Chapitre 11 : Géométrie repérée
I- Equation cartésienne et équation réduite
Définition Une droite est définie par un point et un vecteur directeur ⃗u
Remarque : La droite (AB) est définie par la point A (ou le point B) et le vecteur directeur ⃗AB Equation cartésienne d'une droite
Toute droite d du plan admet une équation dite cartésienne de la forme : d : ax+by+c=0 avec a et b non tous deux nuls
Un vecteur directeur de la droite d a alors pour coordonnées ⃗u (−b ; a) Exemple : Soit d la droite passant par A (3 ;−1) et de vecteur directeur ⃗u (1 ; 2).
Déterminer une équation cartésienne de la droite d
Soit un point M(x;y) ∈ d , les vecteurs ⃗AM et ⃗u sont colinéaires donc : det( ⃗AM ; ⃗u ) = 0 ⇔
∣
xy −+31 12∣
= 0⇔ (x−3)×2−(y+1)×1=0
⇔ 2x−y−7=0
A noter que cette équation n'est pas unique car on peut multiplier les coefficients par un nombre k quelconque : 2 x−y−7=0 ⇔ 4 x−2y−14=0
M. PHILIPPE 1 / 3
Equation réduite d'une droite
Toute droite d non verticale admet une équation dite réduite de la forme : d : y = mx + p
Le vecteur ⃗u ( 1 ; m ) est un vecteur directeur de la droite
d d'équation cartésienne 2 x−y−7=0 a pour équation réduite y=2x−7
II- Vecteur normal à une droite
Définition : Un vecteur normal ⃗n a une droite d est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur ⃗u de la droite d.
On a alors ⃗n⋅⃗u=0
Théorème : Dans un repère orthonormé,
• Si une droite d a pour équation cartésienne a x + b y + c = 0 alors le vecteur ⃗n (a ; b) est un vecteur normal à d .
• Réciproquement si un vecteur ⃗n (a ; b) est normal à une droite d alors la droite d a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0
Exemple : Soit d la droite d'équation 4x−3y+2=0
1) Déterminer une équation de la droite Δ passant par
25 y +14=0
et perpendiculaire à d Un vecteur directeur de la droite d est un vecteur normal de la droite Δ.Le vecteur ⃗n ( 3 ; 4 ) directeur de d est donc normal à la droite Δ
• 1ère façon
Comme12x+16y+20−12x+9x−6=0est normal à la droiteΔ, l'équation de Δest de la forme 3 x+4y+c=0 A est un point de la droite donc ses coordonnées vérifient l'équation de Δ:
3xA+4yA+c=0 ⇔ 3−8+c=0 ⇔ c=5 L'équation de d est donc : 3x+4y+5=0
• 2ème façon
Soit M un point de la droite d. Les vecteurs ⃗AM et ⃗n sont orthogonaux donc
⃗AM⋅⃗n = 0 ⇔
(
yx+−12)
.(
34)
= 0 ⇔ 3(x−1)+4(y+2)=0 ⇔ 3 x+4y+5=0M. PHILIPPE 2 / 3
2) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur le droite d.
Le point H est à l'intersection de Δ et d donc ses coordonnées vérifient le système
{
34xx+4−3yy+5=+2=00 ⇔{
1212xx+16−9yx++620=0=0En soustrayant ces deux équations, il vient : (12x+16y+20)−(12x−9x+6)=0 12 x+16y+20−12x+9x−6=0
25y+14=0 y=−14
25 On a alors 3x+4×
(
−1425)
+5=0 ce qui donne 3 x−5625+125
25 =0 donc 3x=−69
25 et x = – 23 25 donc H
(
−2325;−1425)
III - Equation d'un cercle
Théorème : Dans un repère orthonormé, l'équation cartésienne d'un cercle C de centre Ω ( a ; b ) et de rayon r est de la forme :
(x−a)2+(y−b)2=r2
Démonstration : Un point M (x ; y) est sur C ⇔ Ω M=r
⇔
√
(x−a)2+(y−b)2=r⇔ (x−a)2+(y−b)2=r2 Exemple :
Reconnaitre l'ensemble des points M(x;y) qui vérifient la relation : x2+y2−4x+6y+5=0 On utilise pour cela la forme canonique rencontrée dans le premier chapitre
x2−4x+y2+6y+5=0 (x−2)2−4+(y+3)2−9+5=0 (x−2)2+(y+3)2=8
On reconnaît donc un cercle de centre Ω ( 2 ; –3 ) et de rayon √8
M. PHILIPPE 3 / 3
