EVOLUTION D UN MARCHE IMMOBILIER DU DISCRET AU CONTINU
Dans un pays fictif, les prix de l immobilier progressent depuis 2008 de 20% par an.
Un appartement a été estimé à 100 000 unités monétaires (u.m.) au 1er janvier 2011.
L’instant t = 0 est le 1er janvier 2011. On note v(t) la valeur du bien en centaines de milliers d u.m. à l instant t (en années).
On suppose que sur des intervalles de temps de même durée, le coefficient multiplicateur de la population est le même.
On parle de croissance exponentielle.
1. Pour tout entier naturel n, on note un le prix du bien en centaines de milliers d u.m. n années après 2011. Ainsi un v(n).
a. Donner u0 et calculer u1 et u2. Interpréter.
b. Quelle est la nature de la suite
( )
un ? Exprimer un en fonction de n.c. Compléter les colonnes t 0, 1, 2, 3 et 4 du tableau en bas de la page.
2. Calculer v( 1) et v( 2) et interpréter. Compléter les colonnes correspondantes dans le tableau.
3. Le propriétaire souhaite connaître la valeur de l appartement au 1er juillet 2011.
a. Par quel coefficient est multiplié le prix de l appartement en 6 mois ? En déduire le taux d évolution du prix en 6 mois.
b. En déduire v(0,5) et interpréter.
c. Calculer de même v(1,5), v(2,5), v(3,5) et interpréter.
d. Compléter les colonnes correspondantes dans le tableau.
e. Calculer v( 0,5), interpréter et compléter la colonne du tableau correspondante.
4. On cherche maintenant à observer l évolution mensuelle de la valeur de l appartement.
a. Vérifier que le prix de l appartement augmente d environ 1,53% par mois.
b. En déduire la valeur de l appartement au 1er février 2011 puis au 1er mars 2011.
Compléter les colonnes du tableau correspondantes.
t 0 1/12 2/12 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
prix en centaines de milliers
d u.m.
5. On place les points du tableau dans un repère. Que voit-on apparaître dans le repère ? Il semble donc naturel d’envisager une fonction P continue qui à un réel t associe le prix de l appartement à l instant t. Pour les nombres entiers, on a P(t) = 1,2t.
6. La calculatrice permet de calculer 1,2t pour tout réel t. Faire afficher la courbe et le tableau de valeurs de cette fonction entre 2 et 4 avec un pas de 1
12 et comparer avec les résultats obtenus précédemment.
t Prix en centaines de
milliers d u.m.
