Master MEEF Maths
UE2 Capes Externe
2016 -2017
Dossier Div 2 Thème : Conjecture et démonstration
L’exercice
Le point M appartient au quart de cercle
trigonométrique de centre O et de rayon OI = 1.
H est le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses (OI).
Du trajet rouge ou du trajet vert, quel est le trajet de H à M le plus court ?
La solution proposée par un élève de terminale S
Je cherche la solution de l’exercice avec un logiciel de géométrie dynamique .
En faisant bouger le point M sur le quart de cercle, je constate que le tracé rouge est plus long que le tracé vert lorsque M se déplace du point I à un point que je nomme L dont l’abscisse est environ égale à 0,51 .
Puis c’est le tracé vert qui est plus long, lorsque M se déplace du point L au point J.
J’essaie de démontrer ce que j’ai vu avec le logiciel.
Soit (𝑥 ; 𝑦) les coordonnées du point 𝑀 dans le repère (𝑂, 𝐼, 𝐽) . On a : OH + OM = 𝑥 + 1 et IH = 1 − 𝑥 .
Je ne sais pas calculer la longueur de l’arc IM .
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la production de cet élève en mettant en évidence ses compétences et en précisant l’aide qui pourrait lui permettre de mener à bien sa démarche.
2. Présenter, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, une animation permettant de valider la conjecture de cet élève.
3. Proposez une solution de cet exercice telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.
4. Proposez deux ou trois exercices sur le thème conjecture et démonstration, dont l’un au moins de niveau collège. Vous motiverez vos choix en précisant les objectifs visés par chacun d’eux.