D104-Périmètre minimum Solution
Soient P,Q et R trois points quelconques placés respectivement sur les côtés BC, AC et AB.
On considère S et T les deux points symétriques de P par rapport aux côtés AB et AC.
Comme QP = QS et RP = RT, le périmètre PQR est égal à la longueur de la ligne brisée SQRT. Celle-ci est de longueur minimale si S,Q,R,T sont alignés.
Le cercle (C) de centre A et de rayon AP passe par S et T. L’angle SAT est le double de l’angle BAC. Quand P varie sur BC, cet angle reste donc constant. La corde SQRT est donc minimale si le rayon du cercle (C) est lui-même minimal, ce qui est le cas quand AP est perpendiculaire à BC. Le même raisonnement montre que Q et R sont les pieds des hauteurs issues de B et de C. Le triangle PQR est donc le triangle orthique représenté ci-après :
