دالة عدد القواسم الواحدية لعدد طبيعي

Ministère de l’Enseignement Supérieur

et de la Recherche Scientifique École Normale Supérieure

-Vieux Kouba- (Alger) Département de Mathématiques

ﺚﺤﺒﻟﺍﻭ ﻲﻟﺎﻌﻟﺍ ﻢﻴﻠﻌﺘﻟﺍ ﺓﺭﺍﺯﻭ ﻲﻤﻠﻌﻟﺍ

ﺓﺬﺗﺎﺳﻸﻟ ﺎﻴﻠﻌﻟﺍ ﺔﺳﺭﺪﻤﻟﺍ (ﺮﺋﺍﺰﺠﻟﺍ) − ﺔﻤﻳﺪﻘﻟﺍ ﺔﺒﻘﻟﺍ −

ﺕﺎﻴﺿﺎﻳﺮﻟﺍ ﻢﺴﻗ

ﻂﺳﻮﺘﻤﻟﺍ ﻢﻴﻠﻌﺘﻟﺍ ﺫﺎﺘﺳﺃﺓدﺎﻬﺷ ﻞﻴﻨﻟ ﺝﺮﺨﺗ ﺓﺮﻛﺬﻣ

ﻲﻌﻴﺒﻃ دﺪﻌﻟ ﺔﻳﺪﺣﺍﻮﻟﺍ ﻢﺳﺍﻮﻘﻟﺍ دﺪﻋ ﺔﻟﺍد

:ﺓﺫﺎﺘﺳﻷﺍ ﻑﺍﺮﺷﺇ ﺖﺤﺗ :دﺍﺪﻋﺇ ﻦﻣ

ﺕﻮﺤﻠﺑ ﻲﻤﻟﺎﺳﻮﺑ ^⋆ ﻯﺪﻫ ﻢﻫﺎﻓ ^⋆

ﻢﻳﺮﻣ ﻲﻧﺪﻣ ^⋆

ﻩ¹⁴³⁷ ﻥﺎﺒﻌﺷ ²⁵ﻝ ﻖﻓﺍﻮﻤﻟﺍ ﻡ²⁰¹⁵ﻥﺍﻮﺟ¹⁴ﻡﻮﻳ ﺶﻗﺎﻨﺗ :ﺔﺸﻗﺎﻨﻤﻟﺍ ﺔﻨﺠﻟ ﻡﺎﻣﺃ

ﺎﺴﻴﺋﺭ . .. . . . .. . . .. ﺓﺬﺗﺎﺳﻸﻟ ﺎﻴﻠﻌﻟﺍ ﺔﺳﺭﺪﻤﻟﺎﺑ ﺫﺎﺘﺳﺃ . . . ﻢﻳﺮﻛ ﻥدﻭﻮﺑ ¹ ﺎﻨﺤﺘﻤﻣ . . . ﺓﺬﺗﺎﺳﻸﻟ ﺎﻴﻠﻌﻟﺍ ﺔﺳﺭﺪﻤﻟﺎﺑ ﺫﺎﺘﺳﺃ . . . ﺮﻫﺎﻃ ﻲﻤﻴﻫﺍﺮﺑ ²

ﺎﻓﺮﺸﻣ . . . ﺓﺬﺗﺎﺳﻸﻟ ﺎﻴﻠﻌﻟﺍ ﺔﺳﺭﺪﻤﻟﺎﺑ ﺓﺫﺎﺘﺳﺃ . . . ﺕﻮﺤﻠﺑ ﻲﻤﻟﺎﺳﻮﺑ ³

2015/2014:ﺔﻴﻌﻣﺎﺠﻟﺍ ﺔﻨﺴﻟﺍ

2015:ﻥﺍﻮﺟ ﺔﻌﻓد

d^∗ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ €Qê ®Ë@

€Qê ®Ë@

03 . . . éÓY®Ó ¹

04 . . . éJ m'PAK émÙÛ ¹

Èð

B@ ɒ ®Ë@

HAJÓñÔ«ð ­KPAªK

07 . . . éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ ¹

07 . . . AJÊ¿ éJK.Qå ”Ë@ ð éJK.Qå ”Ë@ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ ²

07 . . . éJK.Qå ”Ë@ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ ^1.2

08 . . . AJÊ¿ éJK.Qå ”Ë@ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ ^2.2

09 . . . AJÊ¿ éJK.Qå • I‚Ëð éJK.Qå • È@ðYË éÊJÓ

@ ^3.2

12 . . . éKQ ¢ ^4.2

13 . . . l .'AJ K ^5.2

15 . . . AJÊ¿ éJªÔm.Ì'ð éJªÔm.Ì'@ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ ³

15 . . . éJªÔm.Ì'@ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ ^1.3

16 . . . AJÊ¿ éJªÔm.Ì'@ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ ^2.3

17 . . . éJ®J®k éJËAJJÖÏ úÎ ®‚Ë@ ð AJʪË@ éKAî DË@ ⁴

17 . . . éJ®J®k éJËAJJÖÏ úÎ ®‚Ë@ ð AJʪË@ éKAî DË@ ^1.4

20 . . . úÎ ®‚Ë@ ð AJʪË@ HAKAî DËAK. é®ÊªJÖÏ@ HAKQ ¢ JË@ ‘ªK. ^2.4

22 . . . X@Y«

B@ éKQ ¢ JË èQîD„Ë@ È@ðYË@ ‘ªK. ⁵

22 . . . ^π(x) éË@YË@ ^1.5

23 . . . ^θ(x) éË@YË@ ^2.5

d^∗ éJK.A‚mÌ'@ éË@YË@ €Qê ®Ë@

ÿ AJË@ ɒ ®Ë@

d^∗ ùªJJ.£ XYªË éKYg@ñË@ Õæ…@ñ®Ë@ XY« éË@X

25 . . . ùªJJ.£ XYªË éKYg@ñË@ Õæ…@ñ®Ë@ XY« éË@X ¹

26 . . . éJK.Qå • éJK.A‚k éË@X ^d∗ éË@YË@ ²

28 . . . l .'AJ K ³

29 . . . úξKQKYË ­ÊË@ Z@Yg. ⁴

32 . . . ^d∗ éË@YÊË úÎ ®‚Ë@ éKAî DË@ ⁵

IËAJË@ ɒ ®Ë@

d^∗ éË@YÊË øQ.ºË@ I.K@QÖÏ@

41 . . . YJêÖß ¹

41 . . . éJ£ñK ²

44 . . . ^f∗ Ë AJʪË@ éKAî DË@ ³

49 . . . ^d∗ éË@YÊË øQ.ºË@ I.K@QÖÏ@ ⁴

50 . . . éÒKA mÌ'@

51 . . . ©k.@QÖÏ@

éÓ Y®Ó

éÓ Y®Ó

@ Yëð , ÉKñ£ I¯ð Y JÓ @ Yëð áJKAJ “AKQË@ áJkAJ.Ë@ áÓ YKYªË@ ÐAÒJë@ X@Y«B@ éKQ ¢ ‘’ m' H. Yg. Y®Ë AîD•@ñ k ÉÒªJ‚ IJk, X@Y«

CË éJÊJÊjJË@ éKQ ¢ JË@ ú ¯ AÒêÓ @PðX I.ªÊK éJK.A‚mÌ'@ È@ðYË@ à

@ úÍ@ ©k.@P ÈAj.ÖÏ@ i‚ ®K Aî DÓ Yg@ð É¿ð ,@ Yë A JJm'. ÉJ.¯ èYKY« HñjJ.K. ¨ñ “ñÖÏ@ @ Yë ù ¢k Y®Ë . éÒêÓ l.'AJ K HAJ.KB XY« Õæ…@ñ¯ XY« éË@X ^(d) éË@YË@ éƒ@PX YªJ. ¯ .éJ ¯ ©ƒñJË@ ɓ@ñJË ð

@ é®J.ƒ AÓ úÍ@ ­J ’JË èYªK. úGAK ø YÊË . ^{(d∗) n} ùªJJ.£ XYªË éKYg@ñË@ Õæ…@ñ®Ë@ XY« éË@X úΫ Zñ ’Ë@ ¡Ê‚ à

@ A JK

AKP@ ⁿ ùªJJ.£

: Èñ’ ¯ ³ úÍ@ IjJ.Ë@ @ Yë A J҂® ¯ éJªÔg. , éJK.Qå • ⁾ AîD”A’ k Ñë

@ ð éJK.A‚mÌ'@ È@ðYË@ Èñk ­KPAªJË@ ð ÕæëA ®ÖÏ@ Ñë@ ÈðB@ ɒ ®Ë@ ú ¯ A Jk.PX

@ . ^{( . . .} , AJÊ¿ éJK.Qå •,

†Q¢. AJK.Qå • A JƒPXAÒ» éJËð

B@ Õæ®Ë@ ‘ªK. AîEA¢«@ ð ^d∗ éË@YËAK. ­KQªJÊË èA J’’ k Y® ¯ ú GAJË@ ɒ ®Ë@ AÓ@

. AêËñk l .'AJ JË@ ‘ªK. C jJƒ@ ð é ®ÊJ m×

: éË@YËAK. @ Yë ú ¯ á JJªJ‚Ó ^d∗ éË@YÊË øQ.ºË@ I.K@QÖÏ@ éƒ@PYK. A JÔ¯ Y® ¯ IËAJË@ ɒ ®Ë@ ú ¯ AÓ@

f^∗(n) = ln(d^∗(n))ln(n) ln(ln(n))

.

3

éJ m'PAK éjÖÏ

éJ m'PAK éjÖÏ

éJ m'PAK éjÖÏ .

ð PAJ.ºË@ áJ “AKQË@ áÓ YKYªË@ AîDƒ@PYK. Õæë@ Y¯ ð , X@Y«B@ éKQ ¢ ú ¯ èQîD„Ë@ È@ðYË@ áK. áÓ ^d∗(n) Q.JªK : Q» Y K Ñî DJK. áÓ

:

àAg.ñ KAÓ@P @ PA ®J KQå…

: éKAJk

რ©ÊK. AÓY J« éJ.ë@ñÓ Qê ¢ H

@YK. Y¯ ð , Y JêË@ H.ñ Jm. ' èQ® ¯ éÊKA« ú ¯ Ð ¹⁸⁸⁷ é Jƒ àAg.ñ KAÓ@P YËð

‘ªK. úΫ øñJm' éJ “AKP é ªJ“ ð éKQ ¢ ⁶⁰⁰⁰ úÍ@ñk Õæ ” H.AJ» úΫ ɒm' Ð ¹⁹⁰² ÐA« ú ¯ ð , éªK.A‚Ë@

. èQ’®Ë@ áë@Q.Ë@

ék.PYË@ áÓ HBYªÖÏ@ Ég ÈðAg ð éJËAJË@ ék.PYË@ áÓ éËXAªÓ Ég é®KQ£ XAm.'@ úΫ H.AJºË@ ½Ë X èY«Aƒ

, éJƒ@PX éj JÓ úΫ éJË@ñÖÏ@ é J‚Ë@ ú ¯ ɒk ð Pð Ym.Ì'@ 颃@ñK. ÉJj‚Ó ½Ë X à

@ ÕΪK áºK ÕË X@ é‚ÓA mÌ'@

ɓ@ð ½Ë X Ñ «P ð , X@ñÖÏ@ áÓ AëQ « àðX HAJ “AKQËAK. Bñ ª ‚Ó àA¿ é K

B éJË@ñÖÏ@ é J‚Ë@ ú ¯ AëY® ¯ é JºË ð , ÕËAªË@ Q.« É®mÌ'@ @ Yë ú ¯ HAm'.

@ ð HAƒ@PX áÓ øQm.' AÖß. ÕΫ àðX éJÓA’« é®KQ¢. éJ “AKQË@ éKAm'.

@ . ^π Q ªÊË@ XYªËAK. é®ÊªJÖÏ@ éËAÔ«

@ ú ¯ àAg.ñ KAÓ@P éKQ®J.« ©¯@ñË@ ú ¯ HQê £

: éJƒ@PX

ú愃ñÓ Yg@ , ðð@P @PY J ƒAÓ@P úæ •AKQË@ Ñ«X Ñ «P AîE. Q ®K ÕË é K

@ Q « éJƒ@PX éj JÓ I.Ê£ Y¯ àAg.ñ KAÓ@P àA¿

. éKY KA‚Ó @Y ƒA K àAg.ñ KAÓ@P éK. ɒ@ ø YË@ éKY JêË@ éJ “AKQË@ éJªÒm.Ì'@

èA JJ« Ð@Y JêË@ ­J ¢ Q « ð ‡ËAg Q « àAg.ñ KAÓ@P úΫ É gX ^” : éÊK.A®ÖÏ@ è Yë Èñk ðð@P XAJƒB@ Èñ®K ð . éKA ¯A ‚» @ áÓ ‘ªJ.Ë@ hQå… ú ¯ Y g@ ð èQ ¯X iJ ¯ ... éJÊ« AKXAK. Q® ®Ë@ ð @Q ¯X ¡.

AJK àA¿ , A KAªÖÏ àAKYJ.K àA¿ @ X@ AÓ é ¯QªÖß. úÍ i҂ ÕË úGAÓñÊªÓ à

@ Q « ... áKQ k

C¿ Ë Ég.QK. ‡ÊªJK QÓ B@ à

@ é«Qå„. I»PX

@ Y¯

” úGAm'.

@ éʓ@ñÓ ð ªË@ áÓ áºÖßB éj JÓ YKP@ : ÈA® ¯ YKQK AÔ« éJËAƒ ... HA ¯@Q k XQm.× ð@ AK.@ñ“ éÓC¿

4

éJ m'PAK éjÖÏ úΫ XCJ.Ë@ ZAKQK

@ @ñJk Xñ JêË@ áJ “AKQË@ à

@ ©¯@ñË@ ð I.Ê¢Ë@ @ Yë éJJ.ÊK á« ðð@P XAJƒB@ Qj.« ¡mÌ'@ Zñ‚Ë úæ •QK ÕË àAg.ñ KAÓ@P áºË éKQîD… éj JÓ éË ÐY¯ ð Ð ¹⁹¹⁰ ÐA« ÑëYg

@ H.Aj.JƒA ¯ AKXAÓ àAg.ñ KAÓ@QK. É ®ºJË@

. àA‚k

B@ ‡KQ£ á« ªËAK.

: éKA ¯ð

É gY ¯ Ð ¹⁹¹³ øAÓ ú ¯ áJ ƒ èYÖÏ éj JÓ úΫ àAg.ñ KAÓ@P ɒm' èYKY« HCƒ@QÓ ð èQJ.» Xñêk. YªK.

éJÒÊ« è

AJë PQK.

@ ú ¯ @ñ ’« I. j K

@ áJ ƒ áÓ É¯

@ YªK. ð , Ð ¹⁹¹⁶ ÐA« @PñJ»X Aî DÓ h.Q m' ð h.Q.Ò» éªÓAg.

. éK.A“

@ QÓ I..‚. áJ ƒ YªK. éJ JÖÏ@ éJ ¯@ð . éJ KY JÊË@ éJºÊÖÏ@ éJªÒm.Ì'@ ù ë ð

:

€ðXP@ ÈñK.

: éKAJk

ÐA« Q.ÒJ.ƒ ú ¯ , @Y JËñK. éÖޕA« ñƒP@ñK. ú ¯ñK ð Ð ¹⁹¹³ €PAÓ ú ¯ Qj.ÖÏ@ éÖޕA« I‚.@XñJ.K. €ðXP@ ÈñK. YËð H.QmÌ'@ ú ¯ èYË@ð úΫ ‘J.®Ë@ @ñ®Ë

@ Y¯ àAÖÏ

B@ àA¿ ð , HAJ “AKQË@ ú ¯ AJËðX @QÖßñÓ Qå ”m' àA¿ ág Ð ¹⁹⁹⁶ . È Q ÖÏAK. é‚PYK Iʓ@ð ð éƒPYÖÏ@ áÓ éÓ

@ éJk.Q k

A ¯ , éJ KAJË@ éJÖÏAªË@

Ðñ®K àA¿ X@ , X@Y«

BAK. èQ ª“ Y JÓ Õæë@ . Ð ¹⁹³⁴ ÐA« HAJ “AKQË@ ú ¯ è@PñJ»YË@ èXAîD… úΫ €ðXP@ ɒm'

­ ‚» @ é Jƒ ¹⁷ ©ÊK. AÓY J« ð . éªK.@QË@ PðAj.JK ÕË èQÔ« ð ÐA¯P

B@ éJKCJË@ X@Y«

B@ H.Qå • HAJÊÒªK. AJ Jë X Q « ⁾ ùªJJ.£ XY« É¿ áK. à

@ ^” éKQ ¢ JË@ è Yë Èñ®K . ½Ë Y K@ àA¿ ø YË@ àAëQ.Ë@ áÓ ÉÔg.

@ éKQ ¢ JË A KAëQK.

ð ¹¹ CJÓ Y g úÍð

@ XY« ¼A Jë ¹⁶ ð ⁸ áK. : ½Ë X ÈAJÓ ^” úÍð

@ XY« ɯ

B@ úΫ Yg.ñK é ®ª “ ð ⁽ ÐðYªÓ . ¹³

: éKAKQ ¢ áÓ

ùë ð øQ kB@ X@Y«B@ áK. AêªK PñK ð X@Y«

B@ ©¯ñÖß. é®ÊªJÖÏ@ ½ÊK X@Y«

B@ éKQ ¢ ú ¯ éÒêÖÏ@ l.'AJ JË@ áK. áÓ

1949 ÐA« øYJë@ ð €ðXP@ HAÓAÒJë@ éÊÔg. áÓ ¨ñ “ñÖÏ@ àA¿ Y®Ë , @ Yë A JÓñK úÍ@ ékðQ¢Ó IË@ P B éË A‚Ó AîE. ÕæîE ø YË@ ÉKA‚ÖÏ@ ¨ñ K à@ ½Ë X , éJËðB@ X@Y«B@ ú ¯ éJÒë

B@ é ªËAK. éKQ ¢ úΫ ¡J‚. Yg. àAëQK. úÍ@ Ð . ÉmÌ'@ é’ñ« é¢J‚. ÉKA‚Ó ùë €ðXP@ ÈñK.

ÈAÔ«

B@ è Yë Qå„ ú ¯ éªÓ ¼Q ƒ@ ð . A K@ñ J« ¹⁵⁰⁰ €ðXP@ AëQå„ úæË@ I.JºË@ ð HñjJ.Ë@ XY« H.PA¯ Y®Ë . ÉJ.¯ áÓ Yg

@ Aê»PYK ÕË ÐA¯P

@ é K@ , IkAK. ⁵⁰⁰ úÍ@ñk

5