D1808. Les cercles d'orthiculture Problème proposé par Pierre Leteurtre
Dans un triangle ABC, on désigne respectivement par HA, HB et HC les pieds des hauteurs issues des sommets A, B et C sur les droites (BC, (CA) et (AB).
Q1 - Démontrer que les points d'intersection des droites (HAHB), (HBHC) et (HCHA) avec,respectivement, les droites (AB),(BC) et (CA) sont alignés sur une droite*** appelée (Δ).
*** Nota pour les plus curieux: donner une justification du titre
On désigne par MA, MB et MC les milieux des côtés BC,CA et AB puis par KA,KB et KC les points
d'intersection des droites (AHA), (BHB) et (CHC) avec,respectivement,les perpendiculaires issues de MA, MB et MC à (Δ).
Q2 - Démontrer que les cercles (HAMAKA), (HBMBKB) et (HCMCKC) ont même rayon.
Q1) Je pose cotan A = α, cotan B = β, cotan C = γ
On doit montrer que 3 points Pa, Pb, Pc sont alignés. Or Pa est conjugué harmonique de Ha par rapport aux points B et C . Les points Pc, Pb, Pa ont pour coordonnées barycentriques :
(α , -β, 0), (α , 0, -γ), (0, β, -γ). Ils sont alignés sur la droite Δ d'équation βγx+αγy+αβz = 0.
Cette droite Δ est la polaire triangulaire de l'orthocentre, c'est l'axe orthique, c'est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler (page 83 du livre de J.D. EYDEN).
Q2) La droite qui joint les centres O du cercle circonscrit et ω du cercle d'Euler est perpendiculaire à cet axe radical, elle passe aussi par l'orthocentre H. Donc OH et MAKA sont parallèles. D'autre part OMA et HKA sont perpendiculaires à BC donc parallèles. OHKAMA est un parallélogramme.
MAKA= OH. Les cercles (HAMAKA), (HBMBKB) et (HCMCKC) ont pour diamètres MAKA, MBKB et MCKC .
Ils ont le même rayon égal à (OH)/2 = Oω = ωH
