Le vecteur de Lagrange-Lenz-Runge-Laplace-Hermann

Le vecteur de Lagrange-Lenz-Runge-Laplace-Hermann

Tentative de correction ...

A - Une constante du mouvement tr`es particuli`ere.

1 C’est imm´ediat d~L

dt = d~r

dt ∧md~r

dt +~r∧md²~r

dt² =~0−~r∧gradV(r) =−dV dr~r∧~r

r =~0 Le mouvement s’effectue donc dans le plan orthogonal au moment cin´etique.

2 Le syst`eme est conservatif, son lagrangien s’´ecrit L = T −U = ¹₂m

d~r dt

2

−V, la force est radiale donc le mouvement est plan, en coordonn´ees polaires dans ce plan~r =reb_r et ^d~_dt^r = ˙reb_r+rθ˙eb_θ ainsi L=T −U = ¹₂m

˙

r²+r²θ˙²

−mV (r), les deux coordonn´ees g´en´eralis´ees sont r etθ, il vient

∂L

∂r = 1

2mrθ˙²−mdV dr, ∂L

∂r˙ =mr˙ ainsi d dt

∂L

∂r˙

−∂L

∂r =mr¨−1

2mrθ˙²+mdV dr = 0

∂L

∂θ = 0, ∂L

∂θ˙ =mr²θ˙ ainsi d dt

∂L

∂θ˙

− ∂L

∂θ = d dt

mr²θ˙

= 0

La quantit´e constante qui apparaˆıt dans la seconde ´equation de Lagrange est le module du moment cin´etique L=mr²θ. En l’injectant dans la premi`˙ ere on trouve

¨

r− L²

2m²r³ +dV dr = 0 3 C’est un calcul imm´ediat

d dt

~r r

= 1 r

d~r dt +~r d

dt 1

r

= 1 r

d~r dt − r˙

r²~r=−1 r³

rr~˙r−r²d~r dt

or~r =rebr et ^d~_dt^r = ˙rebr+rθ˙eb_θ doncrr˙=~r·^d~_dt^r etr² =~r·~r donc d

dt ~r

r

=−1 r³

~ r·d~r

dt

~

r−( ~r·~r)d~r dt

on reconnaˆıt donc un double produit vectoriel

~ r·d~r

dt

~r−(~r·~r)d~r

dt = ~r∧

~ r∧d~r

dt

et donc

d dt

~r r

=−1 r³~r∧

~r∧ d~r dt

soitα= 3 (1)

4 Encore un calcul...

d dt

~π∧~L

= d~π

dt ∧~L+~π∧ d~L dt = d~π

dt ∧L~

Le pfd (ou les ´equations de Hamilton) s’´ecrivent ^d~_dt^π =−^∂H_∂~r =F~ =−^∂V_∂~r =−^dV_dr ^~r_r ainsi d

dt

~π∧L~

=−dV dr

1 r

~r∧L~

=−mdV dr

1 r

~ r∧

~ r∧d~r

dt

en utilisant le r´esultat (1) il vient d

dt

~ π∧L~

=−mdV dr

1 r

−r³ d dt

~r r

=mr²dV dr

d dt

~r r

5 Si V (r) = −k

r alors _dt^d

~ π∧L~

= mr² _r^k2

_d

dt

~r r

= mk_dt^d

~r r

= _dt^d mk^~r_r

qui montre bien que

d ~A

dt =~0. Il est clair que d’une part

~π∧~L

·L~ = 0 et que d’autre part km

r ~r·L~ = 0, le vecteur de Lenz est donc orthogonal au moment cin´etique, il est donc contenu dans le plan orbital.

B - La sym´etrie de Noether associ´ee.

6 On ´ecrit que P F = OP −OF = a−ae = a(1−e) puis P S = OP +OS = a+ae =a(1 +e), on

´

ecrit la d´efinition de l’ellipse au p´erig´ee soit P F +P S = 2a = Υ. Par sym´etrie, on a KF = KS et par d´efinition KF +KS = 2a soit KF = a. Le triangle OKF est rectangle en K, on a donc b=OK =√

a²−a²e²=a√

1−e². Les relations trigonom´etriques dans ce triangle s’´ecrivent sinOF K\ = sinf = OK

F K = a√ 1−e²

a =p

1−e² et donc cosf =−e on a donc f = 5π 6 7 La loi des aires donne directement ^df_dt = _mr^L2 par ailleurs dr

df = esin (f) p(1 +ecosf)⁻² = ^er_p² sinf ainsi

~v(M) = d~r dt = df

dt d~r df

= L

mr² dr

df (cosf eb_x+ sinf eb_y) + L

mr(−sinf eb_x+ cosf eb_y)

= L

mp[esinf(cosf ebx+ sinf eby) + (1 +ecosf) (−sinf ebx+ cosf eby)]

= L

mp(eeb_y−sinf eb_x+ cosf eb_y)

On en d´eduit que le vecteur vitesse parcours le cercle de rayonR= _mp^L , centr´e sur le point C tel que

−−→

OC = _mp^Le eby

8 Au p´erig´eer=F P =OP −OF =a−ae=a(1−e) et f = 0 donc~v(P) = _mp^L (1 +e) eb_y ainsi

L² mµ

A l’apog´ee r =F A =AP −F P = 2a−a(1−e) =a(1 +e) et f = π donc~v(A) = −_mp^L (1−e) eby

ainsi

E= L²

2mp² (1−e)²− mµ a(1 +e) L’´energie est un constante du mouvement donc

L²

2mp²(1 +e)²− L²

2mp² (1−e)²= mµ

a(1−e) − mµ a(1 +e) L²

2mp² h

(1 +e)²−(1−e)²i

= mµ a

1

1−e− 1 1 +e

4eL²

2mp² = mµ a

2e

1−e² =⇒ µ= L²a 1−e² m²p² = L²

m²p

En injectant cette valeur dans l’expression de l’´energie au p´erig´ee−par exemple−il vient E = L²

2mp²(1 +e)²− L² mpa(1−e)

1 +e 1 +e

= L²

2mp²(1 +e)²− L²(1 +e) mpa(1−e²)

= L² 2mp²

h

(1 +e)²−2 (1 +e)i

=− L² 2mp²

1−e²

=⇒ L= r

−2mp²E 1−e² 9 On a vu qu’en K, cosf =−eet sinf =√

1−e² on a donc~v(K) = _mp^L

eeby−√

1−e²ebx−eeby

=

−^L

√1−e²

mp eb_x en utilisant l’expression de L obtenue `a la question pr´ec´edente on a donc

~v(K) =− r

−2E m ebx

Le fait qu’en K⁰, cosf =−eet sinf =−√

1−e² permet d’avoir~v(K⁰) = q

−^2E_mebx =−~v(K).

10 La transformation conserve le vecteur vitesse et le demi-grand axe, l’´energie est donc conserv´ee. Il s’agit toujours d’un probl`eme `a deux corps, avec une ´energie n´egative, l’orbite est donc une ellipse de mˆeme foyer.

11 Puisque la vitesse en K_ϕ est parall`ele `a eb_x, le demi-petit axe est la distance entre K_ϕ et l’axe OF. Sur la transformation propos´ee le demi-petit axe augmente, on a vu que f = ^5π₆ losrque M est en K ainsi OF K\ est son compl´ementaire `a π soit OF K\ = ^π₆, comme ϕ = ^π₆ ´egalement, nous avons bϕ = KϕHϕ = asin 2× ^π₆

= a

√3

2 . L’excentricit´e est d´efinie par la relation e² = 1− _a^b2

si b augmente alors e diminue, ici e²_ϕ = 1 − ³₄ soit e_ϕ = ¹₂. La nouvelle orbite, de foyer F de demi- grand axe a de demi petit-axe b_ϕ =a

√ 3

2 et d’excentricit´e e_ϕ = ¹₂, son nouveau centre est O_ϕ tel que OϕF =aeϕ=a/2. Le second foyer de cette ellipse est donc le pointO centre de l’ancienne orbite. On

peut donc tracer la nouvelle orbite

O K

F ' a

a

b

O'

O S'

K'

P'

P'

P A' P

A

b'

12 Le module du moment cin´etique est affect´e par la transformation L_ϕ = r

−^2mp_1−e^2ϕ₂^E

ϕ ainsi avec p_ϕ = a(1−e²_ϕ) il vient

q

−2ma²E 1−e²_ϕ

dans la transformation propos´ee l’excentricit´e diminue doncL_ϕ augmente. On a num´eriquementeϕ= ¹₂ = ^√1

3edoncLϕ = q

−2ma²E 1−¹₃e²

= q1−¹

3e²

1−e² Lsoit avec e=

√ 3

2 ,Lϕ =√

3L'1,71L.

Le nouveau param`etre focal de la nouvelle ellipse est pϕ=a 1−e²_ϕ

=a 1− ¹₃e²

=p¹⁻

1 3e² 1−e² = 3p.

Le nouveau rayon du cercle des vitesses est donc R_ϕ = _mp^Lϕ

ϕ = _mp^L q _1−e2

1−¹

12e² = ^√1

3R ' 0,57R, il est centr´e sur le point C_ϕ tel que−−→

OC_ϕ = ^L_mp^{ϕ eϕ}

ϕ eb_y = ¹₃−−→

OC, ainsi le centre du nouveau cercle des vitesses est situ´e plus pr`es du point O et son rayon est diminun´e de pr`es de 40%.

Les deux cercles ont deux points en communs car~v(K) et~v(K⁰) sont inchang´es dans la transformation.

Ces deux points sont sur l’axe (O,eb_x). La construction de l’hodographe de ces deux orbites et sa

g´en´eralisation `a toutes les orbites de mˆeme ´energie est alors ais´ee.

'

O C

C K K

K K⁰

F

13 La familleF_E est l’image par projection st´er´eographique des grands cercles deS₂passant par les points z1 etz2 . Le pointz⁰₁ correspond au pointK etz⁰₂ correspond au pointK⁰. La familleF_E dans le plan de projection est globalement invariante lorsque l’on applique une rotation `a S<sub>2</sub> autour de l’axe z<sub>1</sub>z<sub>2</sub>. 14 La sph`ere S₂ devient la sph`ere S<sub>3</sub> (ensemble des points de R<sup>4</sup> `a la mˆeme distance d’un point O), les hypersurfaces S₃ correspondant aux grands cercles deviennent des sph`eres S<sub>2</sub> dont la projection st´er´eographique dans R<sup>3</sup> correspond `a l’hodographe g´en´eral. La rotation de la sph`ere S<sub>3</sub> autour d’un axe passant par les 2 points communs `a toutes les sph`eres S<sub>2</sub> laisse invariant l’hodographe. C’est la sym´etrie de Noether associ´ee `a la conservation du vecteur de Lenz.

Merci de votre attention,

Par un beau samedi soir du printemps 2015, J´erˆome Perez