D kT 0 , 25

TD N°2 Exercice

1. Donner un ordre de grandeur du rayon de la molécule d'urée supposé sphérique de coefficient de diffusion D=0,8 10^-9 m²s^-1 à 0°c dans l'eau.

2. En déduire le coefficient de diffusion de la myoglobine (M=17000 g/mole) dans les mêmes conditions expérimentales.

3. Le coefficient de diffusion d'une macromolécule de densité voisine a celle delà myoglobine, mesuré à 37°c dans un solvant de viscosité 1,5mPa.s, a été trouvé égal à 6,5.10^-11 m²s^-1.

Calculer la masse molaire de cette molécule.

Solution

1.

nm

D r kT

r sit

D kT 0 , 25

6

6 = =

= πη πη

2.

m s

M D M

D

m u u

m

=

³

= 1 , 22 . 10

^{−10 2}

/

3. D étant proportionnel à T , inversement proportionnel au céifficient de viscosité

η

^{et 3}

^M

^{on a}

T M D

T M D

m m m

m

3

η

3

η =

Soit

mole D g

D T

M T

M

^{m m}

m

m

= 48800 /

 

  × ×

= η

η

Exercice

Un récipient est séparé par une membrane dialysant en deux compartiments de volume V1=1,6 l et V2=1,4 l contenant 0,5 mole d'urée et o, 8 moles de glucose respectivement. La membrane dialysante a une surface S=200 cm² et une épaisseur h=0,12nm.

Déterminer les flux initiaux d'urée et de glucose exprimés en mole.s^-.m^-2 sachant que le coefficient de diffusion de l'urée à la membrane est Du=10^-

9m².s^-1.

Quelle est la concentration massique de l'urée et du glucose dans chacune des compartiments à l'équilibre?

Solution Pour l'urée

2 1 3

3 , 9

,

2 , 6 . .

10 . 12 , 0 . 10 . 6 , 1

5 , 10 0

1 .

_{− −}

−

−

−

=

=

=

= mmol s m

h D C dt

dn

J

_{u o}

s

_u ^{u o}

Pour le glucose

u g o u

o g o u o

g

D

D C

J C

J . .

. . ,

,

=

Comme

1 . 83

6 , 1 / 5 , 0

4 , 1 / 8 , 0

.

.

= =

o u

o g

C

C

et

= = 0 , 69

g u u

g

M M D

D

d’où

2 1 ,

= 3 , 3 mmole . s

⁻

. m

⁻

J

_go

L'urée et le glucose se repartissent de façon homogène dans le récipient ; d’où à l'équilibre:

Pour l'urée

10 g / l 3

60 . 5 ,

0 =

Pour le glucose :

48 /

3 180 . 8 ,

0 = g

Exercice

Le coefficient de diffusion de l'insuline en solution aqueuse est D= 8,2.10^-

11m².s^-1.

1. calculer le rayon de cette molécule supposé sphérique.

2. déduire de ce résultat la masse molaire moléculaire de l'insuline

3. une méthode de mesure par ultracentrifugation donne : 41kg /mole comparer ces deux résultats. interpréter

4. quel serait le coefficient de diffusion de l'insuline à 0°c. On donne la masse volumique de l'insuline 1300 kg/m3

Solution

1.

nm

D r kT

r

D kT 2 , 66

6

6 ⇒ = =

= π η π η

2. masse molaire

M N m N r 61 , 7 Kg 3

. 4

. =

³

=

= ρ π

3. la masse molaire mesurée par ultracentrifugation et différente de celle calculer à partir du rayon de la molécule (hypothèse erronée)

A 0°c :

m s

T D T

D =

₀ ⁰

= 7 , 5 . 10

^{−11 2}

/

Exercice

Un réservoir est séparé en deux compartiments par une membrane de 3 cm² de surface et 0,1mm d'épaisseur. La surface des pores est égale a 10^-3m² par m² de surface de membrane

Dans un des compartiments, on place une solution de concentration 2 mmol/l. Le débit initial est égal a 4,2pmol/s.

1. Calculer le coefficient de perméabilité P de la membrane vis- a vis de la molécule.

2. En déduire le coefficient de diffusion moléculaire.

Solution

1. ₀

0

. . S C h

D dt

dn

+

p

 =



 





Le flux initial est égal :

0 0

0

0

1 . . .

C P S C

s h D dt

dn J s

p

=

 =



 



= 

Soit

m s

dt dn s

P C . 4 , 2 . 10 7 . 10 / 10

. 3 . 1 2 1 . 1

1

_{12 9}

4 0 0

−

−

−

=

 =



 



= 

2.

m s

S h S

P D

p

/ 10

. / 7

. 1 =

^{−10 2}

=

Exercice

Une membrane poreuse de surface totale des pores égal à S sépare deux compartiments contenant du saccharose aux concentrations 0,5 et 0,2 mol/l respectivement. Ces concentrations sont maintenues constantes aux cours de la diffusion des molécules de saccharose à travers la monbrane. On suppose le régime stationnaire établi.

1. Etablir la loi de variation de la concentration dans la membrane d'épaisseur h.

2. Quelle est la valeur du débit ?

On donne Saccharose =8.10 ^-10 m²/s. Surface totale des pores S=0,05m². Epaisseur de la membrane h=10 um.

Solution

1. Le régime stationnaire ₂

0

2

=

∂

= ∂

∂

∂

x D C t

C

la dérivée seconde étant

nulle la fonction C(x) est de la forme C(x)= ax+ b Pour C(0)=C1=b

Pour C(h)=ah+b =C2

⇒ ( )

1

1

2

C

h C x C

C = − +

2.

C mmol s

h SD dt

dn = . ∆ = 1 , 2 /

Exercice

Un dispositif d'épuration extra- rénale a une surface de pores de al membrane S=3 m² et d'épaisseur 0,112nm. Le Coefficient de diffusion de l'urée à la membrane est D=10^-9m²/s.

1. Calculer la perméabilité de la membrane a l'urée P?

2. Etablir la loi de variation de la concentration uréique sanguine enfonction de P de S et du volume de l'ensemble des compartiments liquidiens de l'organisme. sachant que l'urée initial est C0

3. Calculer la masse initiale d'urée soustraite à un sujet atteint d'une urémie initiale de 3g/l

b) Sachant que le volume des compartiments liquidiens est de 50l au bout de combien de temps l'urémie normale (0,25g/l) est théoriquement atteinte ?

c) une mesure de l'urémie aptres ce temps donne 0,37g/l. Expliquer la diffrerence.

Solution

1. Perméabilité :

m s

h

P = D = 8 . 10

⁻⁴

/

2. appliquons la première loi de FICK :

x s c dt D

dm

∂

− ∂

= . .

avec

c

concentration massique comme

m = c . V

^donc

dt V dc dt

dm = −

^et

h c x

c = −

∂

∂

D’où

c

h DS dt

V dc = + .

−

^ou

dt

V SP c

dc = − .

par intégration on obtient :

V t SP

e c c =

₀ ⁻

3. a) initialement :

P S c mg s

dt

dm . .

₀

72 /

0

=

 =



 





b)

s h mn

c c SP

t = V . ln

⁰

= 5177 = 1 26

c) durant l'épuration l'organisme produit de l'urée ce qui explique la différence

Exercice

Un malade arrive en urgence dans un état de choc infectieux ayant entraîné une anurie. Pour pallier la défaillance ranale. On décide de le soumettre a une dialyse péritonéale. Une telle séance consiste à injecter dans la cavité péritonéale un volume Ve d'une solution dépourvue d'urée et isotonique au plasma.

Ainsi s'établie à travers l'ensemble constitué par la paroi des vaisseaux capillaires et la membrane péritonéale un équilibre de diffusion ( à travers une surface de diffusion) entre le sang sirculant dans les vaisseaux péritonéaux et le liquide injecter dans la cavité péritonéale .

1. Si c0 est l'urémie initiale du malade, quelle sera l'urémie

c

_∞lorsque l'équilibre sera atteint ? (volume aqueux de l'organisme du malade V=40l ; Ve=2l ).

2. au bout de combien de temps suffisamment long pour que l'on puisse considerer l'équilibre comme atteint , on aspire le liquide cntenu dans la cavité péritonéale , on recomence un deuxieme cycle en injectant a noiveau le meme volume de la meme solution Et ainsi de suite….

Combien faudra-t-il de cycles pour ramener l'urémie du malade de la valeur C0=1,2g/l à une valeur presque normale de 0,4g/l?

3. On fixe la duré de chaque cycle à 20mn. En considerant que l'équilibre de diffusion est atteint au bout de cette durée, calculer :

a) le temps pendant lequel devra etre dialysé le malade pour que son urémie atteint la valeur de 0,4g/l.

b) la clairance de l'urée ( ou volume virtuel de sang totalement épuré d'urée par unité de temps ) en ml/mn

4. Soit S=1,6 m² l'aire de la surface de diffusion et P=1,6.10^-5m/sla permeabilité de diffusion à l'urée .

Considerant seulement le premier cycle , donner la loi de variation de l'urémie c(t) au cours du temps . en supposant le gradiant de concentration constant à travers la surface de diffusion .

Solution

1.

c

₀

. V = c

∞

( V + V

∞

)

^soit

21 20

0 0

0

c

V V c V

c =

= +

∞

2.

21 20

0

1

c

c

_∞

=

apres la deuxieme dialyse

2 0

2

21 20 



 



= 

∞

c

c

apres la niéme dialyse

n

n

c

c 



 



= 

∞

21

20

0

A.N

^{0 , 4 = 1 , 2 ×} ( ) ²⁰ ₂₁

ⁿ

^{⇒ n = 23}

3. a) durée de dialyse :

t = τ n . = 7 h 40 mn

b) au cours du premier cycle , il reste

c g / l 21

20

0





 





_{ce qui}

correspend a une épuration de

c g / l 21

1

0





 





c'est-à-dire à

21 1

de la concentration uréique sanguine .

la clairance rapportée au volume épuré par unité de temps et :

mn V ml

x 95 , 2 /

20 10 . . 40 21 . 1

21

1

³

=

=

= τ

^.

5. Appliquons la loi de FICK en supposant le gradiant de concentration constant :

c S P h c

DS dt

dm = . ∆ = . . ∆

Soit

m = P . S . ∆ c . t + cte

ou

^m ( ) ^{t = A . t + cte}

a t=0 la masse de l'urée épurée est nulle donc la constante =cte=0

a la datte

τ

, la masse d'urée épurée est

^m

¹

= ( ^c

⁰

− ^c

¹∞

) ^{. V}

^d’où

( ) _τ

τ

c V m c

A =

¹

=

₀

−

¹_∞

.

La concentration uréique sanguine en fonction du temps, au cours du premier cycle est :

( ) ( ) ^c ( ^{c c} ) ^V _τ

V t c m

t

c =

₀

− =

₀

−

₀

−

¹_∞

.

Exercice

Un rein artificiel utilisé en hémodialyse chronique comporte un compartiment et une membrane de diffusion de surface s=1 m². A travers cette membrane sont mis en équilibre d'une part le sang du malade , d'autre part un liquide constamment renouvelé , isotonique au plasma et dépourvue d'urée. On s'intéressera dans cette exercice qu'au seul problème de l'épuration extra- rénale du sang en urée. On rappelle que l'eau et l'urée diffusent assez rapidement dans les membranes cellulaires pour que l'équilibre de diffusion de celle-ci puisse être considéré constamment réalisé à travers la membrane cellulaire.

1. Expliquer pourquoi:

a) le liquide constamment renouvelé doit-il être isotonique au plasma.

b) non seulement le sang, mais aussi tout l'organisme, de volume aqueux V=40l, est épuré d'urée.

2. Vers quelle valeur devrait tendre l'urémie c (t) au bout d'un temps térs long d'hémodialyse ? Quelle raison physiologique explique qu'en fait il n'en soit pas ainsi ?

3. On suppose que le gradient de concentration en urée constant dans toute l'épaisseur de la membrane et que la perméabilité de diffusion de l'urée de la membrane est égale à P=1,5. 10^-6

Pour une urémie au début de séance de2g/l. Calculer le débit d'urée soustrait au malade ?

4. Pour une production quotidienne de 25g durée par jour (soit environ 18mg/mn).Quelle sera la valeur de l'urémie du malade au bout d'un temps très long ?

5. Monter que, contrairement au débit d'urée, le volume virtuel de sang totalement épuré d'urée par unité de temps, appelle clairance de l'urée ne dépend ni du temps ni du malade, mais seulement des caractéristiques du rein artificiel. Calculer sa valeur en ml/mn.

6. Montrer que l'urée limite du malade (au bout du temps très long) est inversement proportionnelle à la clairance de l'urée.

7. Donner la loi de variation de l'urémie en fonction du temps : a)D'abord en négligent la production de l'urée.

b) Puis en tenant compte de celle-ci.

Solution

1) Le liquide doit être isotonique pour être en équilibre osmotique avec les differents constituants de l'organisme, mis a part l'urée.

2) L'urée, diffusant à travers les diferents compartiments, y est présente à même concentration.

3. Au bout d'un temps très long d'hémodialyse, c (t) doit tendre vers zéro.

En fait, il n'en est rien car l'organisme produit de l'urée.

4. ₀

0

. . S c dt P

dm  =



 





Pour

c

₀=2g/l=2Kg/m³ on a

mg s dt

dm 3 /

0

 =



 





_.

6. Au bout d'un temps très long, le débit d'urée soustraite est égal à la production quotidienne d’où :

7.

∞

∞

 =



 



 P S c

dt

dm . .

Soit

g l

dt dm S

c P . 02 /

.

1  =



 



= 

∞

∞

8. la masse d'urée présente est m= c.V soit

V

dt dc dt

c dV dt

dm = + .

^le

second terme est négligeable devant le premier d'ou

dt cte c dV dt

dm = =

^soit

P S

dt

dV = .

Le volume du sang épuré par unité de temps ne dépend que des caractéristiques du rein artificiel.

mn ml s

ml S

dt P

dV = . = 1 , 5 . 10

⁻⁶

. 1 = 1 , 5 / = 90 /

9. Au bout d'un temps très long :

( )

_∞

∞

∞





 



= 

 

 



= 

dt dm dt

dV dt

dm S

c P .

/ . 1

. 1

9. a) Négligeons la production d'urée :

( ) ^t

c S dt P

dm = . .

La masse d'urée diminue lorsque le temps augmente on

:

dt

V dc dt

dm = −

^d’où

^c ( ) ^t

V S P dt

dc . .

−

=

^ou

^c ( ) ^{t = c}

0

^e

^{−PSV t}

c) si l'on tient compte de la production de l'urée par l'organisme :

( ) ^t

c S P c

S dt P

V dc + . . = . .

−

_∞ ^Où

( )

dt V dc t

c S P c

S

P . .

_∞

= . . +

Cette équation différentielle admet pour solution

( ) ( )

∞

−

∞

+

−

= c c e c

t

c

^{V t}

S P.

0

Exercice

Contrairement à l'hémodialyse qui fait appelle à un personnel et un matériel spécialisés, la dialyse péritonéale peut être pratiquée dans n'importe quel centre hospitalier.

Cette dernière est donc indiquée dans le cas ou le transfert du malade est indésirable (grands brûlés, opérés cardiaques) ou lorsque on ne dispose pas de rein artificiel disponible.

On effectue une dialyse péritonéale cher un homme de 70 Kg dont le volume total d'eau corporelle est 50l, en injectant dans sa cavité péritonéale 2.5l d'une solution dépourvue d'urée et isotonique au plasma on supposera que les échanges se fond par diffusion a travers la membrane péritonéale considérée comme perméable aux seules molécules d'eau et d'urée.

La concentration initiale du milieu intérieur en urée est C0, l'épaisseur de la membrane péritonéale est h.

1. Expliquer pourquoi il n'y aura pas de variation de volume des deux compartiments intérieur et extérieur pendant la dialyse.

2. a l'instant t, la concentration du compartiment intérieur en urée est devenue ci=c0-c.Quelle sera alors la concentration ce du milieu extérieur exprimée en fonction de c ?

3. Quelle sera la masse d'urée soustraite au compartiment intérieur lorsque l'équilibre est atteint ?

4. Exprimer l l'instant t, la différence de concentration entre les deux faces de la membrane dialyse?

5. Exprimer le débit d'urée en fonction du volume intérieur et de la variation de concentration de celui-ci à l'instant t le coefficient de diffusion de l'urée est D. la surface de diffusion est S.

6. Calculer la concentration ci du compartiment intérieur à l'instant t en fonction de c0, D, V, l, t.

7. Combien de temps nécessite cette dialyse péritonéale pour faire baisser l'urémie de la valeur de 2g /l à 0,4g/l, sachant qu"on renouvelle les 2,5 l de la solution injertée toutes les 20mn ; temps au bout duquel l'on suppose que l'équilibre entre le milieu intérieur et extérieur est atteint.

Solution

1. Les milieux intérieur et extérieur étant isotonique, aucune pression mécanique n'étant exercée sur un compartiment contre l'autre, le flux liquidien à travers la membrane péritonéale est nul.

2. Raisonnons sur les masses uréiques pour déterminer les concentrations.

c V c

c m V

m c m

i i

i

=

⁰

− =

₀

− =

₀

−

3. A l'équilibre de diffusion:

( ) ( )

e i

i e

i e

i

V V

c V V

m V c

c = +

= +

=

_∞

∞

1 .

.

₀

0

La masse d'urée soustraite est:

( )

e i

e e

e

V V

m V V

c

m

_∞

=

_∞

. =

₀

. +

4. A la datte t, la différence de concentration est :

 

  +

−

=

−

−

=

−

e i e

i e

i

V

c V V c

c V c c

c

c

_{0 0}

1

5. Le débit est ;

( )

dt V dc dt

dm dt

m m

d

_i

i

.

0

− = − = −

6.

( )

dt V dc c

h c S

D

_i

i e

i

.

. .

−

=

−

Comme

( )

e i i e

i

e

V

c V V c

c V

c = =

₀

− .

 

 



 −

 

  +

=

−

e i e

i i

i

i

V

c V V

c V h

S D dt

V dc . 1

₀

D’où

. . .

₀

. 1

. c

V V h

S D V

V h

S c D dt

V dc

e i e

i i

i

i

=

 

  + +

Ou

Ac B

dt dc

i

i

+ =

^avec

e i

i e

V V

V V h

S A D

. .

. +

=

^et

V

e

c h

S B D . .

⁰

=

La résolution de cette équation : Sans second membre

c

_i1

= Ke

^−At

Avec second membre

A c

_i2

= B

La solution générale est :

A Ke B

c c

c

_i

=

_i1

+

_i2

=

^−At

+

A t=0

e i

i

i

V V

c V A K

K B c

c =

₀

= + = +

₀

. +

se qui donne :

 

 

− +

=

e i

i

V V c V

K

_0.

1

( ) (

^{e At i}

)

i e e

i At i

e i

e

i

V e V

V c V

V V c V V e

V c V t

c +

= + + +

= +

⁻

1 .

⁻

.

.

_{0 0}

0

7. Apres le premier cycle :

21 . 20 5

, 52

. 50

₀

0

.

c c

V V c V c

e i

i I

i

= =

= +

Après le deuxième cycle :

2 0

.

21

. 20 



 



= c  c

_{i II}

Après le nième cycle :

n n

i

c

c 



 



= 

21 . 20

0

. Pour

c

₀

= 2 g / l et c

_i.n

= 0 , 4 g / l

on

trouve :

n 33 cycles

21 log 20

5 log =

=

Soit un temps

t = 33 × 20 = 11 h

Exercice

Deux solutions de même concentration molaire. l'une de glucose l'autre d'un électrolyte de type AB ont pour abaissement cryoscopique

c T

₁

= − 0 , 186

⁰

∆

^et

∆ T

₂

= − 0 , 251

⁰

c

Déterminer la concentration molaire, le coefficient de dissociation de l'électrolyte et sa constante d'équilibre.

Solution

Pour le glucose

∆ T

1

= − K

_c

× c ( ) ¹

Pour l'électrolyte

∆ T

₁

= − K

_c

ω

( ^α ) ^{c α c α}

c

B A

AB

−

+

↔

^{− +}

1

^Donc

^{ω = c} ( ^{1 − α} )

( + α )

×

−

=

∆ T

₁

K

_c

c 1

de l'équation

( ) ¹

on détermine c=0,1mole/l Du rapport

2 1

T T

∆

∆

on déduit

α = 0 , 35

Et

α

α

= − 1

2

C K

Exercice

L'abaissement crioscopique du plasma sanguin d'un diabète en coma est égal à-0,74°c .Son ionogramme est pratiquement normal son urémie normale égale 0,3g/l.

Déterminer la glycémie du malade en admettant que seul le glucose soit en cause sachant que l'abaissement cryoscopique du plasma normal est de - 0,56°c.

Solution

la différence des deux abaissements cryoscopiques de l'éxé de glucose

l g l

mmol c

soit c

K

_{c g g}

96 , 8 / 17 , 42 / 56

, 0 74 ,

0 − = = =

Exercice

Dans un litre d'urine d'abaissement cryoscopique on trouvé 11,7g/l de NaCl (58.5g/mole) et 15 g d'urée (60g/mole) .

1. quelle est l'Osmolarité de cette urine? quelles sont les Osmolarités de l'urée et du NaCL ?

2. Que peut-on conclure ? Pourquoi ne pas rechercher l'albumine (70000g/mole) Quelle autre recherche usuelle faut-t-il demander ?

Solution

1. L'osmolarité de cette urine est :

osmoles 7526

, 86 0 , 1

4 ,

1 =

= ω

l mosmol

l mosmol

NaCl uree

/ 5 400

, 58

5 . 2 11

/ 250

, 60 0 15

=

×

=

=

= ω

ω

2.

102 , 7 mosmol / l

reste a répartir, la masse molaire de l'albumine étant énorme on ne peut attribuer même en partie cette différence d'osmolarité à la macromolécule .il faut chercher du coté du glucose.

Exercice

Une solution aqueuse d'un monoacide faible à la concentration 0,1mol/l a un abaissement cryoscopique égal -0,205°c.

1. Calculer l'osmolarité, le degré de dissociation, le pH de cette solution et la constante d'équilibre de cet acide ?

2. On dilue 10 fois la solution précédente. Calculer les quatre grandeurs précédentes.

3. une solution électrolytique A2B (2A^-,B⁵⁺) déci molaire a même abaissement cryoscopique égal -0,205°c.

Calculer l'osmolarité, le degré de dissociation et la constante d'équilibre?

Solution

1.

∆ T = − K

C

× ω

soit

ω = 110 , 2 mosmol / l

( ^α )

ω = c 1 +

Soit

α = 0 , 10 2

log =

−

= c

pH α

3 2

10 11 , 1 1

×

−

− =

= α α c K

2. K ne varie pas avec la dilution.

Le degré de dissociation est donné par l'équation :

/ 2 / /

1 α α

= − c

K

la résolution de cette équation donne

α

^/

= 0 , 28

l'osmolarité devient égale à:

( ) ^{mosmol l}

c

^/

1 +

^/

= 12 , 8 /

= α

ω

pH de la solution

pH = − log c

^/

α

^/

= 2 , 55

3. Pour la solution électrolytique :

L'osmolarité :

mosmol l

K T

c

/ 2

,

= 110

− ∆

= ω

Coéfficient de dissociation :

( ⁺ ) ⁼

= α

ω c 1 2

d’où

α = 0 , 051

Constante d'équilibre : Exercice

Une solution déci normale de CaCl2 a un degé de dissolution

α = 0 , 6

1. calculer sa constante d'équilibre ? 2. Combien contient-il de mEq/l de Ca ? 3. calculer son osmolarité?

Solution

1.

^c ( ) ^{c c}

Cl Ca

CaCl

α α

α 2

1

2 2

−

+

↔

⁺⁺

( )

( )

²

2 2 3

10 . 16 , 1 2

4 1

2

₋

− =

− =

= ×

α α α

α

α c

c

c K c

2.

[ ] ^Ca

^{++ eq}

^{= 2 α c = 120 mEq / l}

3. osmolarité

( ) ^{c c c} ( ) ^{mosmol l}

c 1 − + + 2 = 1 + 2 = 220 /

= α α α α

ω