Chapitre5-Les déterminants

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Ch.5 Déterminant

Mouanis Hakima Faculté des sciences Dhar Mahraz Fès

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16 mars 2020

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Plan

1. Définitions et propriétés

1.1 Méthode de Sarrus pour les matrices d’ordres 3

1.2 Déterminant des matrices carrées d’ordre n

2. Les transformations élémentaires de Gauss sur les déterminants

3. Le calcule de l’inverse

4. La résolution d’un système de Cramer avec le déterminant

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Déterminant des matrices carrées d’ordre 2

Définition 1.1 Soit A = a b c d

une matrice d’ordre 2. On appelle déterminant de A le nombre réel det(A) défini par

det(A) = ad − bc. Notation : det(A) = a b c d 3/13

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Exercice Soit A = a b c d

. Montrer que A et sa transposée :t_{A ont même}

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Déterminant des matrices carrées d’ordre 3

Définition 1.2

Soit une matrice d’ordre 3.

On appelle déterminant de A, le nombre det(A), défini par :

det(A) = a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11 a22 a23 a32 a33 −a21 a12 a13 a32 a33 +a31 a12 a13 a22 a23 Remarque 1.1 On remarque que det(A) = a11 a22 a23 a32 a33 − a21 a12 a13 a32 a33 + a31 a12 a13 a22 a23 = −a12 a21 a23 a31 a33 + a22 a11 a13 a31 a33 − a32 a11 a13 a21 a23

Pratiquement, on peut toujours choisir une ligne ou bien une colonne qui

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Méthode de Sarrus pour les matrices d’ordres 3

Méthode de Sarrus pour les matrices d’ordre 3

On ajoute les deux premières colonnes de A au déterminant de A pour chacun des deux tableaux suivants

&a &a0 &a00 a a0 b &b0 &b00 &b b0 c c0 &c00 &c &c0

a a0 a00. a. a0. b b0. b00. b. b0 c. c0. c00. c c0

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Déterminant des matrices carrées d’ordre n

Définition 1.3

Soit A = (aij) une matrice carrée d’ordre n ≥ 2. Pour tout terme aij de

la matrice A, on note Aij la matrice obtenue de A en enlevant à celle-ci

la ligne Li et la colonne Cj.

On appellecofacteurde aij le nombrecof (aij) = (−1)i+jdet(Aij).

On appellecomatrice de Ala matriceCom(A) = (cof (aij)).

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Définition 1.4

Soit A = (aij) une matrice carrée d’ordre n.

1 Soit 1 ≤ t ≤ n. On a :

det(A) = n X

s=1

astcof (ast). (d´eveloppement suivant la colonne Ct)

2 Soit 1 ≤ s ≤ n. On a :

det(A) = n X

t=1

astcof (ast). (d´eveloppement suivant la ligne Ls)

Théorème 1.1

Soit A = (aij) une matrice carrée d’ordre n.

t_{Com(A)A = det(A)I}

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Proposition 2.1

1 Un déterminant d’ordre n est transformé en son opposé lorsqu’on

échange deux colonnes .

2 Un déterminant d’ordre n est multiplié par λ si on multiplie les

termes d’une de ses colonnes par λ.

3 _{Un déterminant d’ordre n est multiplié par λ}n _{si on multiplie tous}

ses termes par λ .

Remarque 2.1

Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure ou bien inférieure est égale au produit des éléments de sa diagonale

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Propriété 2.1

Le déterminant d’une matrice carrée ne change pas si on effectue les transformations élémentaires suivantes :

Li→ Li+

X

j6=i βjLj

Exercice

Calculer le déterminant de la matrice suivante : A =   2 0 5 1 2 0 3 1 −2  

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Propriété 2.2

1 Un déterminant est nul s’il contient une ligne nul ou bien une

colonne nul.

2 un déterminant est nul si une ligne ( respectivement une colonne)

égale à une autre ligne (repectivement une autre colonne)

3 Un déterminant d’ordre n est nul dès qu’une de ses colonnes(resp.

ligne) est combinaison linéaire de ses autres colonnes (resp. ligne).

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Proposition 3.1

Une matrice carée A est inversible si et seulement si son déterminant

det(A) est non nul. Dans ce cas A−1₌ 1

det(A) t

(com(A)).

Exercice

Calculer l’inverse de la matrice carré d’ordre 2 : A =

3 2

1 4

Montrer que la matrice B =   1 1 1 0 1 1 0 0 1 

est inversible et calculer son

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Proposition 4.1

Soit Σ un système de n équations et n inconnues et de matrice élargie (A|b) où b = (b1, ...bn).

Pour tout 1 ≤ j ≤ n, on note par

XAi la matrice obtenue à partir de A on remplaçant la jième colonne

par b

X∆x_j = det(Aj) et ∆ = detA.

Σ est un système de Cramer si, et seulement si, A est inversible si, et seulement, si ∆ 6= 0

et dans ce cas si (x1, ..., xn) est la solution de Σ alors pour tout 1 ≤ j ≤ n

xj=

∆xj ∆