Rappel théorique sur la primitivation
1. Primitives de fonctions élémentaires
= +
= + 1 + 1 = ln| | +
sin = − cos + cos = sin +
1
cos = tan +
= +
= ln + avec ∈ ℝ 2. Primitivation par décomposition linéaire
( ( + !( = ( + !(
. ( = . (
3. Primitivation par substitution
# ′%!( &. !′( ' = %!( &+
En pratique, on utilise la technique de substitution selon ces différentes étapes:
• Identifier la substitution utile,
• Effectuer la dérivée de cette substitution,
• Faire les substitutions dans la primitive,
• Rechercher la primitive au moyen de la nouvelle variable,
• Faire la substitution inverse pour revenir à la variable de départ.
4. Primitivation par parties
( ) ( )
x g xdx f( ) ( )
x g x f( ) ( )
x g xdx Cf = −
∫
+∫
. ' . ' .En pratique, on utilisera la méthode de primitivation par parties
• si les autres méthodes de primitivation ne fonctionnent pas,
• si la fonction dont on recherche une primitive est un produit de deux facteurs de natures différentes (puissance de et fonction trigonométrique, fonction exponentielle et fonction trigonométrique, …)
Exercices supplémentaires sur la primitivation
1) Détermine les primitives suivantes :
Par décomposition linéaire Par substitution Par parties
1) ( 3 1) ((4 − 5 + 1 ,. (8 − 5 1) ( . sin 2) ( #2 + /0' 2) ( 8 . sin(4 − 5 2) ( . 3) (( ,− 7 + 2 3) ( sin . cos 3) (√ 3 4) ((3 − 1 . (1 − 4) (, 433 4) ( ln
5) ( # + ' 5) ((, 45 33 4 5) ( . cos (2 6) ( 4 6) ( 363 6) ((3 − 1 . ln(
7) (( − 1 7) ((78( 0 8) ((3 ,− 2 sin + 3√ 8) ( 4
9) ((3 cos 9) ( √sin . cos 10) ((sin + 10) ( tan 11) ( # +0√9 + 1' 11) ( 43 . 12) ( . √0 9
Solutions :
1) , 4+ 1) (9 43/ :
9 + 1) – . cos + sin +
2) 2 − /4 + 2) − cos(4 − 5 + 2) . ( − 2 + 2 +
3) :
9 −6 4+ 2 + 3) <=80
, + 3) 2 √ − 1 −9,>( − 1 ,+ 4) 2 – − ,+ 4) 78 |, 43 |
5 + 4) ln − +
5) 0
,+ 2 ln| | + 5) 3
, 43 + 5) ?@(AB<( <=8(
/ +
6) ln| | + 4+ 6) −,78 ,CD@+ 6) ( ,− . ln + − ,0+
7) 0
, + − + 7) 78:
9 + 8) , :
9 + 2 cos + 2 √ ,+ 8) E8| 4|+ 9) 3 sin + 9) .√<=80
, +
10) − cos + + 10) − ln|cos ( | +
2) QCM :
Solutions : 1. Décomposition 2. Par parties
3. Substitution 4. Substitution
5. Décomposition a) 2
b) 3 c) 1
d) 3 e) 3 3
1
2
4
5
Exercices supplémentaires sur le calcul d’aires
1) Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction ( = . √7 −0 , l’axe des abscisses et les deux droites verticales d’équations = −1 et = 1.
2) Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions ( = et !( = −2 + 1 et les droites verticales d’équations = 0 et = 2.
3) Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions ( = − 2 − 1 et !( = − 1.
4) Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction ( =, 3/, , l’axe des abscisses et se situant entre les droites verticales d’équations = 2 et = 5.
5) Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction ( = √2 + 10 − 3, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations = −4 et = −1.
6) Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction ( = cos ( , l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations = K, et = ,K.
7) Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions ( = 2 + et !( = −2 + 5, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations = 0 et = 2.
8) Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions ( = ( − 2 , et !( = − et les droites verticales d’équations = 1 et = 2.
9) Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions ( = 2 + , !( = 5 − et ℎ( = 3 − 9 .
Solutions : 1) 1,86 N.
2) 8,39 N.
N.
4) 2,3 N.
5) 2,4 N.
N.
7) 3,94 N.
8) 1,25 N.
N.
!
ℎ
Devoir sur le calcul d’aires et de volumes
Exercice 1:
a) Calcule les aires des surfaces grisées suivantes.
b) Calcule ensuite les volumes des solides de révolution engendrés par la rotation autour de l’axe des abscisses de ces surfaces.
Exercice 2: Calcule les aires des surfaces grisées suivantes.
Solutions :
Exercice 1 n° 1 2 3 4
Aire 35
3 N 21
2 N 2 N 3,6 N
Volume 55P NQ 39P NQ 10P
3 NQ 6,54 P NQ
,
-1 2
1
2
2
