Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu’un tétraèdre est pythagoricien s’il vérifie les deux conditions - Ses 6 côtés sont des nombres entiers tous distincts ;
- Ses 4 faces sont des triangles rectangles.
Q₁. Trouver un tétraèdre pythagoricien.
Q₂. Démontrer que si T est un tétraèdre pythagoricien, alors le volume de T est entier, et T possède deux côtés orthogonaux
La seule configuration possible est celle du tétraèdre quadri-rectangle, dans lequel (aux permutations près) les faces ABC et ABD sont rectangles en B, tandis que les faces ACD et BCD sont rectangles en C.
AC2=AB2+BC2, AD2=AB2+BD2, AD2=AC2+CD2, BD2=BC2+CD2. Soit AD2=AB2+BD2=AC2+CD2=AB2+BC2+CD2
On est donc amené à chercher des solutions parmi les nombres qui sont au moins de deux façons différentes la mesure de l’hypoténuse d’un triangle pythagoricien ; en particulier produit de deux nombres premiers distincts congrus à 1 modulo 4.
Après quelques tâtonnements, on trouve que AD=1073=29*37 convient, avec AB=448, BD=975, AC=952, CD=495, BC=840.
Q2 : V=AB*BC*CD/2 or AB et BC ne sont pas tous les deux impairs, donc V est entier.
AB est orthogonal à BC et à BD, donc au plan BCD, donc à CD
