Rendements asymétriques et volatilité multifractale

Rendements asymétriques et volatilité multifractale

Emmanuel Bacry (École Polytechnique) Laurent Duvernet (Université Paris-Est MLV et École

Polytechnique)

Jean-François Muzy (Université de Corse)

Jeunes probabilistes et statisticiens Le Mont-Dore, mai 2010

Faits stylisés

Prenons un actif etX(t) =log p(t)

son log-prix à la datet.

Quelle que soit l’échelleτ de cinq minutes à un an,

I la série des rendements à l’échelleτ δ_τX(kτ) =X (k+1)τ

−X kτ

, k =0, . . . est centrée et décorrélée.

I La corrélation de la série des volatilités réalisées δ_τX(kτ)2

décroît lentement (persistence, clusters).

I La distribution deδτX(kτ)présente des queues lourdes.

I On constate uneffet de levier, c’est-à-dire une corrélation négative entre les rendements passés et les volatilités futures (actions, indices). Il n’y a pas de corrélation en sens inverse.

I À chaque échelle de temps, on a une imbrication de phases d’activités intenses et de phases plus paisibles : invariance d’échelle multifractale.

I Également : la distribution deδτX(kτ)semble s’approcher d’une gaussienne quandτ croît, la densité de la volatilité est raisonnablement bien approchée par une loi

lognormale...

Question : peut-on construire un processus à temps continu X(t)“simple” qui reflèterait ces faits stylisés ?

Effet de levier sur le CAC40

−100 −50 0 50 100

−0.10−0.050.000.05

Lag

Corrélation

Plan

Le cadre de l’analyse multifractale

Modèles aléatoires multifractals Modèle symétrique

Modèle asymétrique

Le cadre de l’analyse multifractale

Modèles aléatoires multifractals Modèle symétrique

Modèle asymétrique

Invariance d’échelle des moments

I Pour une gamme d’échelleτ →0 et d’exposantsp, on observe que

τ T

T/τ

X

k=0

δ_τX(kτ)

p≈c(p)τ^ζ(p).

I SiX est par exemple un processus autosimilaire, ζ(p) =pH, oùHest l’indice d’autosimilarité deX.

I Mais sur les données financières, on trouve des fonctions ζ(p)strictement concaves :scalingmultifractalvsscaling monofractal.

Scaling multifractal du CAC40

1 2 5 10 20 50 100

1e−081e−051e−021e+011e+04

Echelle tau (en jours)

Moment empirique

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p=−1

p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5

Scaling multifractal du CAC40

−1 0 1 2 3 4 5

−1012

p

zeta(p)

Scaling des moments et régularité locale

I Au pointt₀,X a la régularitéα >0 si

|X(t₀+s)−X(t₀)|=O(|s|^α) pours→0.

Plusαest grand, plus la trajectoire deX est "lisse" au voisinage det₀. Par exemple, un mbs a une régularité 1/2 en toutt≥0, un mb fractionnaire d’exposantHa une régularitéH ∈(0,1)en toutt≥0.

I Cadre multifractal : on aun ensemble de régularités

locales[α∗, α^∗], chacune portée par un ensemble de points qui est fractal.

Conjecture de Frisch-Parisi (1985) : soitα7→D(α)la dimension de Hausdorff de l’ensemble de niveau des pointst où la régularité vautα. AlorsD(α)etζ(p)sont des fonctions concaves reliées par une transformée de

Legendre(démonstrations rigoureuses : Jaffard 2000, Barral et Mandelbrot 2002).

Scaling des moments et régularité locale

I Au pointt₀,X a la régularitéα >0 si

|X(t₀+s)−X(t₀)|=O(|s|^α) pours→0.

Plusαest grand, plus la trajectoire deX est "lisse" au voisinage det₀. Par exemple, un mbs a une régularité 1/2 en toutt≥0, un mb fractionnaire d’exposantHa une régularitéH ∈(0,1)en toutt≥0.

I Cadre multifractal : on aun ensemble de régularités

locales[α∗, α^∗], chacune portée par un ensemble de points qui est fractal.

Conjecture de Frisch-Parisi (1985) : soitα7→D(α)la dimension de Hausdorff de l’ensemble de niveau des pointst où la régularité vautα. AlorsD(α)etζ(p)sont des fonctions concaves reliées par une transformée de

Legendre(démonstrations rigoureuses : Jaffard 2000, Barral et Mandelbrot 2002).

Scaling des moments et autosimilarité

I Autosimilarité au sens classique : pour toutr ∈[0,1]

X(rt),0≤t≤Tlaw

= r^H X(t),0≤t ≤T . Cela implique le scaling monofractal des moments théoriques :E

|X(t)|^p

=c_pt^Hp

I Autosimilarité "stochastique" (Castaing 1990) : pour tout r ∈[0,1]

X(rt),0≤t ≤Tlaw

= r^HWr X(t),0≤t≤T , avecWr une v.a. positive d’espérance 1, indépendante de X.

AlorsW_rW_r^{0 law}= W_r+r⁰, d’où on déduit queW_r est l’exponentielle d’une loi infiniment divisible.

E W_r^p

=r^−ψ(p),ψétant l’exposant de la formule de Lévy-Khinchine.

I Prenonsr =t/T : E

|X(t)^p|

=E

|X(T)|^p

T^−Hp+ψ(p)t^Hp−ψ(p).

Scaling des moments et autosimilarité

I Autosimilarité au sens classique : pour toutr ∈[0,1]

X(rt),0≤t≤Tlaw

= r^H X(t),0≤t ≤T . Cela implique le scaling monofractal des moments théoriques :E

|X(t)|^p

=c_pt^Hp

I Autosimilarité "stochastique" (Castaing 1990) : pour tout r ∈[0,1]

X(rt),0≤t ≤Tlaw

= r^HWr X(t),0≤t≤T , avecWr une v.a. positive d’espérance 1, indépendante de X.

AlorsW_rW_r^{0 law}= W_r+r⁰, d’où on déduit queW_r est l’exponentielle d’une loi infiniment divisible.

E W_r^p

=r^−ψ(p),ψétant l’exposant de la formule de Lévy-Khinchine.

I Prenonsr =t/T : E

|X(t)^p|

=E

|X(T)|^p

T^−Hp+ψ(p)t^Hp−ψ(p).

Scaling des moments et autosimilarité

I Autosimilarité au sens classique : pour toutr ∈[0,1]

X(rt),0≤t≤Tlaw

= r^H X(t),0≤t ≤T . Cela implique le scaling monofractal des moments théoriques :E

|X(t)|^p

=c_pt^Hp

I Autosimilarité "stochastique" (Castaing 1990) : pour tout r ∈[0,1]

X(rt),0≤t ≤Tlaw

= r^HWr X(t),0≤t≤T , avecWr une v.a. positive d’espérance 1, indépendante de X.

AlorsW_rW_r^{0 law}= W_r+r⁰, d’où on déduit queW_r est l’exponentielle d’une loi infiniment divisible.

E W_r^p

=r^−ψ(p),ψétant l’exposant de la formule de Lévy-Khinchine.

I Prenonsr =t/T : E

|X(t)^p|

=E

|X(T)|^p

T^−Hp+ψ(p)t^Hp−ψ(p).

Le cadre de l’analyse multifractale

Modèles aléatoires multifractals Modèle symétrique

Modèle asymétrique

Le cadre de l’analyse multifractale

Modèles aléatoires multifractals Modèle symétrique

Modèle asymétrique

Modèle de Mandelbrot

I On poseX(t) =B θ(t)

,t≥0, oùB est un mbs, etθest un changement de temps (positif, croissant) indépendant deBet qui satisfaitE

θ(t)

=t.

I Les propriétés d’autosimilarité deX se déduisent de celles deθvia le scaling du brownien.

I Les seuls processusθconnus qui satisont une forme d’autosimilarité stochastique sont des processus de cascades aléatoires (Mandelbrot 1971, Calvet et Fisher 2000, Bacry et Muzy 2002).

Ces cascades ont la particularité dene pas être

absolument continues :X(t)est une martingale continue, mais pas une martingale d’It ¯o.

Cascade continue lognormale

On définit (cf. Bacry et Muzy 2002)θ(t) =lim_l→0Rt

0e^al(u)du, où pourl>0,a_l(u)est un processus gaussien stationnaire, tel que

I E[a_l(u)] =−1/2Var[a_l(u)], si bien queE e^al(u)

=1

I sa covariance asymptotique est quandl→0

Cov[a_l(0),a_l(u)]↑

λ²log(T/|u|) si 0<|u| ≤T

0 si|u| ≥T.

I pourr ∈(0,1)

a_rl(ru),0≤u≤Tlaw

= wr + a_l(u),0≤u≤T oùw_r ∼ N(λ²/2 log(r),−λ²log(r))est indépendante dea_l. Cela donne la propriété d’autosimilarité stochastique.

Cascade continue lognormale

On définit (cf. Bacry et Muzy 2002)θ(t) =lim_l→0Rt

0e^al(u)du, où pourl>0,a_l(u)est un processus gaussien stationnaire, tel que

I E[a_l(u)] =−1/2Var[a_l(u)], si bien queE e^al(u)

=1

I sa covariance asymptotique est quandl→0

Cov[a_l(0),a_l(u)]↑

λ²log(T/|u|) si 0<|u| ≤T

0 si|u| ≥T.

I pourr ∈(0,1)

a_rl(ru),0≤u≤Tlaw

= wr + a_l(u),0≤u≤T

oùw_r ∼ N(λ²/2 log(r),−λ²log(r))est indépendante dea_l. Cela donne la propriété d’autosimilarité stochastique.

Intérêt du modèle lognormal

I Le modèle ne repose que sur les paramètresT etλ², typiquement sur des données financièresT 'un an, λ²'0.04.

I Il vérifie la propriété d’autosimilarité stochastique, et reproduit bien les fait stylisés observés sur les cours d’actifs financiershors asymétrie(Bouchaud et Potters 2003).

I Applications par ex. en prévision de volatilité (Calvet et Fisher 2008, Bacry, Kozhemyak et Muzy 2009, Duchon, Robert et Vargas 2009).

I Extensions directes au cas log-infiniment divisible.

Le cadre de l’analyse multifractale

Modèles aléatoires multifractals Modèle symétrique

Modèle asymétrique

Intégrale contre un mBf

I Nous étudions

X^H(t) = lim

l→0

Z t

0

e^al(u)dB^H(u);

c’est un modèle déjà évoqué dans la littérature dans le cas oùa_l etB^H sont indépendants (Ludña 2008, Abry,

Chainais, Coutin et Pipiras 2009).

I Nous construisonsa_l etB^Hde telle sorte quedB^H(t)soit corrélé négativement aveca_l(t+s)pours >0 (mais ils sont indépendants pours<0).

I Nous arrivons à obtenir la propriété d’autosimilarité stochastique.

I Un problème pour la modélisation de données financières vient de la corrélation des accroissements deB^H qui se retrouve dans celle des accroissements deX^H.

Choix de H

I Scaling du moment d’ordre 2 :E

X^H(t)²

=c_H(2)t^2H−λ2. On examine donc le régime 2H−λ²≈1.

I Posonsd =2H−λ²−1. (Le processusX^Hn’est bien défini que sid >0.)

I Nous obtenons quandd ↓0 :

Corr

δ_τX^H(0), δ_τX^H(kτ)

∼d pourk ≥1 Corr

δ_τX^H(0), δ_τX^H(kτ)²

∼d^1/2 pourk ≥0 Corr

δ_τX^H(0), δ_τX^H(kτ)²

∼d^3/2 pourk ≤ −1.

I Un régimed ≈0.03 permet d’obtenir à la fois un leverage effect mesurable, et des incréments quasi-décorrélés.

Résultats de simulation

De haut en bas,d =0.01, 0.03, 0.06. À gauche, l’autocorrélogramme des rendements, à droite, le corrélogramme des rendements et de leurs carrés.

0 20 40 60 80 100

0.000.10

−100 −50 0 50 100

−0.200.00

0 20 40 60 80 100

0.000.10

−100 −50 0 50 100

−0.200.00

0 20 40 60 80 100

0.000.10

−100 −50 0 50 100

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