Concours d'admission à l'École navale (1888)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Concours d’admission à l’École navale (1888)

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 8 (1889), p. 283-285

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CONCOURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE MYALE (1888).

A rit limé tiq ue.

Calculer à moins de 0,01 près en centièmes la valeur de l'expression

V

/TT X 9,876 ) \'\l\

Algèbre.

Ktant donnés un triangle ABC, rectangle en A et isoscèle, et un point D situé sur le côté AB, par un point X situé sur le coté AG on mène XE parallèle à AB et l'on joint ED. Dési- gnant par b le côté AB = AG. par x la distance GX = Xtë et par d la distance AD, on demande :

i° L'expression du ^olume engendré par le trapèze AXED tournant autour de AG :

•2° L'interprétation géométrique dont cette expression e^l susceptible lorsque l'on donne à x des valeurs négatives ;

3° L'étude des variations du Aolume représenté par cette expression quand le point X se meut sur AG et sur son pro- longement au delà du point G ;

4° L'étude du même problème en supposant le point D situé à droite de B;

5° L'étude du même problème en supposant le point D situé

•1 gauche de A.

Géométrie descriptive.

U n e d r o i t e e s t d é f i n i e p a r l e s d e u x p o i n t s ( a , a ) ( b , b ' ) ( {) .

(3 6 ' r r : 5 8m m,

a? = 8om m.

(') % et } sont les points d'inlei-scrlion avec la 1I::DC de terre ligne* de rappel aar, bb\

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On demande :

i° De déterminer les projections de la perpendiculaire corn-"

rnune à cette droite et à la ligne de terre ;

'i° De tracer les projections de la sphère décrite sur cette perpendiculaire comme diamètre ;

Intersection avec les plans de projection ;

. V De tracer les projections du cube circonscrit à cette sphère do.nt l'une des faces passe par la droite donnée et dont l'une des arêtes est parallèle à cette droite.

Calcul trigo no nié trique.

Calculer les valeurs de x comprises entre o° et 36o° qui sa- tisfont a l'équation

. 1 i>o, o,o(>43?.i7 y cos2r2°io'si'>"

Géométrie.

D'un point pris sur la surface d'une sphère, on peut tou- jours abaisser un arc de grand cercle perpendiculaire à un

petit cercle donné.

Définitions et théorèmes à l'appui.

Propriétés des arcs de grand cercle perpendiculaires et obli- ques à un arc de petit cercle.

Géorn et rie ana lytiq ne.

Les axes étant supposés rectangulaires, on considère la conique définie par l'équation

\(x — a)-- j2 — p3j ( i - - m2) — (y — mx)- — o,

dan^ laquelle a et p sont des constantes et ni un paramètre

\ariable.

On demande de montrer :

i° Que cette conique a un double contact avec la circonfé- rence

( x a )2—y-— p2 — o au point où elle est coupée par la droite

y - ni r —_ o -

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9° Que cette conique esl une parabole quel que soit le para- mètre m.

Trouver l'équation de l'axe de cette parabole.

Cet a\e passe par un point fixe quand m varie.

Lieu géométrique des points de contact des tangentes me- nées par l'origine à toutes ces paraboles.

3° Aux points où chacune de ces paraboles coupe l'axe des .r, on mène des normales.

Lieu géométrique du point de rencontre de ces normale1*.