TD 13
Géométrie dans l’espace : produit scalaire.
T.S
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EXERCICE 1 Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal.tett′ désignent des paramètres réels.
Le plan (P) a pour équationx−2y+ 3z+ 5 = 0.
Le plan (S) a pour représentation paramétrique
x = −2 +t+ 2t′ y = −t−2t′ z = −1−t+ 3t′ La droite (D) a pour représentation paramétrique
x = −2 +t y = −t z = −1−t On donne les points de l’espace M(−1 ; 2 ; 3) et N(1 ; −2 ; 9).
1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :
a.
x = t
y = 1−2t z = −1 + 3t
b.
x = t+ 2t′
y = 1−t+t′ z = −1−t
c.
x = t+t′
y = 1−t−2t′ z = 1−t−3t′
d.
x = 1 + 2t+t′
y = 1−2t+ 2t′ z = −1−t′
2. (a) La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(−8 ; 3 ; 2).
(b) La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires.
(c) La droite (D) est une droite du plan (P).
(d) La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
3. (a) La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
(b) La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
(c) La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
(d) La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
4. (a) Les plans (P) et (S) sont parallèles.
(b) La droite (∆) de représentation paramétrique
x = t y = −2−t z = −3−t
est la droite d’intersection des plans (P) et (S).
(c) Le point M appartient à l’intersection des plans (P) et (S).
(d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
EXERCICE 2 :
ABCDEFGH désigne un cube decà´té 1.
Le point I est le milieu du segment [BF].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [CD].
A
B C
D E
F G
H
I
J
K
b b b
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Partie A
Dans cette partie, on ne demande aucune justification On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction :
• le point L ;
• l’intersectionDdes plans (IJK) et (CDH) ;
• la section du cube par le plan (IJK).
Partie B
L’espace est rapporté au repère
A; −→AB, −→AD, −→AE .
1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
2. (a) Montrer que le vecteur−→AG est normal au plan (IJK).
(b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
3. On désigne parM un point du segment [AG] ettle réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que −−→AM =t−→AG.
(a) Démontrer que MI2= 3t2−3t+5 4.
(b) Démontrer que la distanceMI est minimale pour le pointM 1
2 ; 1 2 ; 1
2
. 4. Démontrer que pour ce pointM
1 2 ; 1
2 ; 1 2
: (a) M appartient au plan (IJK).
(b) La droite (IM) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
EXERCICE 3 On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.
b b
b
b bbb
S
A
B C
D O
I
Le point O est le centre de la base ABCD avec OB= 1.
On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.
1. Justifier que le repère
O; −→OB, −→OC, −→OS
est orthonormé.
Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère
O; −→OB, −→OC, −→OS . 2. On définit le point K par la relation−→SK=1
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−→SD et on note I le milieu du segment [SO].
(a) Déterminer les coordonnées du point K.
(b) En déduire que les points B, I et K sont alignés.
(c) On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI).
Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.
(d) Déterminer les coordonnées du point L.
3. On considère le vecteur−→n
1 1 2
dans le repère
O; −→OB, −→OC, −→OS . (a) Montrer que−→n est un vecteur normal au plan (BCI).
(b) Montrer que les vecteurs−→n , −→AS et−→DS sont coplanaires.
(c) Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?
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EXERCICE 4 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(5 ; −5 ; 2),B(−1 ; 1 ; 0),C(0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; −1).
1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
2. (a) Montrer que le vecteur~n
−2 3 1
est un vecteur normal au plan (BCD).
(b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droiteDorthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.
4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droiteDet du plan (BCD).
5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formuleV = 1
3B ×h, où Best l’aire d’une base du tétraèdre ethla hauteur correspondante.
6. On admet que AB =√
76et AC=√ 61.
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angleBAC.[
EXERCICE 5 Dans l’espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].
On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé
A; −→AB,−→AC,−→AD
de l’espace.
1. On désigne parP le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF).
On note H le point d’intersection du planP et de la droite (DF).
(a) Donner les coordonnées des points D et F.
(b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
(c) Déterminer une équation cartésienne du planP. (d) Calculer les coordonnées du point H.
(e) Démontrer que l’angleEHG est un angle droit.[
2. On désigne parM un point de la droite (DF) et part le réel tel que−−→DM =t−→DF. On note αla mesure en radians de l’angle géométriqueEM\G.
Le but de cette question est de déterminer la position du pointM pour queαsoit maximale.
(a) Démontrer que ME2=3 2t2−5
2t+5 4.
(b) Démontrer que le triangleMEG est isocèle enM. En déduire queMEsinα
2
= 1 2√
2.
(c) Justifier queαest maximale si et seulement sisinα 2
est maximal.
En déduire queαest maximale si et seulement siME2 est minimal.
(d) Conclure.
EXERCICE 6 Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de « coin de cube », les faces réfléchissantes tournées vers l’intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie.
Les points O, A, B et C sont des sommets d’un cube, de telle sorte que le repère
O;−→OA,−→OB,−→OC
soit un repère orthonormé.
On utilisera ce repère dans tout l’exercice.
Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.
Règles de réflexion d’un rayon lumineux (admises) :
• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur~v(a; b ; c) est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est~v(a; b; −c);
• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur~v(a; b; c)est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est~v(−a; b ; c);
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• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur~v(a ; b ; c) est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est~v(a; −b; c);
Vue en perspective cavalière de la réflexion d’un rayon lumineux sur le plan (OAB)
B C
A O
~n(0 ; 0 ; 1)
1. Propriété des catadioptres
En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur~v(a ; b ; c)est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial.
Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite d1 de vecteur directeurv~1(−2 ; −1 ; −1) qui vient frapper le plan (OAB) au point I1(2 ; 3 ; 0). Le rayon réfléchi est modélisé par la droite d2 de vecteur directeur
~
v2(−2 ; −1 ; 1)et passant par le point I1. 2. Réflexion ded2 sur le plan (OBC)
(a) Donner une représentation paramétrique de la droited2.
(b) Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan.
(c) Soit I2 le point de coordonnées(0 ; 2 ; 1).
Vérifier que le plan (OBC) et la droited2 sont sécants en I2.
On noted3 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC).d3 est donc la droite de vecteur directeur v~3(2 ; −1 ; 1)passant par le point I2(0 ; 2 ; 1).
3. Réflexion ded3 sur le plan (OAC)
Calculer les coordonnées du point d’intersection I3de la droited3avec le plan (OAC).
On noted4 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droited1.
4. Étude du trajet de la lumière
On donne le vecteur~u(1 ; −2 ; 0), et on noteP le plan défini par les droitesd1 etd2. (a) Démontrer que le vecteur~uest un vecteur normal au planP.
(b) Les droitesd1,d2 etd3 sont-elles situées dans un même plan ? (c) Les droitesd1,d2 etd4 sont-elles situées dans un même plan ?
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