A.Descriptionduph´enom`ene 1–JonctionJosephson DevoirlibredeSciencesPhysiquesn 8du21-03-2022Probl`emen

Devoir libre de Sciences Physiques n

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8 du 21-03-2022

Probl` eme n

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1 – Jonction Josephson

E3A MP 2019 On s’int´eresse `a une application directe des supraconducteurs : la jonctionJosephson, voir la figure 1. Cette derni`ere est constitu´ee de deux supraconducteurs en regard s´epar´es par un isolant d’´epaisseurd, typiquement de quelques nanom`etres. Dans les supraconducteurs, deux ´electrons s’apparient pour former une paire deCooper de charge ´electrique−2eet permettent de rendre compte des ph´enom`enes quantiques observ´es.

Supraconducteur 1

Supraconducteur 2 Isolant

1µm

Figure 1 – `A gauche : sch´ema d’une jonction Josephson. `A droite : photographie r´eelle d’une jonctionJo- sephsondans un circuit ´electrique.

A. Description du ph´ enom` ene

En , B. D. Josephson pr´edit l’existence d’un courant macroscopique `a travers la jonction mˆeme en l’absence de diff´erence de potentiel ´electrique entre les deux supraconducteurs. On se propose de rendre compte de cette pr´ediction sur un mod`ele simple de jonction.

Lorsque l’´epaisseur de l’isolant est suffisamment faible (de l’ordre de 1 nm) par rapport `a la taille des supracon- ducteurs, les paires deCooperpeuvent traverser l’isolant par effet tunnel.

1.Rappeler ce qu’est l’effet tunnel en expliquant bri`evement en quoi celui-ci est un effet quantique.

L’´etat quantique d’une paire de Cooper dans le supraconducteur 1 (respectivement 2) peut ˆetre repr´esent´e par une fonction d’onde not´ee ϕ1(t) (respectivement ϕ2(t)). on admet que ϕj(t) (j = 1,2) se met sous la forme ϕj(t) =p

Nj(t) expiθj(t) avecNjle nombre de paires deCooperetθjla phase dans le supraconducteurj. Les densit´es sont suppos´ees uniformes de part et d’autre de la jonction. En pr´esence du couplage par effet tunnel, les porteurs de charge peuvent traverser la jonction, ce qui introduit un couplage entreϕ¹ etϕ²que l’on d´ecrit

`a l’aide d’un param`etreKsuppos´e connu. Les ´equations deSchr¨odingerv´erifi´ees parϕ¹et ϕ² s’´ecrivent : i h

2π dϕ1

dt =Kϕ²(t) et i h 2π

dϕ2

dt =Kϕ¹(t)

2.A partir du syst`eme d’´equations et des expressions de` ϕj(t) (j= 1,2), montrer que : dN¹

dt = 4πK h

pN¹N²sin(θ²(t)−θ¹(t))

3.On obtient l’´equation diff´erentielle pourN2en permutant les indices 1 et 2. On en d´eduit que dN1

dt =−dN2

dt . Que signifie cette relation ?

4.Montrer que les paires deCooperde charge−2edans le supraconducteur 1 cr´eent un courant d’intensit´e Is tel que :

Is=Ic sinφ(t)

o`u l’on pr´ecisera les expressions deIc et de φen fonction de e,N¹,N², K,h,θ² etθ¹.

B. Caract´ eristique tension-courant

Dans la partie pr´ec´edente, on a montr´e qu’un courant de la forme Is =Icsinφ(t) peut traverser l’isolant, o`u Ic est appel´e courant critique caract´eristique de la jonction Josephson. La repr´esentation ´electrique d’une jonctionJosephsonest donn´ee en figure 2. Lorsqu’il existe une tension ´electriqueV aux bornes de la jonction Josephson, on peut montrer que :

dφ dt = 4πe

h V

Dans la partie pr´ec´edente, les effets capacitif et r´esistif d’une jonctionJosephsonont ´et´e n´eglig´es. Afin de les prendre en compte, il faut rajouter un condensateur de capacit´eCet une r´esistance de valeurRen parall`ele de la jonction. La repr´esentation r´eelle de la jonction est donn´ee en figure 2.

b b

b b

b b

Iext

Ic

R C

Ic

Is=Icsinφ

Figure2 – Repr´esentations ´electriques d’une jonction Josephson. `A gauche, id´eale, `a droite r´eelle.

Dans cette partie, on ´etudie la caract´eristique ´electrique de la jonction r´eelle lorsqu’elle est soumise `a un ´echelon de courant de valeurIext.

5.Montrer que :

Iext= Ch 4πe

d²φ dt² + h

4πeR dφ

dt +Icsinφ(t) On se propose d’´etudier d´esormais une analogie m´ecanique `a notre probl`eme.

On consid`ere un point mat´erielM de massem, fix´e `a une barre rigide de masse n´egligeable devantm. Le pendule est soumis `a un couple ext´erieur~Γ = Γext~ezo`u Γextest un couple constant suppos´e connu. De plus, la masseM est soumise `a une couple de frottement ext´erieur−ηθ~e˙ zavecηsuppos´e aussi connu. Le dispositif est repr´esent´e sur la figure 2.

bO

θ

M ℓ

b

~ex

~ey

~ez

~g

Figure 3 – Sch´ema du pendule soumis `a un couple ext´erieur et `a un couple de frottement.

6.Montrer que le mouvement du pendule ob´eit `a l’´equation diff´erentielle : Γext=Jθ¨+ηθ˙+mgℓsinθ o`uJ est le moment d’inertie du pendule par rapport `a l’axe de rotation.

7. En comparant les ´equations ´electrique et m´ecanique, donner l’´equivalent m´ecanique des grandeursR, φ, Iext,C, du courantJosephsonIcsinφet de la tensionV.

Dans la suite, on prendraη= 0.

8.A partir de l’´equation m´ecanique donn´ee dans l’´enonc´e, faire apparaˆıtre un bilan de puissance et interpr´eter` les diff´erents termes. Montrer que l’´energie potentielleEpdu syst`eme est de la forme (`a une constante pr`es fix´ee

`a z´ero pour ce probl`eme) :

Ep(θ) =−mgℓcosθ−Γextθ=−mgℓ

cosθ+Γext

mgℓθ

On repr´esente `a la figure 4 le profil d’´energie potentielle en fonction deθpour diff´erentes valeurs du param`etre Γext/mgℓ.

θ Ep

b 0

Γext/mgℓ= 0,1 Γext/mgℓ= 0,7 Γext/mgℓ= 1,3 Γext/mgℓ= 1,9

Figure4 – ´Energie potentielleEp(θ).

9.A partir de l’analyse des courbes` Ep(θ), indiquer les diff´erentes positions d’´equilibre lorsqu’elles existent et pr´eciser leur stabilit´e.

10.En analysant les diff´erentes courbes sur le document r´eponse, pr´eciser ce que l’on peut dire pour Γext< mgℓ et Γext> mgℓ.

L’analogie m´ecanique a permis de montrer que la jonction r´eelle avait deux comportements diff´erents selon les valeurs de certains de ses param`etres. On se propose maintenant d’´etudier la caract´eristique ´electrique.

Dans toute cette partie, on travaille avec des variables adimensionn´eesκ=Iext/Ic etτ=ωJtet un param`etre βJ.

11.Montrer que l’´equation diff´erentielle ´electrique de la question5.se met sous la forme suivante, pour laquelle on donnera les expressions deωJ etβJ :

κ= d²φ dτ² +βJ

dφ

dτ + sinφ(τ)

Etudions dans un premier temps le cas´ βJ ≫1, appel´e cas statique. Dans notre probl`eme, la tensionV d´epend du temps. La grandeur pertinente est donc la moyenne temporellehV(t)i. Dans le cas βJ≫1, l’´equation de la question11.se r´esout analytiquement et on trouve :







hV(t)i=±p

I_ext² −I_c² pour |Iext| ≥Ic

hV(t)i= 0 sinon

12. La condition βJ ≫ 1 est-elle v´erifi´ee pour des petites ou des grandes capacit´es ? Comment le circuit

´electrique se simplifie-t-il dans ce cas ?

13.Que devient le circuit simplifi´e de la question12.lorsqueIext≫Ic? Interpr´eter.

On donne le r´esultat exp´erimental de la caract´eristique tension-courant obtenue par Courtois, Meschke, Peltonen et Pekola () en figure 5.

Figure5 – Caract´eristique ´electrique exp´erimentale obtenue par Courtois, Meschke, Peltonen et Pekola ().

On mesure la tension moyenne VSN S aux bornes de la jonctionJosephson en fonction du courant ext´erieur ISN S.

14. A partir du graphe exp´erimental, d´eterminer la valeur de` Ic et celle de la r´esistance R du circuit. On prendra soin de bien expliquer le raisonnement.

Lorsque la conditionβJ ≫1 n’est plus v´erifi´ee, il n’existe pas de solution analytique au probl`eme. On utilise donc une r´esolution num´erique qui permet de tracer le diagramme de phase (dφ/dτ, φ(τ)).

15.A quelles conditions sur l’´equation de la question 11 retrouve-t-on l’´equation d’un pendule simple sans` frottement ? Repr´esenter soigneusement le portrait de phase pour diff´erentes vitesses initiales.

On se place `a βJ = 0,6 et on repr´esente les diagrammes de phase obtenus num´eriquement pour diff´erentes valeur deκ, voir la figure 6. Les courbes d’un mˆeme diagramme sont toutes trac´ees avec des conditions initiales diff´erentes repr´esent´ees par des points.

16.A partir des diagrammes de phase, commenter l’´evolution de la tension` V aux bornes de la jonction. On rappelle queV = h

4πe dφ

dt.

φ( rad) φ( rad)

dφ

dτ( rad) dφ

dτ( rad)

Figure6 – Diagrammes de phase pourκ= 0,500 `a gauche et pourκ= 0,699 `a droite.

Probl` eme n

^o

2 – Plasmons dans les m´ etaux II

ENS MPI 2007 Ce probl`eme porte sur les ph´enom`enes li´es aux oscillations collectives des ´electrons libres dans le volume et

`a la surface des m´etaux. Ces oscillations, nomm´ees plasmons, sont `a l’origine de nombreuses applications en physique, chimie et biologie.

On consid´erera que du point de vue de la propagation des ondes ´electromagn´etiques l’air se comporte comme le vide et que le m´etal est non-magn´etique. Dans tout le probl`eme, un m´etal sera mod´elis´e par un milieu isotrope homog`ene conducteur, de conductivit´e statique γ⁰, comprenant par unit´e d volume N ´electrons mobiles dans un r´eseau fixe d’atomes. Seul un ´electron par atome participe `a la conduction dans le m´etal. Chacun de ces

´electrons est assimil´e `a une particule de massemet de charge−elibre de se mouvoir, les interactions subies se limitant `a des chocs dont on ne cherchera pas `a pr´eciser la nature.

Donn´ees :

Permittivit´e du vide :ε⁰= 8,85×10⁻¹²F·m⁻¹ Perm´eabilit´e magn´etique du vide :µ⁰= 4π10⁻⁷H·m⁻¹ Constante deBoltzmann:kB = 1,38×10⁻²³J·K⁻¹ Constante dePlanck: h= 6,63×10⁻³⁴J·s et ~=h/2π Nombre d’Avogadro:NA= 6,02×10²³mol⁻¹

Masse de l’´electron :m= 9,11×10⁻³¹kg

Masse molaire atomique de l’or :M = 197 g·mol⁻¹ Masse volumique de l’or :d= 19,3 g·cm⁻³

Conductivit´e statique de l’or :γ0= 45,5×10⁶S·m⁻¹ Notation des nombres complexes :i²=−1

Relation d’analyse vectorielle :−→rot(−→rot ~U) =−−→graddivU~ −∆U~

A. Plasmons dans un m´ etal

Dans cette partie, on mod´elise les collisions subies par les ´electrons par une force de frottement fluide −m~v/τ introduite dans la partie pr´ec´edente,~v´etant la vitesse de l’´electron etτ la constante de temps des collisions. Le champ ´electrique appliqu´e au m´etal est maintenant d´ependant du temps et s’´ecritE(t).~

1.Montrer que s’il existe `a l’instantt= 0 une densit´e volumique de chargesρ0 en un point du conducteur de conductivit´eγ0, celle-ci disparaˆıt tr`es rapidement. On calculera le temps de relaxation correspondant.

2.Dans un r´egime forc´e dans lequel le champ appliqu´e au m´etal est sinuso¨ıdal et s’´ecrit en notation complexe E(t) =~ E~0expiωt, d´eterminer la vitesse d’un ´electron en r´egime permanent. En d´eduire, `a partir de la loi d’Ohm locale, que la conductivit´eγ(ω) complexe en r´egime variable s’´ecrit :

γ(ω) = γ⁰ 1 +iωτ

3.Montrer que ce r´egime autorise pour la densit´e de chargeρ(t) des oscillations amorties dont on donnera la pseudo-pulsation ainsi que le temps de d´ecroissance en fonction deτ et de la pulsationωp=p

γ⁰/ε⁰τ. Celle-ci est appel´ee pulsation plasmon par analogie `a la pulsation plasma dans les gaz.

4.En comparant les ordres de grandeur deωp et 1/τ, commenter le comportement deρ(t).

5.La pulsation plasmon provient d’une oscillation spatiale des charges propre au m´etal dont on peut retrouver l’origine en l’assimilant `a un gaz d’´electrons de densit´e−N ese superposant `a un support de charges positives de densit´eN e. Justifier que l’on peut consid´erer les ions du m´etal comme fixes par rapport aux ´electrons. Montrer que sous l’action d’un d´eplacement δx du gaz d’´electrons dans la direction x, il se cr´ee un champ ´electrique induit que l’on exprimera en fonction deN,eet δx.

6.Retrouver la pulsation propre des oscillations du gaz d’´electrons sous la formeωp=p

N e²/mε0. On notera que dans cette oscillation,ρreste nul `a l’int´erieur du m´etal. Seule une charge surfacique apparaˆıt `a la surface du m´etal.

B. Couplage champ-plasmons – Propagation

Dans cette partie, on ´etudie le couplage d’une onde ´electromagn´etique avec les oscillations plasmons d´ecrites dans la partie pr´ec´edente. Le conducteur m´etallique est parcouru par une onde ´electromagn´etique plane progressive monochromatique de vecteur d’onde~k suivant le sens positif de l’axez. On notera le champ ´electrique complexe associ´e `a cette onde :E(z, t) =~ E~<sup>0</sup>exp [i(ωt−kz)]. On n´egligera l’effet du champ magn´etique sur le mouvement des ´electrons de telle mani`ere que l’expressionγ(ω) donn´ee `a la question 2 reste valable.

7.A partir des ´equations de` Maxwell, d´emontrer la relation de dispersion du vecteur d’onde : k²(ω) = ω²

c²

1−iγ(ω) ωε0

8.On suppose dans un premier temps que la pulsation de l’onde est faible devant la fr´equence des collisions dans le m´etal de telle mani`ere queω≪1/τ. Justifier pourquoi la conductivit´e est la mˆeme qu’`a champ d’excitation constant. `A quelle longueur d’onde dans le vide ce domaine de fr´equences correspond-il ?

9.En utilisant une expression simplifi´ee pourk(ω), montrer que dans ces conditions le champ s’´ecrit : E(z, t) =~ E~0exp−z

δexpi(ωt−z δ)

Exprimer la profondeur de p´en´etrationδen fonction deγ⁰,ω etµ⁰. Repr´esenter graphiquement la d´ependance enzde l’amplitude spatiale du champ (en consid´erantz= 0 `a l’entr´ee du m´etal). Calculerδpour des ondes de fr´equences 50 Hz et 100 MHz.

10. On se place maintenant dans le cas o`u ω ≫ 1/τ. Montrer qu’en premi`ere approximation : k²(ω) = ω²/c²−ω²_p/c². Sous quelle condition l’onde peut-elle se propager dans le m´etal ?

11.Dans le domaine de fr´equence dans lequel il n’y a pas de propagation, donner l’expression de la distance de p´en´etrationδp dans le m´etal en fonction de ω, ωp et c. Calculer cette distance pour une fr´equence dans le visible.

C. Plasmons de surface sur un m´ etal

On ´etudie dans cette partie, l’effet des oscillations ´electroniques `a la surface d’un m´etal sur la propagation des ondes ´electromagn´etiques. De la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, il n’y a pas d’accumulation de charges `a l’int´erieur du m´etal. On consid`ere une interface entre le m´etal occupant l’espacez >0 et l’air occupant l’espace z <0. Sur cette interface, on cherche les ondes ´electromagn´etiques sous la forme d’ondes planes inhomog`enes de champs ´electrique et magn´etique complexes :

E~ℓ(x, z, t) =E~ℓ(z) exp [i(ωt−kxx)] et B~ℓ(x, z, t) =B~ℓ(z) exp [i(ωt−kxx)]

avecℓ = 1 dans l’air et ℓ= 2 dans le m´etal.kx est la composante suivantxdu vecteur d’onde dans les deux milieux etE~ℓ(z) l’amplitude spatiale du champ.

12.Exprimer dans le pr´esent les ´equations deMaxwellsatisfaites par les champs ´electriques et magn´etiques dans l’air et le m´etal de conductivit´eγ(ω).

13.On suppose que les champsE~ℓ(z) (ℓ= 1,2) sont polaris´es dans le plan (x, z). Montrer qu’alors le champ magn´etique associ´eB~ℓ(z) est dirig´e suivant l’axey, et que le probl`eme se ram`ene `a la recherche de la fonction scalaireEℓx(z) dans chacun des deux milieux.

14.Montrer queEℓx(z) v´erifie l’´equation diff´erentielle pour ℓ= 1,2 : d²Eℓx(z)

dz² −(k_x²−ω²µ0ǫℓ)Eℓx(z) = 0 avecǫ1=ε0 la permittivit´e de l’air etǫ2=ε0−iγ(ω)/ωcelle du m´etal.

Dans toute la suite, on consid`ere les ondes de pulsationω telle queω≫1/τ. Montrer qu’alorsǫ2est r´eel.

15.Montrer que le forme g´en´erale des solutions de cette ´equation diff´erentielle s’´ecrit :Eℓx(z) =αℓexpz/δℓ+ βℓexp−z/δℓpourℓ= 1,2, avec des constantesδℓ dont on donnera l’expression en fonction dekxet ǫℓ.

16.On cherche des solutions sous la forme d’ondes de surface : ces ondes se propagent dans la directionx, restent confin´ees au voisinagez= 0 de part et d’autre de l’interface (1−2), et s’annulent pourzinfini. Montrer qu’alors n´ecessairementδℓ est r´eel. On choisitδℓpositif pour l= 1,2 : donner l’expression simplifi´ee deEℓx(z) pourℓ= 1,2.

17. Donner la forme des autres composantes Eℓz(z) et Bℓy(z). Quel est l’´etat de polarisation du champ

´electrique dans le plan (x, z) ?

18.Repr´esenter la d´ependance enxes amplitudes des vecteursE~ℓ de chaque cˆot´e de l’interface. Repr´esenter de mˆeme l’amplitude de la moyenne temporelle du vecteur dePoynting< ~Πℓ >(x, z) en fonction dexpuis dez.

19.On admet que dans la description pr´esente il n’y a pas lieu d’introduire de courant de surface. En utilisant les relations de continuit´e des champs sur l’interfacez= 0, montrer que :

ǫ¹δ¹+ǫ²δ²= 0 En d´eduire le signe deǫ².

20.Montrer que la relation de dispersion liantkx `aω s’´ecrit : k_x²(ω) = ǫ¹ǫ²

ǫ¹+ǫ²µ⁰ω²

21.Exprimerk²_x(ω) en fonction deω,ωpetc. En prenant en compte les caract´eristiques des ondes de surface d´efinies `a la question 16, en d´eduire le domaine de fr´equences autorisant la propagation d’une telle onde le long de l’interface (1−2). Donner les expressions des profondeurs de p´en´etration de l’ondeδℓ(ω, ωp) (ℓ= 1,2) de part et d’autre de l’interface et calculer ces distances pour une longueur d’onde dans le vide de 500 nm.

22.Repr´esenter graphiquementkx(ω) dans le domaine de fr´equences d´efini `a la question 21. Discuter les cas : ω≪ωp,ω→ωp/√

2.

23.La solution `a la pulsationω=ωp/√

2 est appel´ee pulsation propre du plasmon de surface. En ´etudiant la limite du rapportEℓx(z = 0)/Eℓz(z= 0) pour ω→ωp/√

2, donner la polarisation de cette onde dans le plan (x, z).

Probl` eme n

^o

3 – Caract´ erisation de nanoparticules

X MP 2010 On s’int´eresse dans ce probl`eme `a la caract´erisation de particules de taille nanom´etrique (1 nm = 10⁻⁹m) par diffusion des rayons X aux petits angles.

Donn´ees num´eriques :

Vitesse de la lumi`ere dans le vide : c= 3,0×10⁸m·s⁻¹ Permittivit´e du vide : ε⁰= 8,9×10⁻¹²F·m⁻¹ Perm´eabilit´e du vide : µ⁰= 1,3×10⁻⁶H·m⁻¹ Charge ´el´ementaire : e= 1,6×10⁻¹⁹C Constante deRydberg: R^∞= 1,1×10⁷m⁻¹ Masse de l’´electron : me= 9,1×10⁻³¹kg Formulaire : cosx= 1−x²

2 +x⁴

24+o(x⁵) et sinx=x−x³ 6 + x⁵

120+o(x⁶)

A. Interaction d’une onde ´ electromagn´ etique avec un ´ electron libre

On consid`ere un ´electron libre qui, en l’absence de toute force, est situ´e `a l’origine du rep`ere orthonorm´e de vecteurs unitaires (~ex, ~ey, ~ez) d’un r´ef´erentiel d’´etude, suppos´e galil´een. Cet ´electron, de charge −e, est soumis `a une onde ´electromagn´etique monochromatique plane de pulsation ω et de vecteur d’onde~k =k~ey. En repr´esentation complexe, le champ ´electrique de cet onde s’´ecrit E~ = E⁰expi(ωt−~k·~r)~ez, l’origine des temps ´etant choisie de telle mani`ere queE<sup>0</sup> soit r´eel et positif. On n´eglige l’effet du champ magn´etique sur le mouvement de cet ´electron et on consid`ere que la propagation se fait dans le vide.

1.On note~δ(t) le vecteur position de l’´electron `a l’instantt. On fait l’approximation que, pour toutt, le champ

´electrique de l’onde est le mˆeme qu’`a l’origine. Montrer que l’´equation du mouvement de l’´electron admet une solution de la forme~δ=δ⁰expiωt ~ez, en repr´esentation complexe, avecδ⁰=eE⁰/meω².

2. On rappelle que l’intensit´e ´energ´etique de l’onde est donn´ee parI⁰ = 1

2ε⁰cE0². L’onde est un faisceau de rayons X de longueur d’ondeλ = 0,1 nm et d’intensit´e I0 = 200 W· mm⁻². Calculer num´eriquement δ0 puis δ0/λ, et v´erifier la validit´e de l’approximation faite `a la question pr´ec´edente.

3. La pulsation caract´eristique du mouvement de l’´electron autour d’un noyau atomique est ω0 = 2πcR∞, o`u R∞ est la constante de Rydberg. Comparer les valeurs num´eriques de ω et ω0 et justifier que l’on peut consid´erer, pour l’interaction d’un ´electron atomique avec l’onde ´electromagn´etique pr´ec´edente que l’´electron est libre.

4.L’´electron acc´el´er´e rayonne un champ ´electromagn´etique ´equivalent `a celui d’un dipˆole ´electrique de moment dipolaire~p(t) =p<sup>0</sup>expiωt~ez=−e ~δ(t). On noteE~<sup>1</sup>(M) etB~<sup>1</sup>(M) les champs ´electrique et magn´etique rayonn´es au point M par le dipˆole situ´e `a l’origine. Dans le syst`eme de coordonn´ees sph´eriques de rep`ere orthonorm´e (~er, ~eθ, ~eϕ), leurs expressions au pointM(r, θ, ϕ), voir la figure 7, sont :

E~¹(M) = 1 4πε⁰c²

¨

p(t−r/c)

r sinθ~eθ et B~¹(M) = µ⁰ 4πc

¨

p(t−r/c) r sinθ~eϕ

o`u ¨prepr´esente la d´eriv´ee seconde deppar rapport au temps. Rappeler le domaine de validit´e de ces expressions et expliquer la d´ependance ent−r/cdu champ ´electromagn´etique.

5.Montrer queE~1(M) peut se mettre sous la forme : E~1(M) = b

rE0exp[iω(t−r/c)] sinθ~eθ

o`u b est une constante (appel´ee longueur de diffusion deThomson) dont on donnera l’expression et dont on calculera la valeur.

6. On place un atome dans le champ de l’onde incidente. Montrer que le champ rayonn´e par le noyau est n´egligeable devant celui rayonn´e par un ´electron.

b b

O

y z

x

M

ϕ θ

~er ~eϕ

~eθ

Figure7 – Coordonn´ees sph´eriques

B. Diffusion par un ensemble d’´ electrons

On consid`ere `a pr´esent un ensemble deN ´electrons dont les positions moyennes sont rep´er´ees par les vecteurs

~rj, l’origine ´etant choisie `a l’int´erieur de cet ensemble. Ces ´electrons sont soumis `a l’onde ´electromagn´etique de la premi`ere partie. Il r´esulte de la question 1. que si la position moyenne de l’´electron est ~rj, l’expression complexe de sa position instantan´ee est~rj+~δ(t) avec~δ(t) = (eE⁰/meω²) expi(ωt−~k·~rj)~ez.

7.On suppose que la distance du point d’observationM `a l’origine est tr`es grande devant la taille de l’ensemble d’´electrons. Montrer `a l’aide d’un sch´ema que le champ ´electrique rayonn´e en M par l’ensemble des ´electrons est alors donn´e par :

E(M~ ) =E~¹(M)

N

X

j=1

expi~q·~rj

o`uE~1(M) est le champ obtenu `a la question5.et ~q=k~er−~k est nomm´e vecteur de diffusion.

8.Exprimerq=||~q||en fonction de la longueur d’ondeλet de l’angleβ entre~eret~k.

9.On dispose au pointM un d´etecteur de rayonnement d’aireδSM perpendiculaire~er. SoientδP la puissance re¸cue par le d´etecteur etδΩ l’angle solide, suppos´e petit, sous lequel le d´etecteur est vu depuis l’origine (δSM = r²δΩ). Montrer que la section efficace diff´erentielle de diffusion, d´efinie parσ(~q) = (1/I0)(δP/δΩ), peut se mettre sous la forme :

σ(~q) = (bsinθ)²

N

X

j=1

expi~q·~rj

2

On effectuera le calcul pr´ec´edent en complexes. Soient deux grandeurs complexes dont on effectue le produit u(t) eti(t). La valeur moyenne de ce produit est :< P >t=¹₂ℜ(u i^∗) o`uℜ(z) est la partie r´eelle dez.

10. Exprimer σ(~q) en fonction des vecteurs~rjk =~rj −~rk. On suppose les ´electrons al´eatoirement r´epartis et N ≫1. Quelle est la forme asymptotique de σ(~q) lorsque les distances entre les ´electrons sont toutes tr`es grandes devantq⁻¹? Qu’en est-il au contraire lorsque toutes les distances sont petites devantq⁻¹? Commenter ces r´esultats, en termes de l’intensit´e diffus´ee par l’ensemble des ´electrons.

11.A l’aide des r´esultats de la question pr´ec´edente, ´evaluer l’ordre de grandeur en degr´es des angles` β utiles pour obtenir des informations sur la structure de particules d’une dizaine de nanom`etres en utilisant la diffusion des rayonsX de la question2.. `A quelle difficult´e technique peut-on s’attendre ?

C. Diffusion par une suspension dilu´ ee de nanoparticules

On consid`ere un ensemble denparticules solides en suspension dans un volumeV. Le milieu est globalement neutre. Les particules sont consid´er´ees comme des distributions continues de charge, le volume de chacune d’elles

´etantVP. On note respectivementρ¹ la densit´e volumique d’´electrons, suppos´ee uniforme, dans la solution, et ρ² = ρ¹+ ∆ρ la densit´e volumique d’´electrons `a l’int´erieur des particules, suppos´ee uniforme elle aussi. On s’int´eresse `a des rayons X diffus´es par ce milieu dans une direction faisant un petit angleβavec l’axe d’incidence Oy, 0< β ≪1. La g´eom´etrie est donc la mˆeme que pr´ec´edemment, avec sinθ≃1. Les charges ´electroniques sont les seules `a diffuser. La formule donn´ee `a la question9. s’adapte en :

σ(~q) =b²

y

V

ρ(~r) expi~q·~rd³r

2

avec ρ(~r) = ρ¹ dans la solution et ρ(~r) =ρ² `a l’int´erieur des particules. On suppose que V est suffisamment grand pour que y

V

expi~q·~rd³r soit n´egligeable, et que la suspension est suffisamment dilu´ee pour que les particules diffusent ind´ependamment les unes des autres.

12.On s’int´eresse `a la grandeurJ(~q) =σ(~q)/V, pour~q6=~0, qui est une mesure de l’intensit´e diffus´ee hors de la direction d’incidence. On suppose les particules sph´eriques et identiques, et l’onde noteg(~q) =y

V_P

expi~q·~rd³r pour une particule centr´ee `a l’origine. Consid´erant successivement l’intensit´e diffus´ee par une particule centr´ee

`a l’origine, puis l’intensit´e diffus´ee par une particule centr´ee en un pointR, montrer que :~ J(~q) = n

Vb²∆ρ²|g(~q)|²

13.Etablir l’expression de´ g(~q) pour des particules sph´eriques de rayonR. Il sera commode d’utiliser pour ce calcul des coordonn´ees sph´eriques dont l’axe des pˆoles est la direction de~q. On donne l’int´egrale

Z x 0

tsintdt= sinx−xcosx.

14.Montrer que pour qR≪ 1, le r´esultat obtenu est compatible au second ordre en qRavec la loi dite de Guinier, JG(~q) = (n/V)b²∆ρ²V_P²exp−1

5(qR)².

15.Etablir l’expression de´ J~(~q) pour qR≫1. Montrer qu’`a un facteur oscillant pr`es,J(~q) est proportionnel

`

a la surface totaleS d´evelopp´ee par les particules dans le volumeV.

16.Toujours dans la limiteqR≫1, pourquoi peut-on s’attendre `a ce que le facteur oscillant se moyenne pour une solution de particules r´eelles, dont les tailles sont diff´erentes ? V´erifier qu’on obtient alors la loi dePorod: JP(~q)∝1/q⁴.

17.La figure 8 repr´esente, en coordonn´ees doublement logarithmiques, la variation deJ en fonction deqpour une solution de nanoparticules de silice. Comme le montre l’encart, ces particules ont tendance `a s’agr´eger en amas. Expliquer la forme de la courbe en identifiant les diff´erents r´egimes de diffusion. `A partir de la loi de Guinier, ´evaluer l’ordre de grandeur de la taille des particules.

Figure8 – Diffusion des rayons X aux petits angles par des nanoparticules de silice