27)

(formule exacte, non-perturbative)

m = energie du premier etat excite = masse de la particule = position du p^ole

Z = jh10j(0)j0ij2= constante de renormalisation de la fonction d'onde = (residu au p^ole)=i (avec

h10j = etat a 1 particule au repos).

Rappel : On avait derive la formule de LSZ Eq. (4.20) pour des etats incidents et emergents avec p2_{= m}2_{(\sur couche de masse") et Z = 1, tel que hkj(x)j0i = e}ikx_.

Par exemple, pour la theorie libre,

L = 1 2@@ 1 2m202 (6.28) on a Z d4_{x h0j T (x)(0)j0ie}ipx₌ i p2 _m2 0 (6.29)

Contrairement, pour la theorie 4_,

L = 1₂@@ 1₂m202 ₂₄04 (6.30)

on trouve Z 6= 1 et m 6= m0. Apres les redenitions

 ! p Z  r; m20 1 Z(m2+ m2) ; 0 1 Z2( + ) (6.31) on a L = Z₂@r@r 1₂Z m202r ₂₄0Z24r =Z 2@r@r 1 2m22r  244r 1 2m22r  244r =1₂@r@r 1₂m22r ₂₄4r +1₂Z@r@r 1₂m22_r  244r (6.32)

ou Z  Z 1. Ici les contre-termes Z, m2, _ doivent ^etre choisis tel que le p^ole du propagateur

est a p2 _{= m}2 _{avec residu i et tel que le couplage  est le \couplage physique".}1 _{Le couplage}

physique est deni par l'amplitude de transition a quatre points dans la limite cinematique ou toutes les particules incidentes/emergentes sont au repos :

0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 p₄ p₂ p₃ p₁ ! i (pi ! (m;~0))

Du lagrangien Eq. (6.32) on obtient ainsi des nouvelles regles de Feynman avec deux nouveaux vertex a 2 et a 4 points pour les contre-termes. Dans l'espace des impulsions :

1. Propagateur : p

= i

p2 _m2_+i

2. Vertex : = i

3. Contre-terme a deux points : p

= i(p2_

Z m2)

4. Contre-terme de vertex : = i

Regles de Feynman en theorie des perturbations renormalisee. Details ! exercices. La procedure pour le calcul des amplitudes de transition est alors :

1. Calculer les corrections au propagateur et au vertex a un certain ordre en , en utilisant les regles de Feynman modiees. Le resultat sont deux fonctions de , m2_{, }

m2, _, _Z et des

impulsions externes.

2. Fixer les valeurs de m2, _, _Z avec les conditions de renormalisation : 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 = i a pi= (m;~0) 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 = i

p2 _m2 + termes reguliers (deux conditions : p^ole et residu)

3. Une fois les contre-termes connus, on peut calculer une fonction a n points avec n quel-conque pour une conguration cinetique quelquel-conque. Avec la formule de LSZ on en obtient l'expression de l'amplitude.

1. Cette denition de contre-termes, ou schema de soustraction, est le plus utile pour le calcul des amplitudes de diusion avec la formule de LSZ. Cependant parfois d'autres schemes de soustraction sont plus convenients m^eme si la relation avec les amplitudes physiques est plus compliquee.