DU DISCRET AU CONTINU.
Une enquête téléphonique auprès de foyers dont les mensualités de remboursement de crédit sont comprises entre 100 et 400 euros par mois a été réalisée pour connaître plus précisément le montant de leurs mensualités. La répartition des mensualités de ces foyers est résumée dans le tableau des fréquences ci-dessous :
.
Mensualité en dizaine d euros
[10 ; 11[ [11 ; 12[ [12 ; 13[ [13 ; 14[ [14 ; 15[ [15 ; 16[ [16 ; 17[ [17 ; 18[ [18 ; 19[ [19 ; 20[
Fréquence 0,121 0,101 0,085 0,073 0,063 0,056 0,049 0,044 0,039 0,035
Mensualité en dizaine d euros
[20; 21[ [21; 22[ [22; 23[ [23; 24[ [24; 25[ [25; 26[ [26; 27[ [27; 28[ [28; 29[ [29; 30[
Fréquence 0,032 0,029 0,026 0,024 0,022 0,021 0,019 0,018 0,016 0,015 Mensualité en
dizaine d euros
[30 ; 31[ [31 ; 32[ [32 ; 33[ [33 ; 34[ [34 ; 35[ [35 ; 36[ [36 ; 37[ [37 ; 38[ [38 ; 39[ [39 ; 40[
Fréquence 0,014 0,013 0,013 0,012 0,011 0,011 0,010 0,010 0,009 0,009
On a représenté ci-dessous ces données par un histogramme :
On interroge au hasard une des personnes auprès desquelles a été réalisée l'enquête.
On choisit, comme loi de probabilité sur l'univers de cette expérience aléatoire, la distribution des fréquences donnée par le tableau et on appelle X la variable aléatoire qui représente le montant mensuel du remboursement en dizaines d'euros.
1. Quel est l'ensemble des valeurs prises par X ?)
2. Déterminer la probabilité de chacun des événements : (X 15) ; (X 36); (13 X 18).
3. Que vaut l'aire totale de l'histogramme ?
4. Que pensez-vous de la probabilité de l'événement (X = 13,986) ? On cherche maintenant à déterminer la probabilité de l'événement (X 24,7).
On admet qu'en diminuant progressivement les amplitudes des intervalles de l'histogramme, les rectangles constituant cet histogramme seront de largeur presque nulles et toutes égales. Les « sommets » de ces rectangles seront des points tellement rapprochés qu'ils formeront une courbe, dite courbe de tendance de l'histogramme.
On admet ici que cette courbe est la représentation graphique de la fonction définie sur l'intervalle [10 ; 40] par f( x)
x² . Cette représentation graphique est tracé sur le graphique précédent.
5. Vérifier que
ftdt 1.
6. Comment à partir de la courbe peut-on retrouver les probabilités obtenues en 2 ? 7. Déterminer alors P(X 24,7) et P(15,3 X 34,8).
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
DU DISCRET AU CONTINU.
CORRECTION
1. X prend les valeurs de l intervalle [10 ; 40[. X peut dont prendre une infinité de valeurs : on observe un paramètre continu.
2. P( X 15) 0,121 0,101 0,085 0,073 0,063 0,443.
P( X 36) 0,038 P(13 X 18) 0,285
3. L'aire totale de l'histogramme est 1.
4. P(X = 13,986) = 0.
5.
ftdt
10 40 40
3x²
dx
40
3
1 x
1040
1
3 4 3 1.
6. P( X 15)
10
15
f( x)dx 4
9 0,444 P( X 36)
36
40
f( x)dx 0,037 P(13 X 18)
13
18
