Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble
Option calcul scientifique 2007/2008
TP n
o9 : lois de Kepler
On se place dans R2. On suppose qu’au point (0,0) se trouve un soleil de masseM qui sera suppos´e fixe par la suite. Une plan`ete de masse m et de position x ∈ R2 subit de la part du soleil une force
F =−GmM x kxk3 ,
o`u G est la constante universelle de gravitation. Le mouvement de la plan`ete est donc donn´e par
∂tx(t) =v(t)
∂tv(t) =−GkM xxk3
(x, v)(0) = (x0, v0)∈R2×R2
Observer la trajectoire d’une plan`ete en utilisant un sch´ema d’Euler. Observer la trajectoire avec la commande scilab (ou une m´ethode RK4). V´erifier les trois lois de Kepler : - les trajectoires ferm´ees sont des ellipses dont le soleil est un foyer,
- si T est la p´eriode de l’orbite et a le demi grand axe de l’ellipse, alors le rapport T2/a3 est une constante ind´ependante de la trajectoire de la plan`ete,
- l’aire balay´ee par le vecteur −→
Ox entre les temps t ett+τ ne d´epend que de τ.
