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Il arme que la somme de toutes les fractions de la forme yyij avec i6=j, 1≤i≤k, 1≤j≤k est aussi égale à S

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

A2826. Une erreur de calcul

Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi(i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calculeS=Pxi

xj

= somme de toutes les fractions de la forme xxij avec i 6=j, 1≤ i≤20, 1≤j≤ 20. Puce de son côté a choisi une suite de k nombres réels positifs yi (i = 1 à k) dont la somme est égale 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il arme que la somme de toutes les fractions de la forme yyij avec i6=j, 1≤i≤k, 1≤j≤k est aussi égale à S. Déterminer S puis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.

Solution proposée par Daniel V caru, Pites,ti, Roumanie.

Pour Zig, on a S =

20

P

i6=j xi xj =

20

P

i=1

xi

20

P

j=1 1

xj −20 = 85·24−20 = 2020.Pour Puce, on a S =

k

P

i6=j yi yj =

k

P

i=1

yi k

P

j=1 1

yj −k = 159·13−k = 2020 ⇒ k = 47.

On a, par M A ≥ M G, 159 ≥ 4747 s47

Q

k=1

xk ⇒ 15947 ≥ 47 s47

Q

k=1

xk. Nous avons

et 13 ≥ 47

47

s47

Q

k=1

xk

⇔ 47 s47

Q

k=1

xk ≥ 4713. On obtient 15947 ≥ 47 s47

Q

k=1

xk ≥ 4713 ⇔

159·13≥472⇔2067≥2209, ce qui est évidemment faux.

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