II. Les lois de Kepler

Mouvement des satellites et des plan` etes

I. La force de gravitation universelle

Syst`eme: un satellite de masse m^set de centre d’inertie S.

R´ef´erentiel: g´eocentrique galil´een.

Bilan des forces: la force gravitationnelle exerc´ee par la Terre sur le satellite.

Loi de gravitation universelle ´ enonc´ ee par Newton :

Deux objets ponctuels T et S, de masses Mt et m^s, s’attirent avec des forces oppos´ees dont la valeur est proportionnelle aux masses de T et S et inversement proportionnelles au carr´e de la distance qui s´epare T et S :

Ý ÑF_T

{

S GM tm_s d²

Ý Ñn

II. Les lois de Kepler

Syst`eme: plan`ete quelconque.

R´ef´erentiel: h´eliocentrique (= r´ef´erentiel de Kepler).

Bilan des forces: la force gravitationnelle exerc´ee par le Soleil sur la plan`ete.

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loi de Kepler (LOI DES TRAJECTOIRES)

Dans le r´ef´erentiel h´eliocentrique, les plan`etes d´ecrivent des ellipses dont le centre S du Soleil est l’un des foyers.

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loi de Kepler (LOI DES AIRES)

Pendant une dur´ee ∆t, le rayon qui joint le centre S du Soleil au centre de la plan`ete balaie une aire

∆Aconstante quelle que soit la position de la plan`ete sur son orbite.

∆A

∆t d´epend de la plan`ete consider´ee ;

A₁A₂A₃

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loi de Kepler (LOI DES PERIODES)

Le rapport entre le carr´e de la p´eriode de r´evolution Tet le cube du demi grand axea est le mˆeme : T²

a³ K.

T : p´eriode de r´evolution de la plan`ete (en s) a: demi-grand axe de l’ellipse (en m)

K : constante qui d´epend de l’astre autour duquel la plan`ete est en mouvement.

D´emonstration (dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme) :

Syst`eme: plan`ete

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R´ef´erentiel: h´eliocentrique

Bilan des forces: force gravitationnelle exerc´ee par le Soleil sur la plan`ete.

On consid`ere une plan`ete de masse m en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil de masse Ms. La distance entre le Soleil et la plan`ete vautr.

On se place dans un rep`ere de Frenet (rep`ere mobile), on a

Ý Ña

v² r

Ý ÑN dv

dt

Ý ÑT

Ici, la vitesse est constante donc^ÝÑa

v² r

Ý ÑN

Appliquons ladeuxi`eme loi de Newton:

Ý ÑF_S

{

P m^ÝÑa

Or ^ÝÑF

S{P G

mM s r²

Ý

ÑN et^ÝÑa

v² r

Ý ÑN

On a doncG

mM s r²

Ý

ÑN mv² r

Ý ÑN

Ce qui ´equivaut `a v²

GM s r

Exprimons la p´eriode de r´evolution T en fonction de v et r.

A l’aide de la formulev

d

t, on trouvev

2πr

T (en effet, d = p´erim`etre du cercle de rayon r) En ´elevant au carr´e, on obtient v²

4π²r² T²

En ´egalisant les deux formules que l’on vient de trouver, 4π²r² T²

GM s r

En simplifiant, on trouve T² r³

4π² GM s

Remarque : les lois de Kepler sont applicables aux mouvements des satellites de la Terre ´etudi´es dans le r´ef´erentiel g´eocentrique.

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