I103- Les missionnaires et les cannibales [** à la main]
Pour franchir une rivière,3 missionnaires et 3 cannibales doivent utiliser une barque qui ne peut supporter plus de 2 personnes. Si à tout moment les cannibales sont plus nombreux que les missionnaires sur l’une des deux rives, les missionnaires seront tués et mangés. Les six protagonistes peuvent-ils traverser la rivière sains et saufs ? S’ils le peuvent, comment y arrivent-ils avec un minimum de traversées et quel est le nombre de façons de parvenir à ce minimum? Que se passe-t-il avec 4 missionnaires et 4 cannibales ?
Généraliser le problème avec a missionnaires et a cannibales, a=4,5 et 6 et une barque supportant p personnes (p=2,3,4,5). Dans la barque comme sur chacune des deux rives, les cannibales ne peuvent pas être plus nombreux que les missionnaires.
Source : d’après Martin Gardner- Pour la Science n° 31 – Mai 1980 Solution
3 missionnaires et 3 cannibales dans une barque supportant 2 personnes au maximum Appelons A,B et C les trois missionnaires et x, y et z les trois cannibales. Le transfert peut se faire en 11 traversées et il y a quatre solutions possibles décrites dans le tableau ci-après :
On constate que pour tous les parcours, les traversées n°4 à 9 sont les mêmes et que les 4 variantes reposent sur les 2 modalités possibles pour les trois premières traversées d’une part et les deux dernières traversées d’autre part.
4 missionnaires et 4 cannibales dans une barque supportant 2 personnes au maximum Il n’y a pas de solution possible de même que pour tout couple (a,a) de missionnaires et de cannibales tel que a>4.
Généralisation avec (a,a) missionnaires et cannibales et une barque supportant p personnes
Le tableau ci-après fait apparaître le nombre minimum de traversées (quand cela est possible) en fonction de a et p.
On observe que pour p=4, n’importe quel groupe comportant un nombre égal a de
missionnaires et de cannibales peut utiliser sain et sauf la barque quel que soit a. En effet, un missionnaire et un cannibale en transportant chaque fois un couple missionnaire-cannibale jusqu’à ce que tous aient traversé la rivière. Il y a alors un nombre minimum de 2*a-3 traversées.
La description détaillée d’un transfert est donnée pour a=6 et p=5. A noter qu’on utilise sur une seule traversée la capacité maximale de la barque.
Nota : le dénombrement des traversées selon les valeurs de a et p peut être simplifié par l’utilisation des graphes.
