DS 1
U.E.: M1CP4025 Année universitaire
Date: 07 mars 2014 2013 - 2014
Durée: 1h20 Epreuve de: M. Bruneau - M. Dimassi - M. Fischer Documents: Non autorisés
Partie de M. Fischer
Exercice 1 : Soitf :R3 →R2 une application de classe C1 etg:R2 →R2 l’application g(u, v) =f(cos(u) + sin(v),sin(u) + cos(v), eu−v).
1. Montrer queg est de classe C1.
2. On suppose quef est différentiable au pointA= (1,1,1)deR3, et que sa dérivée en ce point est, en convenant d’identifier une application linéaire de R3 dansR2 avec sa matrice,
1 3 4
2 −1 3
.
Déterminer la dérivée deg au pointB = (π/2, π/2).
Exercice 2 : Soitf l’application de RdansR définie par:
f(t) =|cos(t)|.
1. Cette application est-elle périodique ? Si oui, déterminer sa plus petite période.
2. Calculer les coefficients de Fourier de f.
3. Ecrire l’égalité de Parseval pour cette application. En déduire la valeur d’une série numérique.
4. Quel théorème de convergence peut-on lui appliquer ? Ecrire l’égalité que l’on peut obtenir, puis déduire la valeur de la série numérique obtenue avect= 0.
Partie de M. Bruneau
Exercice 3 : Considérons les fonctions:
f1:]−π 2,π
2[−→R:x7→tanx; f2:]0, π[−→R:x7→
tanx si x6= π2 0 si x= π2
1. Les applications f1 etf2 sont-elles de classe C1 ou C1 par morceaux sur leurs intervalles de définition?
2. Ces fonctions sont-elles des C1 difféormorphismes? Justifier en précisant notamment la fonc- tion réciproque, son domaine de définition et sa dérivée (lorsque la fonction est unC1 difféor- morphisme).
3. Déterminer la limite suivante:
n→+∞lim
n
X
k=0
n n2+k2.
Exercice 4 :
1. Soitf une fonction continue par morceaux deRdansRN,N ∈N∗. Posons
F(x) = Z x
0
f(t)dt.
Montrer queF est continue surR.
Considérons E l’application de [0,+∞[ dans [0,+∞[ définie pour t ≥ 0 par E(t), la partie entière det (i.e. le plus grand entier inférieur ou égal àt).
2. L’application E est-elle continue? continue par morceaux?
3. Déterminer sur [0,4], la fonction G: [0,4]−→Rprimitive de E qui s’annule en0.
