(a) Expliquer pourquoih est une homographie du plan complexe

(1)

Problème : Homographies du plan complexe conservant U

Notons

P ={z∈C Im(z)>0}etD={z∈C|z|<1}.

On dit qu’une application h est une homographie du plan complexe s’il existe a, b, c, d ∈ C tels que ad−bc6= 0 et, pour toutz∈C\ {−d/c},

h(z) = az+b cz+d.

L’objectif de se problème est de déterminer toutes les homographies du plan complexe qui conserve U.

Partie N^oI : Echauffement : Etude de deux exemples d’homographies du plan complexe

1. Dans cette première question, on considère h l’homographie du plan complexe définie par z7→i^1+z_1−z.

(a) Expliquer pourquoih est une homographie du plan complexe.

(b) Montrer que, pour tout z∈U\ {1}, h(z)∈R. (c) Montrer que, pour tout z∈ D,h(z)∈ P. (d) Déterminer tout les z tel queh(z) =z.

(e) Pour quel(s) Z ∈C, l’équationh(z) =Z d’inconnue z6= 1 admet-elle des solutions ? 2. Dans cette seconde question, on considère g l’homographie du plan complexe définie par z7→

z−i z+i.

(a) Expliquer pourquoig est une homographie du plan complexe.

(b) Montrer que, pour tout z∈R, g(z)∈U. (c) Montrer que, pour tout z∈ P, g(z)∈ D.

Partie N^oII : Compétition du jour : Homographies conservant U

1. Soitθ∈R eth l’homographie définie parz7→ ^e_z^iθ. (a) Justifier queh est une homographie.

(b) Montrer que, pour tout z∈U,h(z)∈U.

2. Soitα∈Ctel que α /∈U,θ∈Reth l’homographie définie parz7→e^{iθ z+α}_αz+1. (a) Justifier queh est une homographie.

(b) Montrer que, pour tout z∈U,h(z)∈U.

3. Inversement, nous allons démontrer que seules les homographiesh précédentes sont telles que

∀z∈U, h(z)∈U.

(a) Soient a, b∈C. Établir que

∀θ∈R, a+ 2 Re(be^−iθ) = 0

⇒ a=b= 0.

(b) Soient a, b, c, d∈Ctels quead−bc6= 0 eth:z7→ ^az+b_cz+d une homographie telle que

∀z∈U, h(z)∈U.

1

(2)

i. Établir

∀θ∈R, |a|²+|b|²+ 2 Re(abe^−iθ) =|c|²+|d|²+ 2 Re(cde^−iθ).

ii. En déduire que|a|²+|b|² =|c|²+|d|² etab=cd.

iii. Si a= 0, montrer que l’homographie h est du type présenté en II.1.

iv. Si a6= 0, établir que (|a|²− |c|²)(|a|²− |d|²) = 0.

v. Observer que le cas |a|=|c|est impossible de part la condition ad−bc6= 0.

vi. Observer que le cas|a|=|d|conduit à une homographie hdu type présenté en II.2.

* * * FIN DU SUJET * * *

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