MATHÉMATIQUES II

MATHÉMATIQUES II

Dans tout le problème, désigne le plan affine euclidien muni de son pro- duit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique de son orientation canonique et de son repère polaire canonique.

On appellera conique toute partie (vide ou non) de ayant une équation de la forme

où , , , , , sont six réels, avec en outre , , non tous nuls.

À tout ( , , , , , ), élément de tel que , , non tous nuls cor- respond ainsi une conique , que l’on pourra noter .

Le but du problème est notamment l’étude de l’ensemble des points communs à certains ensembles de coniques.

Partie I - Préliminaires

I.1) Montrer que les fonctions ; ; ; ;

de vers forment une famille libre dans l’espace des fonctions numé- riques définies sur .

I.2) Soit un cercle quelconque du plan , que l’on supposera de rayon . Montrer que si le cercle est inclus dans la conique , alors et . Réciproquement, que peut-on dire d’une conique ?

P IR²

O ; i j,

( )

C

M_{(X Y, )}^∈

C

{ }⇔{A X²+BXY+CY²+DX+EY+F=0}

A B C D E F A B C

A B C D E F IR⁶ A B C

C C

θacos2θ θasin2θ θacosθ θasinθ

θa1 IR IR

IR

P ρ>0

C

B = 0

C

Filière PC

Partie II -

On note le plan privé de l’axe des ordonnées. On note un point de coordonnées appartenant à .

Soit l’ensemble des coniques satisfaisant aux quatre conditions :

II.A -

II.A.1) Montrer que le seul élément, noté , de qui soit un cercle a pour équation .

Montrer que est tangent à l’axe et indiquer une construction géomé- trique de son centre.

II.A.2) Montrer qu’il existe un seul élément, noté , de qui ait une équation de la forme . En indiquer une caractérisation géométri- que.

II.A.3) Déterminer . En discuter le nombre d’éléments. En déduire l’ensemble des points communs à tous les éléments de .

II.B - On appelle l’application de dans qui, au point de coordonnées polaires , tel que et que pour tout entier relatif , , associe de coordonnées polaires .

II.B.1) Montrer que cette définition de est cohérente, c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas du choix de parmi les coordonnées polaires possibles du point . Montrer que appartient à toutes les coniques de . En déduire une construction géométrique de à l’aide d’un cercle et d’une droite.

P′ = P\ Oy{ } P M₀

X₀,Y₀

( ) P′

E

C

M₀^∈

C

A = C

⎩⎨

⎧ E = 0

F = 0

⎩⎨

⎧

C

( )

E

x₀(X²+Y²)–(x²₀+y₀²)X = 0

C

( ) Oy

C

( )

E

BXY+CX = 0

C

( )∩(

C

E

ϕ P′ P M

ρ θ,

( ) ρ≠0 k θ≠(2k+1)π 2⁄

M′ ρ θ π

2--- θ– tan ,

⎝ ⎠

⎛ ⎞

ϕ M( ) ρ θ,

( )

M ϕ M( ₀)

E

ϕ M( ₀)

II.B.2) Pour , quand a-t-on ? Que dire alors de ? II.B.3) On appelle la courbe d’équation polaire

, où est donné.

Reconnaître ; déterminer une représentation polaire de la courbe ; étudier et tracer cette courbe, avec justifications.

II.C - Dans cette question, est un point de tel que et on lui associe comme ci-dessus.

II.C.1)

a) Montrer que, quel que soit le couple de réels non tous nuls, il existe un unique réel , que l’on calculera, tel que la conique d’équation

appartienne à .

b) Lorsque , montrer que a un centre dont on déterminera les coordonnées. [Pour ce faire, il est possible d’effectuer une translation arbi- traire de l’origine du repère puis de faire en sorte que la nouvelle origine devienne centre de symétrie de la conique .]

II.C.2) Le point restant fixé, montrer que tous les points (où ) appartiennent à la conique d’équation

.

En déterminer le genre, le centre, les sommets et les axes.

II.C.3) Déterminer les intersections de avec les droites , , , et . On trouvera en général six points en tout, pour lesquels le centre de

joue un rôle particulier que l’on mettra en évidence.

II.C.4) Faire une figure d’ensemble.

II.C.5) Étudier et représenter et . On réalisera la figure en pre- nant , . Que remarque-t-on quant à leurs axes ?

On identifiera pour la suite du problème les espaces vectoriels euclidiens canoniques et . On désignera par le complexe de module et d’argument .

M∈P′ ϕ M( )∈P′ ϕoϕ M( )

γ θ ] π

--- ; 2 π ---[ 2 aρ –

∈ = 2asinθ a 0>

γ γ' = ϕ γ( )

M₀(x₀,y₀) P′ x₀ ≠ y₀ M₀′ = ϕ M( ₀)

λ µ,

ν (

C

λ X( ²+Y²)+2µXY+νX = 0

E

λ ≠ µ (

C

C

( )

M₀ Ω_{λ µ,} λ ≠ µ

Γ X² Y² x₀²+y₀²

2x₀ --- X

– +y₀Y

– = 0

Γ Ox Oy OM₀ OM′₀

M₀M′₀ Γ

C

( ) (

C

IR² CI i 1 π 2⁄

Partie III -

On admet que le déterminant de Vandermonde

en les complexes , , , est nul si, et seulement si, deux au moins des sont égaux.

Dans cette partie et la suivante, on étudie un problème analogue à celui de la pre- mière, mais par une méthode sensiblement différente.

III.A - On s’intéresse à l’ensemble des parties de ayant une équation de

la forme où les réels , , et le complexe

ne sont pas tous les quatre nuls, et qui contiennent trois points , , non alignés donnés, d’affixes respectifs , , .

III.A.1) Vérifier que les éléments sont bien des coniques et donner une pro- priété commune de leurs axes.

III.A.2) Pour donné dans , on définit les matrices

et

a) Établir que la matrice est inversible. Quelle conclusion peut-on en tirer quant au rang de ?

b) On définit le -espace vectoriel . En donner la dimension.

Montrer que

est un sous-espace vectoriel de et en donner la dimension.

V z( ₁,z₂,z₃,z₄)

1 z₁ z₁² z₁³ 1 z₂ z₂² z₂³ 1 z₃ z₃² z₃³ 1 z₄ z₄² z₄³

=

z₁ z₂ z₃ z₄ z_i

E

Azz B z+ ( ²+z²)+Cz Cz D+ + = 0 A B D C M₁ M₂ M₃ z₁ z₂ z₃

E

z₄ CI

M

z₁z₁ z₁²+z₁² z₁ z₁ 1 z₂z₂ z₂²+z₂² z₂ z₂ 1 z₃z₃ z₃²+z₃² z₃ z₃ 1 z₄z₄ z₄²+z₄² z₄ z₄ 1

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

M˜

z₁ z₁ 1 z₂ z₂ 1 z₃ z₃ 1

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

M˜

M

IR E = IR IR× ×C IRI ×

S (A B C D, , , )∈E,∀i∈{1 2 3, , } Az, _iz_i+B z( ²_i +z_i²)+Cz_i+Cz_i+D = 0

⎩ ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

=

E

c) Montrer que le point d’affixe appartient à toutes les coniques éléments de si, et seulement si, le rang de est égal à . [Pour la condition néces- saire, on pourra faire intervenir un système linéaire bien choisi.]

III.B - On suppose dans cette question que les complexes , , sont égaux respectivement à , et , où et , , sont des réels.

III.B.1) Montrer qu’il existe un unique cercle dans et que si le point d’affixe appartient à toutes les coniques éléments de , alors est de la forme .

III.B.2) Soit le déterminant

Montrer que est de la forme , où s’exprime très sim- plement à l’aide de .

III.B.3) Montrer que la condition énoncée en III.A.2-c) est équivalente à la nul- lité de .

III.B.4)

a) En déduire l’ensemble des points communs aux coniques de . Discuter soigneusement le nombre d’éléments de cet ensemble.

b) Lorsque ce nombre est égal à , que peut-on dire des directions des bissectri- ces du couple de droites ?

III.C -

III.C.1) Généraliser les résultats de III.B.4 au cas où l’on ne fait plus l’hypo- thèse III.B. [On montrera comment on peut se ramener à ce cas.]

III.C.2) Soit trois points , , non alignés dans et une droite. Par , , , on mène la parallèle à la symétrique de la droite , , , par rapport à . Montrer que ces trois droites concourent. [On pourra commencer par le cas où est l’axe ; dans ce cas, il suffit d’utiliser les résultats de la partie III.]

M₄ z₄

E

M

z₁ z₂ z₃ aexp iθ( ₁) aexp iθ( ₂) aexp iθ( ₃) a 0> θ₁ θ₂ θ₃

E

z₄

E

aexp iθ( ₄)

D

z₁² z₁⁴+a⁴ z₁³ z₁ z₂² z₂⁴+a⁴ z₂³ z₂ z₃² z₃⁴+a⁴ z₃³ z₃ z₄² z₄⁴+a⁴ z₄³ z₄

=

D

V

V

D

E

4 M₁M₂,M₃M₄

( )

A B C P ( )∆ A

resp B⋅ resp C⋅ BC resp CA⋅

resp AB⋅ ( )∆

∆

( ) Ox

Partie IV -

On considère dans cette partie des équations de la forme

(1) où et sont deux complexes et un réel.

IV.A -

IV.A.1) Soit un réel et l’application de dans qui à associe . Montrer que, si a une équation de la forme (1), alors on peut choisir pour que ait une équation de la forme

où l’on ait de plus .

IV.A.2) En déduire la nature d’une telle partie de . [On pourra revenir en coordonnées cartésiennes.]

IV.B - Soit trois points , , non alignés donnés, d’affixes respectifs , , . On appelle l’ensemble des coniques de contenant ces trois points et ayant une équation de la forme (1). Soit un point de , d’affixe . Mon- trer que toutes les coniques de passent par si, et seulement si, le rang de la matrice

est égal à une valeur que l’on précisera.

IV.C - Dans cette question, on suppose que de plus , et sont de même module et ont pour produit.

IV.C.1) Déterminer deux complexes et tels que , et soient solu-

tions de .

Az²+Az ²+Bz Bz C+ + = 0

A 0≠ B C

θ Φ CI CI z z exp iθ( )

Γ

( )⊂P θ

Φ Γ( ) A′

--- z2( ²+z ²)+B′z B′z C ′+ + = 0 A′∈IR^+∗

Γ

( ) P

M₁ M₂ M₃ z₁

z₂ z₃

E

M₄ P z₄

E

M

z₁ ² z₁² z₁ z₁ 1 z₂ ² z₂² z₂ z₂ 1 z₃ ² z₃² z₃ z₃ 1 z₄ ² z₄² z₄ z₄ 1

=

z₁ z₂ z₃ a 0> a³

u v z₁ z₂ z₃ Z³–uZ²+vZ a– ³ = 0

IV.C.2) En déduire des complexes , , , tels que , et soient solu- tions de

IV.C.3) Grâce à des combinaisons linéaires bien choisies sur les rangées de , montrer que toutes coniques de passent par si, et seulement si,

(2) IV.C.4)

a) Montrer qu’il existe un polynôme à coefficients complexes, de degré , tel que (2) implique ; on donnera d’un tel polynôme les coefficients en

et en , en fonction de , et .

b) Déterminer les zéros de en en discutant la multiplicité. [On remarquera que trois zéros de sont déjà connus.] On ne demande pas de vérifier qu’inver- sement tous les complexes obtenus vérifient (2).

IV.C.5) On choisit .

a) Déterminer la valeur du produit scalaire . [On pourra intro-

duit le produit .]

b) Que représente pour le triangle ?

IV.D - Généraliser les résultats de IV.C.5-b) au cas où l’on ne fait plus l’hypo- thèse du IV.C.

••• FIN •••

α α′ β β′ z₁ z₂ z₃

H₁( )Z = Z²+αZ+β–aZ = 0 H₂( )Z Z α′ β′Z 1

a--- Z² –

+ + 0

= =

⎩⎪

⎨⎪

⎧

M

E

H₁(z₄) = H₂(z₄) = 0

ϖ Z( ) 4

ϖ z( ₄) = 0

Z⁴ Z³ a u v

ϖ ϖ

z₄ = z₁+z₂+z₃

M₁M₄,M₂M₃

〈 〉

z₄–z₁

( ) z( ₃–z₂)

M₄ M₁M₂M₃