Enonc´e noI159 (Diophante) R´eseau interstellaire
Raccorder les 8 ´etoiles situ´ees aux sommets d’un cube d’un parsec de cˆot´e par un r´eseau de segments de longueur totale minimale sachant que des noeuds en dehors des sommets sont autoris´es.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit ABCD une face du cube, AA0, BB0, CC0, DD0 les arˆetes du cube or- thogonales `a cette face.
Je construis :
– les pointsa, b, c, d, milieux respectifs de AA0, BB0, CC0, DD0.
– sur la m´ediatrice commune des segments abetcd, qui passe par le centre O du cube, les points I etJ `a distance (1/2−1/√
12) parsec deO.
– les milieuxa0, b0, c0, d0 de Ia, Ib, J c, J d respectivement.
Je constitue le r´eseau par :
– les 8 segments a0A, a0A0, b0B, b0B0, c0C, c0C0, d0D, d0D0 de longueur 1/√ 3 parsec,
– les 4 segmentsIa0, Ib0, J c0, J d0 de longueur 1/√
12 parsec, – le segmentIJ de longueur (1−1/√
3) parsec.
La longueur totale du r´eseau est (1 +√
27) = 6,19615. . .parsecs.
En chaque noeud interm´ediaire se rejoignent 3 segments coplanaires formant des angles de 120◦.
