Feuille d'exercices 13. Séries réelles

Feuille d'exercices 13. Séries réelles

Exercice I.

1. On considère la série numérique de terme général 1

n(n+ 1), pour n≥1. a. Donner la dénition de san^e somme partielleS_n.

b. Vérier que ∀n∈N^∗, 1

n(n+ 1) = 1 n− 1

n+ 1, puis que S_n= 1− 1 n+ 1. c. En déduire que la série X 1

n(n+ 1) converge et calculer

+∞

X

n=1

1 n(n+ 1). 2. Etudier de même la série numérique X 1

4n²−1. On vériera que 1

4n²−1 =1 2

1

2n−1 − 1 2n+ 1

, pourn≥1.

Exercice II.

Les séries de terme général suivant sont-elles convergentes ? Si oui, déterminer la somme de la série.

1. un = ln

1− 1 n

2. un= ln

n+ 1 n

ln(n) ln(n+ 1) 3. un= 1

(n+ 1)(n+ 4) 4. un= 1

n(n+ 2)(n+ 3).

Exercice III.

On considère la série de terme général un = 2n²

n³−1, pour n≥2. 1. Montrer que ∀n≥2, u_n≥ 1

n. 2. En déduire la nature de la série X

un.

Exercice IV.

On considère la série numériqueS de terme général 1

eⁿ+e⁻ⁿ, pour n∈N, etSn sa n^esomme partielle.

1. Déterminer la monotonie de la suite (Sn)n>0. 2. Justier que ∀n∈N, 1

eⁿ+e⁻ⁿ 6e⁻ⁿ. 3. En déduire que ∀n∈N, Sn 61−e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

1−e⁻¹ . 4. Montrer que la sérieS converge et que ^+∞P

n=0

1

eⁿ+e⁻ⁿ 6 e e−1.

Exercice V.

On considère la série numérique X

n≥1

1

n². On noteSn san^e somme partielle.

1. Vérier que ∀n>2, 1 n− 1

n+ 1 6 1 n² 6 1

n−1− 1 n. 2. Montrer alors que ∀n>1, 3

2− 1

n+ 1 6Sn62−1 n. 3. En déduire que la série X

n≥1

1

n² converge, et que l'on a 3 2 6

+∞

X

n=1

1 n² 62.

1

Exercice VI.

Justier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme : Attention à la confusion : X

n≥n0

u_n désigne la série, tandis que

+∞

X

n=n0

u_n désigne sa somme.

1. X

n≥0

n(n−1) 4ⁿ 2. X

n≥1

n² 4ⁿ 3. X

n≥2

3n²+ 5n 4ⁿ 4. X

n≥0

(−1)ⁿn 3ⁿ

5. X

n≥0

(−1)ⁿn² 3ⁿ 6. X

n≥2

(−1)ⁿ(n²−2n+ 1) 3ⁿ

7. X

n≥0

√e n!

8. X

n≥1

4(−1)ⁿ⁺¹ n!

9. X

n≥0

n2ⁿ n!

10. X

n≥0

3ⁿ (n+ 1)!

11. X

n≥2

3

(n−1)! +2n(−1)ⁿ 2ⁿ

12. X

n≥2

1

(n+ 1)! − 4 n²

Exercice VII.

Les séries suivantes sont-elles convergentes : 1. X n²−2

n⁴+n+ 1 2. Xn³+n²+ 1 n⁴√

n−1 3. X n²−10n−3

n³+ 2n²+n+ 3 4. X(−1)ⁿ

√n 5. X(−1)ⁿ+ 1 n²+ 2 6. X(−1)ⁿ−1

n⁵−3 7. X4 ln(n) n√

n 8. X 1

pn√

nln(n) 9. X n eⁿln(n)

Exercice VIII.

1. Créer un programme Turbo Pascal calculant les sommes partielles de la série X 1 nln(n). 2. Même question pour les séries X

n≥0

xⁿ

n! et X

n≥1

1 n⁴.

Exercice IX.

Soituune suite décroissante, convergeant vers0, etS la série de terme général(−1)ⁿun. 1. Pourn∈N, écrireSn.

2. Montrer que les suites(S2n)et (S2n+1)sont adjacentes.

3. En déduire la convergence de la série S.

4. Montrer que sa limitel vérie ∀n∈N, |Sn−l| ≤u_n+1. 5. a. Quelle est la nature de la série S_n =X

k≥1

(−1)ⁿ n ?

b. On noteS la somme de cette série. Donner un majorant de

S−

n

X

k=1

(−1)ⁿ n

. c. La sérieS est-elle absolument convergente ?

Exercice X.

1. S'inspirer de l'exercice précédent pour déterminer la nature de la série Sn=X

k≥2

(−1)ⁿ ln(n). 2. On noteS la somme de cette série. Donner un majorant de

S−

n

X

k=2

(−1)ⁿ ln(n) . 3. Montrer que ∀x >0, ln(x)< x.

4. En déduire la nature de la série X 1 ln(n). 5. La série X(−1)ⁿ

ln(n) est-elle absolument convergente ? 2