COLLECTION L’ABAQUE, COURS

Texte intégral

(1)PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. co. m. COLLECTION L’ABAQUE, COURS. a.. L’ABAQUE. ex. Mécanique Appliquée su. je t. Terminales F, MEM, MEB, EF, IB, MA, MF & CM Année scolaire 2010/2011 Edition DucYopa. Par NGNINKEU YOPA DUCLAIRE (Constructeur Mécanique) -1-.

(2) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. L’ABAQUE Mes remerciements à M.Mekah luc ; Proviseur du Lycée Technique de Sangmélima.  . Diplômé de l’ENSET de Douala, Professeur de Construction Mécanique au Lycée Technique de Sangmélima ; Licencié en Droit mixte de l’université de Douala ; Maître en droit des Affaires de l’université de Douala. co. . m. L’auteur: NGNINKEU YOPA DUCLAIRE ;. ex. a.. Toute reproduction, même partielle de cet ouvrage, par quelque procédé que ce soit, faite sans l’autorisation préalable de l’auteur est interdite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires conformément à l’article 327 du code pénal Camerounais.. Edition 2009. su. je t. Edition Duc Yopa : Tels : 99 63 05 77/ 74 42 54 50 ; Courriel : ducyopa@yahoo.fr. 2222222 -2-.

(3) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. N.B : Ce programme est précédé par celui de la classe de première.. a.. 1 : Rappels sur la RDM………………………………………………..……………………………………….….33 2 : Centre d’inertie, Moment statique, Moment quadratique………………………...35 3 : Flexion simple………………………………………………………………………..............................42 4 : Torsion simple………………………………………………………………………………………..…….…...51. je t. ex. Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre. co. m. Thème N°1 : Massicot ou coupe papier……………………………………………………………...……5 Thème N°2 : Mécanisme de bouchage des bouteilles…………………………….…………….7 Thème N°3 : Grue de chargement………………………………………………………………..…….……10. su. Chapitre 5 : Principe Fondamental de la Dynamique……………………………………………………………………57 Chapitre 6 : Travail, Puissance et Energie…………………………………………………………………………………….60. Thème d’examen……………………………………………………………………………………………………………………………..……63 Corrigé du thème d’examen………………………………………………………………..………………………………………….73. -3-.

(4) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. je t. ex. a.. co. m. Problèmes généraux de Statique et cinématique. su. La difficulté traditionnelle du certificat de Mécanique Appliquée réside non pas seulement dans l’assimilation du cours mais et surtout dans sa présentation à l’apprenant. C’est pourquoi il nous a paru indispensable comme synthèse, de proposer quelques sujets types d’examens « cousus à la mesure » du physicien pour une récolte facile.. Thème N°1 : Massicot ou coupe papier…………………………………………………………….……5 Thème N°2 : Mécanisme de bouchage des bouteilles………………………………….7 Thème N°3 : Grue de chargement…………………………………………………………………….………10. -4-.

(5) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. MASSICOT OU COUPE PAPIER.. su. je t. ex. a.. co. m. Thème N° 1 :. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 1.. Figure 1. PRESENTATION : Le mécanisme représenté ci-dessus est un massicot utilisé pour couper des. liasses de papiers 7.Pour cela il faut appliquer en A une force Q . Le ressort 8 permet un rappel rapide de la lame 5. 2-A-. TRAVAIL A FAIRE : STATIQUE :. -5-.

(6) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. La résistance de la liasse de papier sur la lame est I7 / 5  3200N . On se propose de déterminer l’effort minimal Q qu’il faut exercer sur le levier 1 en A, pour sectionner la liasse de papier. On prendra, Echelle des forces : 1cm  800N. Proposer un ordre d’isolément des pièces du mécanisme. -A.1-. Equilibre du levier 4 : Le levier 4 étant isolé, y appliquer le principe Fondamental de la Statique et déduire le support des actions mécaniques qui le sollicitent. Représenter ces forces. -A.3- Equilibre du couteau 5 : -A.3.1- Le couteau 5 étant isolé, énoncer le théorème d’un solide en équilibre sous l’action de trois forces. -A.3.2- Déterminer graphiquement. K4 / 5 et F3 / 5 .. m. -A.2-. -A.4- Equilibre du levier 3 : -A.4.1- Le levier 3 étant isolé, faire le bilan des forces extérieures qui s’y appliquent. Appliquer la méthode de Culman pour déterminer H6 / 3 ; On prendra : F5 / 3  2800N. E8 / 3 et D2 / 3 .. co. -A.4.2-. a.. -A.4.3- Equilibre de la pièce 2 : En isolant la pièce 2, on trouve que. D2 / 3 = B1 / 2. Enoncer le principe qui justifie cette égalité. -A.5- Equilibre du levier 1 : -A.5.1- Le levier 1 étant isolé, faire le bilan des forces extérieures qui s’y appliquent.. ex. -A.5.2- Calculer analytiquement les intensités des forces Q et C6 / 1 . -A.6- Calculer la force de frottement du papier sur le couteau. CINEMATIQUE : L’étude cinématique est faite au début de l’opération de coupe et à cette phase, le levier occupe la position indiquée sur la figure 2. On se propose de déterminer la vitesse de coupe à cet instant. -B.1- Comparer en justifiant les vecteurs vitesses suivants :. VB1/ 6 et VB2 / 6. su. a). je t. -B-. b). VD2 / 6 et VD3 / 6. c). VF3 / 6 et VF5 / 6 .. -B.2- Quelle est la nature du mouvement de 1 par rapport à 6 ? -B.3- On prendra comme échelle des vitesses : 1cm  2 cm/s. -B.3.1- Sachant que VA1 / 6  15cm / s , Déterminer graphiquement VB1 / 6 .. -B.3.2- Vérifier analytiquement le calcul de VB1 / 6 . -B.4- Quelle est la nature du mouvement de 3 par rapport à 6 et de celui de 2 par rapport à 6 ? -B.5- Déterminer sur la figure 2 le CIR I2/6. -B.6- On donne les distances : BI2/6=252 mm et DI2/6=255 mm. Calculer le module du vecteur vitesse. VD2 / 6 .. . -B.7- On suppose que VD3 / 6  2cm / s . Déterminer graphiquement la vitesse VF 3 / 6 et en déduire. VI5 / 6 . -6-.

(7) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Thème N° 2 : MECANISME DE BOUCHAGE DES BOUTEILLES PRESENTATION DU MECANISME:. su. je t. ex. a.. co. m. I-. figure1 :. -7-.

(8) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. IMISE EN SITUATION ET DESCRIPTION : Le dessin de la figure 1 ci-dessus représente un mécanisme de bouchage des bouteilles entièrement automatisé. Les bouteilles à boucher parviennent sous le mécanisme par un tapis roulant. Le cycle de bouchage est le suivant : 1Arrivée d’une bouteille sous le mécanisme. 2Montée du plateau mobile porteur d’une bouteille. 3Descente du levier 1 commandé par le vérin 4+5. 4Remontée du levier 1. 5Descente du plateau mobile. 6Avance de la bouteille bouchée et arrivée d’une autre bouteille.. A-. TRAVAIL A FAIRE :. m. II-. STATIQUE :. . L’action du vérin 4 sur le levier 2 est D4/2 = 4000N .. ex. . Hypothèses et données : Tous les contacts sont sans frottement sauf dans les paliers M et N où le coefficient de frottement est f =0,25. Le mécanisme admet un plan de symétrie qui est celui de la figure. Tous les efforts considérés sont dans ce plan.. a.. . co. But : Déterminer l’effort de bouchage T1b / 1 .. A.1- Etude de l’équilibre de 4+5 : 4+5 étant isolés, appliquer le principe fondamental de la statique à son équilibre et en déduire les droites d’action et les sens des efforts. D2/4 et E0/5 .. je t. A.2- Etude de l’équilibre de 3 : 3 étant isolé, appliquer le principe fondamental de la statique à son équilibre et en déduire les droites d’action et les sens des efforts. B2 / 3 et A0 / 3 .. su. A.3- Etude de l’équilibre de 2 : A.3.1- 2 étant isolé, compléter le tableau du bilan des forces extérieures qui lui sont appliquées. A.3.2- Déterminer analytiquement les actions mécaniques. B3/2 et C1/2 .. A.4- Etude de l’équilibre de 1 : A.4.1- 1 étant isolé, compléter le tableau du bilan des forces extérieures qui lui sont appliquées. A.4.2- Après avoir justifié les constructions, déterminer graphiquement par la méthode de CULMAN les modules des efforts M0/1 , N0/1 et T1b/1 . Prendre : C2/1 =8100N et son support est indiqué; Echelle : 1cm  800N.. -8-.

(9) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. B-. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. CINEMATIQUE :. But : Déterminer la vitesse de sortie. VD4/5 de la tige 4 du vérin, afin d’évaluer la. pression nécessaire à l’intérieur du cylindre 5. Hypothèses et données :  Dans la position de la figure 2, la vitesse de descente de la tige 1(vitesse de bouchage d’une bouteille) est V=9.10-2 m/s.  Echelle des vitesses : 1mm   2mm/s. B.1.3- Tracer le vecteur vitesse. VC1/0 sur la figure 2.. B.1.4- Comparer les vecteurs vitesses. m. B.1- Etude du mouvement de 1 par rapport à 0. B.1.1- Quelle est la nature du mouvement de la pièce 1 par rapport à 0 ? B.1.2- Déterminer graphiquement les positions extrêmes C0 et C2 du point C.. VC1/0 et VC2/0 . Justifier votre réponse.. co. B.2- Etude du mouvement de 3 par rapport à 0. B.2.1- Quelle est la nature du mouvement de 3 par rapport à 0 ? B.2.2- En déduire et tracer la direction de la vitesse. VB3/0 et VB2/0 .. a.. B.2.3- Comparer en justifiant. VB3/0 .. ex. B.3- Etude du mouvement de 2 par rapport à 0. B.3.1- Quelle est la nature du mouvement de 2 par rapport à 0 ? B.3.2- Déterminer la position du centre instantané de rotation I2/0 de 2 dans son mouvement par rapport à 0 et le tracer. B.3.3- En déduire graphiquement le module de B.3.4- Montrer que. VD2/0 .. VD2/0 = VD4/0 .. je t. B.4- Etude du mouvement du vérin 4+5 par rapport à 0. B.4.1- Quelle est la nature du mouvement de 4 par rapport à 5 ? En déduire le tracé du vecteur vitesse VD4/0 .. B.4.2- Quelle est la nature du mouvement du corps de vérin 5 par rapport à 0 ? En. su. déduire le tracé du vecteur vitesse VD5/0 .. B.4.3- Ecrire la relation de composition de vitesse en D entre 5, 4, et 2 et en déduire graphiquement la direction et le module de VD4/5 .. -9-.

(10) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. Thème N° 3 :. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. GRUE DE CHARGEMENT. co. m. I- MISE EN SITUATION ET DESCRIPTION Le véhicule proposé à la figure 1 à l’échelle réduit est destiné au déchargement des matériaux, et des marchandises. L’engin se compose d’une tourelle pivotante1 articulée sur le châssis 0 (pivot d’axe vertical), d’un bras de manœuvre 2 articulée en N sur la tourelle et d’une flèche télescopique 3+4 articulée en M sur le bras 2. La flèche télescopique est composée de deux tubes carrés emboîtés l’un dans l’autre. Le mouvement de télescopage est réalisé par le vérin hydraulique 5+6 (5= corps, 6= tige). Le vérin est articulé en E sur 3 et en C sur 4. Le mouvement est facilité par deux galets de roulements 7+8. Les galets 7 et 8 sont articulés respectivement sur 4 et 3. Le mouvement de levage de l’ensemble de la flèche est fourni par le vérin hydraulique 9+10. Le vérin est articulé en F sur 2 et en T sur 3. La manœuvre sur le bras 2 est réalisée par le vérin 11+12. Le vérin est articulé en P sur 2 et en R sur 1. L’étude est effectuée dans le plan de symétrie de l’appareil. Q Schématise le poids de la charge à soulever,. Pf le poids de l’ensemble de la flèche. Les poids des vérins sont. TRAVAIL A FAIRE. ex. II-. a.. négligés.. A- ETUDE STATIQUE. Etude de la stabilité du véhicule.. je t. 1ére partie :. su. But : Déterminer le poids maximal que la grue peut soulever sans risque de basculement. Hypothèse :  L’ensemble est en équilibre dans la position de la figure 1 . Le poids propre du véhicule est appliqué en G’et a pour module 3000 daN, et. Pf. celui de l’ensemble de la flèche de module 1000 daN, appliqué en G  Le sol est parfaitement horizontal et les forces de frottement y sont négligées. A.1.1- Ecrire la condition de non basculement du véhicule. A.1.2- En déduire le module du poids maximal de la charge QMAXI à soulever. A.1.3- Déterminer les réactions du sol en H et K : 2éme partie :. Equilibre du vérin.. But : Déterminer la pression nécessaire dans le vérin 9+10 pendant l’élévation la charge. Pour cela, il faut déterminer les actions mécaniques en A, B et C.. - 10 -.

(11) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. m. Hypothèse et données :  L’ensemble admet un plan de symétrie qui est celui de la figure 1  Les liaisons en A ,B ,C ,D ,E ,F ,M,N ,P ,R ,et,T sont des liaisons pivots dont les centres portent le même nom  Toutes les liaisons sont parfaites  Le vérin travaille en traction  On suppose que la charge soulevée a un poids de module Q= 1500 daN  Echelle des forces : 1 cm  1000 daN. A.2.1- Isoler les vérins 5+6 et 9+10, énoncer le principe fondamental de la statique et en déduire le support des actions en E et T. A-2.2- Isoler l’ensemble de la flèche (3+4+5+6+7+8) A-2.2.1- Remplir le tableau bilan des forces extérieures qui le sollicitent. A-2.2.2- Déterminer la position de R résultante de Q et. Pf par rapport au point G.. a.. co. On notera I le point de la direction de cette résultante. A-2.2.3- Déterminer graphiquement les actions mécaniques en M et T A-2.3- Isoler l’ensemble 4+7en position relevée, A-2.3.1- Remplir le tableau bilan des forces extérieures qui le sollicitent. A-2.3.2- En appliquant la méthode de Culman, déterminer les actions mécaniques en B et C. ex. je t.    . B- ETUDE CINEMATIQUE But : Déterminer la vitesse du point D appartenant à la flèche 3+4 dans son mouvement par rapport à la tourelle pivotante 1. Hypothèse et données : Le dispositif occupe la position de la figure 2 La tige 12 sort dans le corps 11 à la vitesse uniforme de 20 cm / s Le vérin 9+10 ne travaille pas dans cette phase Echelle des vitesses : 1cm  10 cm/s. B-1- Donner la nature du mouvement de 12 par rapport à 11.Déterminer et tracer le. VP12 / 11. su. vecteur vitesse. B-2-a) Quelle est la nature des mouvements de 2 et 11 par rapport à 1 ? En déduire et tracer les directions des vitesses. B-2-b) Justifier l’égalité suivante :. VP2 / 1 et VP11/1. VP2 / 1 = VP12 / 1. B-3- Ecrire la relation de composition des vitesses au point P entre 12,1 et 11. On exprimera. VP12 / 1 en fonction des autres vitesses.. B-4- Déterminer graphiquement les vitesses. VP11 / 1 et VP12 / 1. B-5- Déterminer graphiquement VM2 / 1 . Prendre. VP2 / 1 =22cm/s. B-6- Donner la nature du mouvement de la flèche 3+4 par rapport à 1. En déduire la position du CIR (3+4) . B-7- Déterminer graphiquement VD4 / 1 .. - 11 -.

(12) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. su. je t. ex. a.. co. m. Correction des Problèmes généraux de Statique et cinématique. Correction du thème N°1…………………………………………………………………13 Correction du thème N°2………………………………………………………………..20 Correction du thème N°3………………………………………………………………..26. - 12 -.

(13) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Correction du Problème N°1 -A-. STATIQUE : On prendra, Echelle des forces : 1cm  800N. -A.1- Proposons un ordre d’isolément des pièces du mécanisme : 4 – 8 – 5 – 3 – 2 - 1 -A.2- Equilibre du levier 4 :. Fext=0; M(J)Fext  0. ⇒ J6/4+K 5/4 =0 ⇒ J6/4 =-K 5/4. m. PFS :. K 5/4. et. J6/4. ont même support, la droite (JK) mais de sens opposés.. je t. ex. a.. D’où. co. ⇒ J6/4 = K 5/4. su. -A.3- Equilibre du couteau 5 :. - 13 -.

(14) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. -A.3.1- Théorème d’un solide en équilibre sous l’action de trois forces : Pour un solide soumis à l’action de 3 forces, soit les trois forces ont des directions parallèles, soit les directions des trois forces concourent vers un même point. -A.3.2-. . . Déterminons graphiquement K 4 / 5 et F3 / 5 :. -A.4- Equilibre du levier 3 : -A.4.1- Bilan des forces extérieures: Direction. E. E8/3 D2/3. D F. Module ? ?. ex. F5/3. Sens. co. H6/3. Pt. d’Appl. H. ?. a.. Forces. m. F3/5  3,4cm  F3/5 =2720N K4/5  2,2cm  K4/5 =1760N. 2800N. . . . A.4.2- Appliquons la méthode de Culman pour déterminer H 6 / 3 ; E8 / 3 et D2 / 3 .. . je t. On prendra : F5 / 3  2800N. H6/3  2cm  H6/3 =1600N. su. E8/3  2,8cm  E8/3 =2240N D2/3  2,5cm  D2/3 =2000N. - 14 -.

(15) PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. su. je t. ex. a.. co. m. COLLECTION L’ABAQUE, COURS. -A.4.3-. Equilibre de la pièce 2 :. D2 / 3 = B1 / 2 : Enonçons le principe qui justifie cette égalité :. Fext =0.  D3/2 +B1/2 =0  D3/2 =-B1/2. Or - D3/2 =D2/3. Donc :. D2/3 =B1/2. - 15 -.

(16) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. -A.5- Equilibre du levier 1 : -A.5.1Bilan des forces extérieures: Forces. Pt. d’Appl. A. Q. Direction. Sens. B. B2/1. C. C6/1. Module ? 2000N. ?. ?. ?. . . su. je t. ex. a.. co. m. -A.5.2- Calculons analytiquement les intensités de Q et C6 / 1 :. . . M. F 0. F. 0. (C) ext. ext. Q.7,5a.cos30  B2/1.a  0  6,495.Q.a  B2/1.a  0 B2/1 2000 Q   6,495 6,495  Q  307, 92N.  -Q.sin30°   0   Cx   0   +      + B -Q.cos30°    2/1   Cy  0  - 16 -.

(17) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales.  Cx  -Q.sin30° et Cy=Q.cos30° - B2/1  Cx  -Q.sin30° =307, 92.sin30=153, 96N Cy=Q.cos30° - B2/1  307, 92.cos30° - 2000  1733,32N. 2.  153, 96. D’où :. C6/1 . Donc :. C6/1  1740, 144N. 2   1733,32 . -A.6- Force de frottement du papier sur le couteau :. Donc :. f. I 7 /5.  f  I 7 /5 .sin 10. m. sin 10 . f  555 ,648N. b).   VB1 / 6 et VB 2 / 6 :. VF3/6  VF5 /6 Donc : V  VB2/6 B1/6   VD3/6  VD3/2  VD2/6 ;orVD3/2  0 VD2 / 6 et VD3 / 6 :. a.. a). VD2/6  VD3/6   VF 3 / 6 et VF 5 / 6 : V F3/6  VF3/5  VF5 /6 ;orVF3/5  0 Donc : V F3/6  VF5 /6. je t. ex. Donc : c). co. -B- CINEMATIQUE : -B.1- Comparons en justifiant les vecteurs vitesses suivants :. -B.2- Nature du mouvement de 1 par rapport à 6 : Rotation de centre C -B.3- On prendra comme échelle des vitesses : 1cm  2 cm/s.. . Sachant que VA1 / 6  15cm / s ,. su. -B.3.1-. . Déterminons graphiquement VB1 / 6 :. VB1/6  1cm ; Donc : VB1/6  2cm / s. -B.3.2-. . Vérifions analytiquement le calcul de VB1 / 6 :. VA1/6 VB1/6 BC a   VB1/6  VA1/6  .15 AC BC AC 7, 5a Donc : V B1/6  2cm / s - 17 -.

(18) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. -B.4-. Nature du mouvement de 3 par rapport à 6 : Mouvement de rotation de centre H Nature du mouvement de 2 par rapport à 6 : Mouvement plan général -B.5- CIR I2/6 : Point de concours entre (BC) et (HD) -B.6On donne les distances : BI2/6=252 mm et DI2/6=255 mm. Calculons le. . module du vecteur vitesse VD 2 / 6 :. VD2/6  2,023cm / s. Donc :. co. -B.7-. 255 VD2/6  .2 252 . m. VB2/6 VD2/6 DI   VD2/6  2/6 VB2/6 BI2/6 DI2/6 BI2/6. On suppose que VD3 / 6  2cm / s .. . Déterminons graphiquement la vitesse VF 3 / 6 :. Déduisons VI 5 / 6 :. VF3/6  2,6cm / s. VI5 /6  2, 5cm. su. je t. ex. Par équiprojectivité,. Donc :. a.. VF3/6  1,3cm . - 18 -. Donc :. VI5 /6  5cm / s.

(19) PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. su. je t. ex. a.. co. m. COLLECTION L’ABAQUE, COURS. - 19 -.

(20) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Correction du Problème N°2. su. je t. ex. a.. co. m. A- Statique :. - 20 -.


(22) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. A- Statique : A.1- Etude de l’équilibre de 4+5 : 4+5 étant isolés, appliquons le principe fondamental de la statique à son équilibre et en déduisons les droites d’action et les sens des efforts. D2/4 et E0/5 :.  Fext  0  D2/4  E0/5  0. P.F.S :. Donc : Ces forces ont même support, la droite (DE). A.2- Etude de l’équilibre de 3 :. m.  D2/4  E0/5 et D2/4  E0/5. co. 3 étant isolé, appliquons le principe fondamental de la statique à son équilibre et déduisons les droites d’action et les sens des efforts. B2/3 et A0/3 ..  Fext  0  B2/3  A0/3  0. a.. P.F.S :.  B2/3  A0/3et B2/3  A0/3. ex. Donc : Ces forces ont même support, la droite (AB). A.3- Etude de l’équilibre de 2 :. A.3.1- 2 étant isolé, complétons le tableau du bilan des forces extérieures qui lui sont. je t. appliquées.. Forces. D4/2. Pt. d’Appl. D. su. C 1/2. B3/2. A.3.2-. Direction. C. ?. Sens. ?. Module 4000N ? ?. B. Déterminons analytiquement les actions mécaniques. B3/2 et C1/2 :.  B3/2 .cos    Cx   D4/2 .sin   B3/2    ;C 1/2  Cy  ; D  D  B .sin  .cos     4/2  3/2    M F 0 C  ext. - 22 -.

(23) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales.  111   B3/2 .cos   M C B3/2  CB  B3/2        9.2   B3/2 .sin  .    108,061.B3/2  k. .  105 , 103.B3/2  2, 958.B3/2 k.   476258,298  k. B3/2 . 476258,298 108,061. Donc :. B3/2  4407,30N. co. D’où :. m.  121, 5   535 , 944  M C D4/2  CD  D4/2      3963, 932  10         481617, 738  5359,44 k.  F ext  0  B3/2 .cos    Cx   D4/2 .sin    0    0  B    Cy    D .sin  .cos   3/2     4/2     Cx  535 , 944  1417,4  881,456N Et : Cy  3963, 932  4173,15  8137,082N C 1/2  Cx 2  Cy2. je t. Or :. ex. a.. . ; Donc :. C 1/2  8184,68N. A.4- Etude de l’équilibre de 1 :. su. A.4.1- Tableau du bilan des forces extérieures qui lui sont appliquées. Forces. C 2/1. M0/1 N0/1. T 1b/1. Pt.d’Appl. C. Direction. Sens. Module 8100N. M. ?. N. ?. T1. ?. - 23 -.

(24) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. A.4.2Méthode de CULMAN : Echelle : 1cm  800N. A partir de la droite de Culman passant par les deux points de concours des 4 forces et à partir des résultantes. R 1  R 2. (voir figure), par simple mesure. on trouve les modules de ces 3 forces..  10cm 1b/1 M0/1  3cm T. CINEMATIQUE : Figure 2. su. je t. ex. a.. co. B-. m. Donc :. N0/1  1,8cm T  8000N M0/1  2400N N0/1  1440N 1b/1. - 24 -.

(25) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. B.1- Etude du mouvement de 1 par rapport à 0 : B.1.1Nature du mouvement de la pièce 1 par rapport à 0 : Mouvement de Translation verticale B.1.2Positions extrêmes C0 et C2 du point C. = course. Donc : = 8,6 cm. C0C2. C0C2. B.1.3-. Traçons le vecteur vitesse. VC1/0 sur la figure 2 :. VC1/0  2,25cm . (voir figure 2) B.1.4-. Comparons en justifiant les vecteurs vitesses. VC1/0  VC1/2  VC2/0 Donc : V C1/0  VC2/0. VC1/2  0. m. Or. VC1/0 et VC2/0 :. B.2.2-. co. B.2- Etude du mouvement de 3 par rapport à 0. B.2.1Nature du mouvement de 3 par rapport à 0 : Rotation de centre A Traçons la direction de la vitesse. VB3/0 :. Perpendiculaire à (AB). Voir figure 2. Comparons en justifiant. VB3/0 et VB2/0 :. a.. B.2.3-. VB3/2  0. Or. ex. VB3/0  VB3/2  VB2/0 Donc : V B3/0  VB2/0. je t. B.3- Etude du mouvement de 2 par rapport à 0. B.3.1- Nature du mouvement de 2 par rapport à 0 : Mouvement plan général B.3.2- Position du centre instantané de rotation I2/0 : Voir figure 2 B.3.3- Déduisons graphiquement le module de B.3.4- Montrons que. VD2/0 :. VD2/0 = VD4/0 :. su. VD2/0  VD2/4  VD4/0 Donc : V D2/0  VD4/0. Or. VD2/0 =85mm/s. VD2/4  0. B.4- Etude du mouvement du vérin 4+5 par rapport à 0. B.4.1- Nature du mouvement de 4 par rapport à 5 : Translation de direction DE. B.4.2-. VD4/0. Nature du mouvement du corps de vérin 5 par rapport à 0 :. Rotation de centre E. B.4.3-. Voir figure pour tracé de. Voir figure pour tracé de. VD5 /0. Relation de composition de vitesse en D entre 5, 4, et 2 :. VD4/2  VD4/5  VD5 /2. Déduisons graphiquement la direction et le module de VD 4/5 :. VD4/5  85mm / s - 25 -.

(26) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Correction du Problème N°3 A. ére. 1. ETUDE STATIQUE. partie. A-1.1- condition de non basculement du véhicule :. Soit :. Pf  Q max i  P' Pf +Q maxi  P' . On a :. m. A-1.2- poids maximal QMAXI de la charge à soulever :. Pf +Q maxi  P' et Q maxi  P'-Pf. Donc :. co.  Q maxi  3000-1000. Q maxi  2000daN. a.. A.1.3- Réactions du sol en H et K :. ex.  0   0   0  0 0 P'   ; Pf  1000  ;Q  1500  ;K  K  ;H  H   3000            M H F ext  0  . su. je t. 3650K  8250000  1350000  5175000  0 8250000  1350000  5175000 K  3650 Donc : K  472,60daN.  F ext  0  0   0   0   0   0  0  3000    1000    1500    K    H    0               K  H  5500  H  5500  H Donc : H  5027,397daN. - 26 -.

(27) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. . PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 2éme partie. A-2.1- Isolons les vérins 5+6 et 9+10. PFS :. F2 / 9  T3 / 10. m. F2 / 9  T3 / 10  0  F2 / 9  T3 / 10. Et. co. E3 / 5  C 4 / 6  0 Et E 3 / 5  C 4 / 6  E3 / 5  C 4 / 6 Support de l’action mécanique en E : Droite (EC). a.. Support de l’action mécanique en T : Droite (ET). A-2.2- Isolons l’ensemble de la flèche (3+4+5+6+7+8) Forces. ex. A-2.2.1- Tableau bilan des forces extérieures Direction ?. Sens ?. Module ?. T. ?. je t. M2 / 3 T10 / 3 Pf. Pt. d’Appl M. 1000daN. D. 2000daN. su. Q. G. A-2.2.2- Position de R résultante de Q et. Pf par rapport au point G :. Pf .GI  Q.DI  0;or,DI  DG  GI  Pf .GI  Q.DG  Q.GI  0  GI(Pf  Q)  Q.DG Q.DG Pf  Q 2000.2100  GI  3000.  GI . Donc : GI . - 27 -. 1400mm.

(28) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Donc. T10 / 3  14000daN. a.. T10 / 3  14cm ;. co. m. A-2.2.3- Détermination graphique des actions mécaniques en M et T :. Donc. M2 / 3  13250daN. ex. M2 / 3  13,25cm ;. su. je t. A-2.3- Isolons l’ensemble 4+7en position relevée. - 28 -.

(29) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. A-2.3.1- Tableau bilan des forces extérieures: Forces. Pt. d’Appl.. Direction. A B C D. A7 / 4 B8 / 4 C6 / 4. Q. Sens. Module ? ? ? 2000daN. m. A-2.3.2- En appliquant la méthode de Culman, déterminons les actions mécaniques. B8 / 4  12, 7cm C6 / 4  1,8cm. a.. A 7 / 4  11, 5cm. co. en A ; B et C. B8 / 4  12700daN. C6 / 4  1800daN. ETUDE CINEMATIQUE. je t. . ex. A 7 / 4  11500daN. B-1- Nature du mouvement de 12 par rapport à 11 : Translation rectiligne d’axe PR.. su. Déterminons et traçons le vecteur vitesse VP12 / 11 :. VP12 / 11  20cm / s (voir figure 4). B-2-. a) Nature du mouvement de 2 par rapport à 1 : Rotation de centre N Nature du mouvement de 12 par rapport à 1 : Rotation de centre R Support de. VP2 / 1 : (voir figure 4). Support de. VP12 / 1 : (voir figure 4) - 29 -.

(30) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. b) Justifions l’égalité suivante :. VP2 / 1 = VP12 / 1 :. VP2 / 1  VP2 / 12  VP12 / 1 or VP2 / 12  0 car P est le point coïncidant de 2 et 12. Donc : VP2 / 1  VP12 / 1 B-3- Relation de composition des vitesses au point P :. VP12 / 1  VP12 / 11  VP11 / 1 Avec : VP12 / 1  VP2 / 1 et VP11/1  VP12 / 1 . B-4- Détermination graphique des vitesses VP11/1 et VP12 / 1 :. Prendre. VM2 / 1 .. co. B-5- Détermination graphique de. m. VP12 / 1  21cm / s. VP11 / 1  7cm / s VP2 / 1 =22cm/s. a.. VM2 / 1  34cm / s. B-6- Nature du mouvement de la flèche 3+4 par rapport à 1 : Rotation de centre N. ex. Position du CIR(3+4): N. B-7- Détermination graphique de. VD4 / 1 .. su. je t. VD4 / 1  90cm / s. - 30 -.


(32) PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. ex. a.. co. m. COLLECTION L’ABAQUE, COURS. su. je t. Au dix-huitième siècle, c’est Lagrange et Hamilton qui construisent la mécanique analytique qui donne aux principes posés par leurs prédécesseurs une forme définitive lorsqu’Euler étudie la mécanique du solide sur laquelle doit s’appuyer le développement technique et industriel du dix-neuvième siècle.. Chapitre 1 : Rappels sur la RDM………………………………………………………………….….33 Chapitre 2 : Centre d’inertie, Moment statique, Moment quadratique…..35 Chapitre 3 : Flexion simple………………………………………………………………………........42 Chapitre 4 : Torsion simple……………………………………………………………………….…...51 Problèmes pratiques sur la RDM :……………………………………………………….………57. - 32 -.

(33) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 1- Tableau récapitulatif des sollicitations : Efforts. Illustrations. T. M t. M f. Traction simple. >0. 0. 0. 0. Compression simple. <0. 0. 0. 0. Cisaillement simple. 0. 0. Flexion simple. 0. 0. a.. 0. 0. ex. 0. 0. 0. 0. 0. je t. Torsion simple. co. N. m. Sollicitations. 0. 2- Traction-Compression simple:. su. {τcoh}=. Condition de résistance :. 𝑵≠𝟎 {𝑻𝒚 = 𝟎 𝑮 𝑻𝒛 = 𝟎. σx≤ 𝑅𝑝𝑒. 𝑴𝒕 = 𝟎 𝑴𝒇𝒚 = 𝟎} ⃗ 𝒋, ⃗𝒌) 𝑴𝒇𝒛 = 𝟎 (𝒊,. 𝑁. ; Or σx=| | et 𝑅𝑝𝑒 = 𝑆. 𝑅𝑒 𝑠. . N = Effort normal en N. . S = Surface soumise à la traction ou à la compression en mm² ou en m². . Re = Résistance élastique en traction ou en compression en N/mm²=Mpa. . Rpe = Résistance pratique élastique en traction ou en compression en N/mm²=Mpa. . s = Coefficient de sécurité. . σx = Contrainte élastique en traction ou en compression en N/mm²=Mpa. - 33 -.

(34) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 3- Cisaillement simple : 𝑁=0 𝑀𝑡 = 0 𝑇𝑦 ≠ 0 𝑀𝑓𝑦 = 0} {τcoh}= { ⃗ 𝑗, 𝑘⃗ ) 𝐺 𝑇𝑧 ≠ 0 𝑀𝑓𝑧 = 0 (𝑖,. Condition de résistance :. τxy ≤ τp. 𝑇. 𝛕𝐞. T = √𝑻𝒚𝟐 + 𝑻𝒛𝟐 = Effort tranchant en N. . S = Surface soumise au cisaillement en mm² ou en m². . n = nombre de surfaces soumises au cisaillement.. . τe = Résistance élastique au cisaillement en N/mm²=Mpa. . τp = Résistance élastique pratique au cisaillement en N/mm²=Mpa. . τxy = Contrainte élastique au cisaillement en N/mm²=Mpa. su. je t. ex. a.. co. m. . - 34 -. 𝑅𝑒. ; Or τxy =|𝑛.𝑆| et τp =| 𝑠 | ; 𝛕𝐞= 2.

(35) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =M.𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ∑ 𝒎𝒊. 𝑶𝑨𝒊. ⇒. 𝒀𝑮 = { 𝒁𝑮 =. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =M.𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ∑ 𝒎𝒊. 𝑶𝑨𝒊. ⇒. 𝒀𝑮 =. 𝑴 ∑ 𝒎𝒊.𝒛𝒊 𝑴. ∑ 𝒗𝒊.𝒙𝒊 𝑽 ∑ 𝒗𝒊.𝒚𝒊 𝑽 ∑ 𝒗𝒊.𝒛𝒊. 𝑿𝑮 =. ⇒. 𝒀𝑮 =. je t. { 𝒁𝑮 =. Car. 𝝋=. Car. 𝑺=. 𝒎 𝒗. et. m= 𝝋.v. 𝑽. ex. { 𝒁𝑮 =. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =M.𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ∑ 𝒎𝒊. 𝑶𝑨𝒊. 𝑴 ∑ 𝒎𝒊.𝒚𝒊. a.. 𝑿𝑮 =. ∑ 𝒎𝒊.𝒙𝒊. co. 𝑿𝑮 =. m. Objectif: Être prédisposé à l’étude de la torsion et de la flexion, et retenir quelques résultats relatifs aux sections des formes géométriques simples. 1- Centre de gravité: 1.1- Centre d’inertie : Soit le système matériel (S) qu’on peut décomposer en sous systèmes ponctuels Ai de masse mi . On appelle centre d’inertie du système matériel (S) le barycentre G de tous les éléments (Ai, mi) qui constituent le système matériel (S).. ∑ 𝑺𝒊.𝒙𝒊. 𝑺 ∑ 𝑺𝒊.𝒚𝒊 𝑺 ∑ 𝑺𝒊.𝒛𝒊. 𝑽 𝒆. et. V= S.e. 𝑺. su. 1.2- Centre de gravité : Si ‖𝑔‖ est constante en tout point du système matériel (S), alors le centre de gravité du système est confondu à son centre d’inertie. 2- Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan : 2.1- Définition : Soient un point M ∈ (S) de coordonnées (x,y) et dS une surface élémentaire de S entourant M ; On définit le moment statique élémentaire de dS par rapport à Ox noté dWOx par : d𝑊𝑂𝑥 = y.dS ⇒ pour la surface (S).. 𝑾𝑶𝒙 = ∫ 𝒚. 𝒅𝑺 (𝑺). 2.2- Propriétés :. 𝑾𝑶𝒙 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒀𝑮𝒊 . 𝑺𝒊 = 𝒀𝑮𝟏 . 𝑺𝟏 + 𝒀𝑮𝟐 . 𝑺𝟐 + ⋯ + 𝒀𝑮𝒏 . 𝑺𝒏 𝑾𝑶𝒙 = 𝒀𝑮 .S. {. 𝑊𝑂𝑥 > 0 𝑠𝑖 𝑌𝐺 > 0 𝑊𝑂𝑥 < 0 𝑠𝑖 𝑌𝐺 < 0. - 35 -.

(36) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 3- Moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan : 3.1- Définition : Soient un point M ∈ (S) de coordonnées (x,y) et dS une surface élémentaire de S entourant M ; le moment quadratique élémentaire de dS par rapport à Ox noté dIOx est défini par : dIOx = y².dS ⇒. Pour la surface (S). 𝐼𝑂𝑥 = ∫ 𝑦². 𝑑𝑆 (𝑆). 3.1-. 𝐼𝑂𝑥 > 0 𝑒𝑡 𝑠 ′ 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑒𝑛 𝑚𝑚2. Exemple de calcul du moment quadratique d’une surface par rapport à Ox :. ⇒ 𝐼𝑂𝑥 = ∫(𝑆) 𝑦². 𝑏. 𝑑𝑦. co. ⇒ 𝐼𝑂𝑥 = 𝑏 ∫(𝑆) 𝑦². 𝑑𝑦. m. On a 𝐼𝑂𝑥 = ∫(𝑆) 𝑦². 𝑑𝑆. 1. ⇒ 𝐼𝑂𝑥 = 𝑏 [3 𝑦 3 ] 1. ℎ 0. a.. ⇒ 𝐼𝑂𝑥 = 𝑏 (3 ℎ3 )-0 ⇒. ex. A.N :. 𝐼𝑂𝑥. Donc :. 𝑏ℎ3 = 3. 𝐼𝑂𝑥 =. 20𝑥403 3. je t. 𝐼𝑂𝑥 = 426666,67 𝑚𝑚². su. 3.2Théorème de Huygens : 3.3.1- Enoncé : Le moment quadratique d’une surface par rapport à un axe quelconque de son plan est égal au moment quadratique de cette surface par rapport à un axe parallèle au précédent et passant par le centre de gravité de la surface, augmenté du produit de l’aire de cette surface par le carré de la distance qui sépare les deux axes. On a :. 𝐼𝑂𝑥 = 𝐼𝐺𝑥 +S.d². 3.3.2- Exemple : Pour le cas précédent, on a : ⇒ D’où 𝐼𝐺𝑥 =. 𝐼𝑂𝑥 = 𝐼𝐺𝑥 +S.d². 𝐼𝐺𝑥 = 𝐼𝑂𝑥 - S.d² 𝑏ℎ 3 3. − 𝑏. ℎ.. Avec S = B.h et d =. ℎ² 4. Donc :. - 36 -. 𝐼𝐺𝑥. 𝑏ℎ3 = 12. ℎ 2.

(37) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 4- Moment quadratique polaire : 4.1- Définition : Soient un point M ∈ (S) de coordonnées (x,y) et dS une surface élémentaire de S entourant M ; le moment quadratique polaire élémentaire dIo par rapport à Oz perpendiculaire en O au plan (O,x,y) est défini par : dIo = 𝝆². 𝒅𝑺. Pour la surface (S). 𝐼𝑂 = ∫(𝑆) 𝝆². 𝒅𝑺. ⇒ 𝐼𝑜 = ∫(𝑆) 𝒙². 𝒅𝑺 + ∫(𝑆) 𝒚². 𝒅𝑺. 𝝆² = 𝒙² + 𝒚². ⇒. 𝐼𝑂 = 𝐼𝑜𝑥 + 𝐼𝑜𝑦. co. 4.2- Exemple : 𝐼𝑜 = 𝐼𝑜𝑥 + 𝐼𝑜𝑦 Avec. D’où. et 𝐼𝑂𝑦 =. ℎ𝑏3 3. 𝑏ℎ 3 3. 𝐼𝑜 =. +. a.. 𝑏ℎ 3 3. ℎ𝑏3 3. ex. 𝐼𝑂𝑥 =. m. On a. ⇒. 2. je t. 𝐼𝑂 =. 2. 𝑏. ℎ(ℎ + 𝑏 ) 3. Donc :. 𝐼𝑂 = 533333.333 𝑚𝑚4. su. En appliquant le théorème de Huygens, on aura :. 𝐼𝐺𝑥 = 𝐼𝑂𝑥 - S.d² ;. 𝐼𝐺 = 𝐼𝐺𝑥 + 𝐼𝐺𝑦. soit. ⇒. Donc :. 𝐼𝐺𝑥 =. 𝑏ℎ 3 12. et. 𝐼𝐺𝑦 = 𝐼𝑂𝑦 - S.d² ; soit 𝐼𝐺𝑦 =. 𝑏. ℎ(ℎ2 + 𝑏 2 ) 𝐼𝐺 = 12 𝐼𝐺 = 133333.333 𝑚𝑚4. - 37 -. ℎ𝑏3 12.

(38) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 5- Moments quadratiques à connaître : Moment quadratique par rapport à Gy : IGy. 𝑏ℎ3 12. 𝐼𝐺𝑦 =. 𝐼𝐺𝑥 =. 𝑎4 12. 𝐼𝐺𝑦 =. 𝜋. 𝑑4 64. 𝐼𝐺𝑦 =. ex. 𝐼𝐺𝑥 =. 𝐼𝐺 =. 𝑎4 12. 𝜋. (𝐷 4 − 𝑑4 ) 64. 𝐼𝐺𝑦 =. 𝜋. 𝑑4 64. 𝐼𝐺 =. 𝜋. (𝐷 4 − 𝑑4 ) 64. 𝐼𝐺 =. su. Application résolue. Soit la surface plane ci-dessous ; Déterminer WOx ; WOy ; IGx ; IGy et IG.. - 38 -. 𝑏. ℎ(ℎ2 + 𝑏 2 ) 12. 𝐼𝐺 =. je t. 𝐼𝐺𝑥 =. ℎ𝑏 3 12. co. 𝐼𝐺𝑥 =. Moment quadratique polaire : IG. m. Moment quadratique par rapport à Gx : IGx. a.. Surfaces. 𝑎4 6. 𝜋. 𝑑4 32. 𝜋. (𝐷 4 − 𝑑4 ) 32.

(39) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Solution :. On a: 𝑾𝑶𝒙 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒀𝑮𝒊 . 𝑺𝒊 = 𝒀𝑮𝟏 . 𝑺𝟏 + 𝒀𝑮𝟐 . 𝑺𝟐 + ⋯ + 𝒀𝑮𝒏 . 𝑺𝒏 S1 = 20x80 = 1600 mm² S2 = 20x40 = 800 mm² et. 𝐺2 (. 𝑋𝐺2 = 40 ) 𝑌𝐺2 = 10. m. 𝑋𝐺 = 10 𝐺1 ( 1 ) 𝑌𝐺1 = 40. Donc :. 𝑾𝑶𝒙 = 𝟕𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟒. 𝑾𝑶𝒚 = 𝑿𝑮𝟏 . 𝑺𝟏 + 𝑿𝑮𝟐 . 𝑺𝟐 = 10 x 1600 + 40 x 800. Donc :. 𝑾𝑶𝒚 = 48 000 𝒎𝒎𝟒. co. 𝑾𝑶𝒙 = 𝒀𝑮𝟏 . 𝑺𝟏 + 𝒀𝑮𝟐 . 𝑺𝟐 = 40 x 1600 + 10 x 800. On sait que : 𝑾𝑶𝒙 = 𝒀𝑮 .S et 𝑾𝑶𝒚 = 𝑿𝑮 .S 𝑆. ; Soit. 𝑾𝑶𝑿 ; 𝑆. Soit. 𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎. 𝑋𝐺 = 1600+800 ; 𝑌𝐺 =. Donc :. 𝑿𝑮 = 𝟐𝟎 𝒎𝒎. 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 ; 1600+800. Donc :. 𝒀𝑮 = 𝟑𝟎 𝒎𝒎. ex. ⇒ 𝑌𝐺 =. 𝑾𝑶𝒚. a.. ⇒ 𝑋𝐺 =. 𝐼𝐺𝑥 = 𝐼1𝐺𝑋 + 𝐼2𝐺𝑋. 𝑂𝑟 𝐼1𝐺𝑋 = 𝐼𝐺1𝑋1 + S1.d1² =. + S1.d1²=. 𝒃𝟐 𝒉𝟑𝟐 𝟏𝟐. Donc:. su. De la même façon on trouvera :. 𝑰𝑮 = 𝑰𝑮𝒙 + 𝑰𝑮𝒚. 20𝑥803 12. + S2.d2²=. je t. Et 𝐼2𝐺𝑋 = 𝐼𝐺2𝑋2 + S2.d2² =. 𝒃𝟏 𝒉𝟑𝟏 𝟏𝟐. + 1600 x 10² = 1013333,333. 40𝑥203 12. + 800 x 20² = 346666,666. 𝐼𝐺𝑥 = 1360000 𝒎𝒎𝟒 𝑰𝑮𝒚 = 𝟔𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟒 𝑰𝑮 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟒. Donc :. Consolidation Soit la surface plane ci-contre : 1- Déterminer la position du centre de gravité G de cette surface dans le repère (O,x,y). 2- Déterminer le moment quadratique 𝐼𝐺𝑥 de cette surface par rapport à l’axe Gx parallèle à Ox. 3- Déterminer le moment quadratique polaire 𝐼𝐺 de cette surface par rapport à l’axe Gz perpendiculaire à son plan.. - 39 -.

(40) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. . Rectangle (ABRH) : S1 = 150 mm² 𝑿𝑮𝟏 = 𝟎 𝑮𝟏 ( ) 𝒀𝑮𝟏 = 𝟓. . Rectangle (CDEF) : S2 = 100 mm² 𝑿𝑮𝟐 = 𝟎 𝑮𝟐 ( ) 𝒀𝑮𝟐 = 𝟏𝟓. . Rectangle (LKJI) : S3 = 42 mm² (-) 𝑿𝑮𝟑 = 𝟎 𝑮𝟑 ( ) 𝒀𝑮𝟑 = 𝟑 S = S 1 + S2 - S3. ⇒. S = 208 mm2. co. D’où. m. Solution : 1- On peut décomposer la surface en 3 :. ∑ 𝑺𝒊. 𝒙𝒊 =𝟎 𝑺 { ∑ 𝑺𝒊. 𝒚𝒊 𝟏𝟓𝟎 × 𝟓 + 𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟓 − 𝟒𝟐 × 𝟑 𝒀𝑮 = = = 𝟏𝟎, 𝟐𝟏 𝒎𝒎 𝑺 𝟐𝟎𝟖. Donc :. On sait que D’où :. . 𝑰𝑮𝟏𝒙 =. 𝒃𝟏 .𝒉𝟑𝟏 𝟏𝟐. =. 𝟏𝟓×𝟏𝟎𝟑 𝟏𝟐. = 1250 mm4. 𝑰𝑮𝟐𝒙 =. 𝒃𝟐 .𝒉𝟑𝟐 𝟏𝟐. =. 𝟏𝟎×𝟏𝟎𝟑 𝟏𝟐. = 833,33 mm4. 𝑰𝑮𝟑𝒙 =. 𝒃𝟑 .𝒉𝟑𝟑 𝟏𝟐. =. 𝟕×𝟔𝟑 𝟏𝟐. su. . 𝑰𝑮𝒊𝒙. 𝒃𝒊 . 𝒉𝟑𝒊 = 𝟏𝟐. je t. . 𝑿𝑮 = 𝟎 𝒀𝑮 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟏 𝒎𝒎. ex. 2-. 𝐺{. a.. 𝑿𝑮 =. = 126 mm4. Par application du théorème de Huygens :. 𝑰𝒊𝑮𝒙 = 𝑰𝑮𝒊𝒙 + 𝑺𝒊 . 𝒅𝟐𝒊. Avec :. 𝒅𝟏 = |𝑶𝑮𝟏 − 𝑶𝑮| = |𝟓 − 𝟏𝟎, 𝟐𝟏| = 𝟓, 𝟐𝟏 𝒎𝒎 𝒅𝟐 = |𝑶𝑮𝟐 − 𝑶𝑮| = |𝟏𝟓 − 𝟏𝟎, 𝟐𝟏| = 𝟒, 𝟕𝟗 𝒎𝒎 𝒅𝟐 = |𝑶𝑮𝟑 − 𝑶𝑮| = |𝟑 − 𝟏𝟎, 𝟐𝟏| = 𝟕, 𝟐𝟏 𝒎𝒎.   . D’où : 𝑰𝟏𝑮𝒙 = 𝑰𝑮𝟏𝒙 + 𝑺𝟏 . 𝒅𝟐𝟏 = 1250+ 𝟏𝟓𝟎 × (𝟓, 𝟐𝟏)𝟐 = 𝟓𝟑𝟐𝟏, 𝟔𝟏 𝒎𝒎𝟒 𝑰𝟐𝑮𝒙 = 𝑰𝑮𝟐𝒙 + 𝑺𝟐 . 𝒅𝟐𝟐 = 833,33+ 𝟏𝟎𝟎 × (𝟒, 𝟕𝟗)𝟐 = 𝟑𝟏𝟐𝟕, 𝟕𝟒 𝒎𝒎𝟒 𝑰𝟑𝑮𝒙 = 𝑰𝑮𝟑𝒙 + 𝑺𝟑 . 𝒅𝟐𝟑 = 126+ 𝟒𝟐 × (𝟕, 𝟐𝟏)𝟐 = 𝟐𝟑𝟎𝟗, 𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟒 Si 𝑰𝑮𝒙 est le moment quadratique de cette surface (S) par rapport à l’axe (Ox), On a : 𝑰𝑮𝒙 = 𝑰𝟏𝑮𝒙 + 𝑰𝟐𝑮𝒙 + 𝑰𝟑𝑮𝒙. - 40 -.

(41) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. ⇒. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 𝑰𝑮𝒙 = 𝟓𝟑𝟐𝟏, 𝟔𝟏 + 𝟑𝟏𝟐𝟕, 𝟕𝟒 + 𝟐𝟑𝟎𝟗, 𝟑𝟑 Donc:. 𝟒 𝑰𝑮𝒙 = 𝟔𝟏𝟒𝟎, 𝟎𝟐 𝒎𝒎. De la même façon, on trouve:. 𝟒 𝑰𝑮𝒚 = 𝟑𝟒𝟕𝟒, 𝟑𝟑 𝒎𝒎. 3- Le moment quadratique polaire 𝐼𝐺 de cette surface par rapport à l’axe Gz perpendiculaire à son plan est :. 𝑰𝑮 = 𝑰𝑮𝒙 + 𝑰𝑮𝒚. m. 𝑰𝑮 = 𝟔𝟏𝟒𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟑𝟒𝟕𝟒, 𝟑𝟑. 𝑰𝑮 = 𝟗𝟔𝟏𝟒, 𝟑𝟓 𝒎𝒎𝟒. su. je t. ex. a.. co. Donc :. - 41 -.

(42) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Objectif: Dimensionner les poutres soumises à la flexion plane simple 1- Généralités : 1.1Définition : En général, le torseur des forces extérieures qui agissent du même coté de la section considérée d’une poutre se définit par :. m. ⃗⃗ 𝑹 {𝝉} = { } ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝓜𝑮. co. 𝑴𝒕 𝑵 𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ 𝑻 Avec : 𝑹 ( 𝒚 ) et 𝓜𝑮 ( 𝒇𝒚 ) 𝑴𝒇𝒛 𝑻𝒛 Pour la flexion simple, on a : 𝟎 𝟎 ) 𝑴𝒇𝒛. 𝟎. ⃗𝑹 ⃗ (𝑻𝒚) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝓜𝑮 (. a.. ou. 𝟎. 𝟎. 𝟎. ⃗𝑹 ⃗ ( 𝟎 ) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝓜𝑮 (𝑴𝒇𝒚 ) 𝑻𝒛. 𝟎. je t. ex. 1.2- Hypothèses : a) Hypothèses sur les forces : Toutes les forces sont verticales et situées dans le plan de symétrie de la poutre. Elles peuvent être concentrées ou reparties.  Les charges concentrées : 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ⃗𝑨 (𝑨) ; ⃗𝑷 ⃗ (−𝑷) ; ⃗𝑩 ⃗ (𝑩) ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝓜𝑮 ( 𝟎 ) 𝑴𝒇𝒛 𝟎 𝟎 𝟎 Les charges reparties : ⃗ La résultante des forces est ⃗𝑹. su. . 𝑹𝑨 =q.L. et. 𝒒.𝑳². 𝑴𝑨 =. 𝟐. b) Hypothèses sur les appuis : 𝟎 ⃗ (𝑨)  Appui simple : 𝑨 𝟎. . 𝑨𝒙 Articulation cylindrique : ⃗𝑨 (𝑨𝒚) 𝑨𝒛. - 42 -.

(43) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. . 𝑴𝑨𝒙 𝑨𝒙 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴 Encastrement : 𝑨 (𝑨𝒚) et 𝑴𝑨 ( 𝑨𝒚 ) 𝑴𝑨𝒛 𝑨𝒛. . 𝑴𝑨𝒙 𝟎 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴 Encastrement cylindrique : 𝑨 (𝑨) et 𝑴𝑨 ( 𝑨𝒚 ) 𝑴𝑨𝒛 𝟎. m. 2- Diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants des poutres sollicitées en flexion plane simple :. a.. co. 2.1Définitions de l’effort tranchant et du moment fléchissant :  Par convention, on appelle effort tranchant (Ty) dans une section la somme algébrique de tous les efforts situés à gauche de la section.  Par convention, on appelle moment fléchissant (Mf) dans une section la somme algébrique des moments des forces situées à gauche de la section.. je t. ex. 2.1Cas des charges concentrées :  Calcul des réactions : ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Equilibre : ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝒆𝒙𝒕 = ⃗𝟎 et ∑ 𝑴 𝑩 ⃗𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝟎 D’où l’équilibre des torseurs : 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 {𝑨 𝟎 }+ {−𝑷 𝟎 }+ {𝑩 𝟎} = {𝟎 𝟎} 𝟎 −𝑨. 𝑳 𝟎 𝑭. 𝒃 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ⇒−𝑨. 𝑳 + 𝑭. 𝒃 = 0. D’autre part : ⇒ 𝑩=𝑭−𝑨 𝑭.𝒃 ⇒ 𝑩=𝑭− 𝑳. ⇒. 𝑨=. 𝑭. 𝒃 𝑳. su. 𝑨−𝑭+𝑩=𝟎 ⇒. 𝑩=. 𝑭. 𝒂 𝑳. On a deux zones : . 𝟎 ≤𝒙≤𝒂:. T1y = A . et. M1f = -A.x. D’où Mfmax = -A.a 𝒂≤𝒙≤𝑳:. T2y = A-F =-B. et M2f = -A.x + F(x-a). D’où Mfmax = -A.L + F(L-a) = -A.L + F.b = 0. - 43 -.

(44) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Cas des charges reparties:  Calcul des réactions : ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Equilibre : ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝒆𝒙𝒕 = ⃗𝟎 et ∑ 𝑴 𝑩𝑭 ⃗ 𝒆𝒙𝒕 = 𝟎 2.2-. 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 }+ {𝑩 𝟎} = {𝟎 𝟎} D’où l’équilibre des torseurs : {𝑨 𝟎 }+ {−𝒒. 𝑳 𝟎 𝒒. 𝑳²/𝟐 𝟎 −𝑨. 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ⇒−𝑨. 𝑳 + 𝒒. 𝑳𝟐 𝟐. =0. ⇒. 𝑨=. 𝒒. 𝑳 𝟐. D’autre part : 𝑨 − 𝑭 + 𝑩 = 𝟎 ⇒ 𝑩 = 𝒒. 𝑳 − 𝑨 𝒒. 𝑳 𝒒.𝑳 ⇒ 𝑩 = 𝒒. 𝑳 − 𝟐 ⇒ 𝑩=. 𝑳. Pour x=0. ⇒ 𝑻𝒚 = 𝒒. 𝟐. Pour x=L/2. ⇒ 𝑻𝒚 = 𝟎. Pour x=L. ⇒ 𝑻𝒚 = −𝒒.. 𝑳 𝟐. ex. Moment fléchissant :. a.. 𝑳 𝑻𝒚 = 𝑨 − 𝒒. 𝒙 = 𝒒( − 𝒙) 𝟐. co. On a une seule zone car les charges sont reparties : 𝟎≤𝒙 ≤𝑳: Effort tranchant :. m. 𝟐. 𝑴𝒇 = −𝑨. 𝒙 + 𝒒. ⇒ 𝑴𝒇 = 𝟎. Pour x=L/2. ⇒ 𝑴𝒇 = −𝒒. 𝟖. je t. Pour x=0. 𝒙² 𝟐. 𝑳². su. Pour x=L ⇒ 𝑴𝒇 = 𝟎 3- Etude des contraintes dans une poutre sollicitée à la flexion plane simple: 3.1Contrainte normale : La contrainte normale est proportionnelle à l’ordonnée y de la fibre considérée : Soit :. Le rapport de proportionnalité est : 𝒌 =. 𝝈 = 𝒌. 𝒚. 𝑴𝒇𝒛 𝝈= .𝒚 𝑰𝑮𝒛. 𝑵 𝒎𝒎𝟐 𝑴𝒇𝒛 𝒆𝒏 𝑵. 𝒎𝒎 𝒚 𝒆𝒏 𝒎𝒎 { 𝑰𝑮𝒛 𝒆𝒏 𝒎𝒎𝟒 𝝈 𝒆𝒏. Avec :. 3.2- Contrainte normale maximale :. 𝝈𝒎𝒂𝒙 =. 𝑴𝒇𝒎𝒂𝒙 . 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝑰𝑮𝒛 - 44 -. 𝑴𝒇𝒛 𝑰𝑮𝒛.

(45) COLLECTION L’ABAQUE, COURS.   . PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 𝒉. Dans le cas d’une section rectangulaire, 𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝟐. La contrainte normale est maximale lorsque |𝑴𝒇𝒛 | est maximal (Section dangereuse) et lorsque la fibre considérée est la plus éloignée du plan des fibres neutres : 𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝝑 𝑰. L’expression groupée ( 𝝑𝑮𝒛 ) désignée « module de flexion » et dont l’unité est le mm3 se trouve sous cette forme dans les catalogues de profilés de commerce. D’où :. Courbure de la fibre neutre de la poutre :. m. 3.3-. 𝑴𝒇𝒎𝒂𝒙 𝑰𝑮𝒛 (𝝑 ). 𝝈𝒎𝒂𝒙 =. 𝑴𝒇𝒛 𝟏 =− 𝑹𝒙 𝑬. 𝑰𝑮𝒛 Angle de rotation de la section : 𝒙. 𝒙. 𝟎. 3.5-. 𝟎. a.. 𝑴𝒇𝒛 𝟏 𝝋=∫ = ∫− 𝑹𝒙 𝑬. 𝑰𝑮𝒛. co. 3.4-. E est le module de Young en N/mm². Condition de résistance :. Contrainte tangentielle :. |𝑻𝒚 | 𝑺. je t. 3.6-. ex. 𝝈𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑹𝒑𝒆. 𝝉𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏 =. Et. 𝝉𝒎𝒂𝒙 =. |𝑻𝒚𝒎𝒂𝒙 | 𝑺. La contrainte tangentielle de cisaillement due à l’effort tranchant est :. su. Wox est le moment statique de la section considérée par rapport à l’axe Ox..  . Remarque :  Dans le cas où 𝑴𝒇𝒛 < 0 : Si 𝒚 > 0, 𝜎 < 0 : La fibre est comprimée Si 𝒚 < 0, 𝜎 > 0 : La fibre est tendue. Application résolue. - 45 -. 𝝉=. −𝑻𝒀 . 𝑾𝑶𝒙 𝒃. 𝑰𝑮𝒛.

(46) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Données : F=10N ; L=1m ; b=1cm ; h=2cm ; 𝑹𝒑𝒆 =1N/mm² 1- Diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants :  𝟎 < 𝑥 ≤ 𝐿/2 : 𝑭 𝑻𝒚 = 𝑨 = = 𝟓𝑵 𝟐. 𝑻𝒚 = 𝟓𝑵 𝓜𝒇 = −𝑨. 𝒙 = −𝟓𝒙. 𝟏 𝟐. co. 𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 = −𝟓 ×. m. 𝓜𝒇 = −𝟓𝒙. . 𝑳/𝟐 < 𝑥 ≤ 𝑳: 𝑭 𝑻𝒚 = 𝑨 − 𝑭 = − = −𝟓𝑵 𝟐. 𝑻𝒚 = −𝟓𝑵. ex. 𝑳 𝟐. 𝓜𝒇 = −𝑨. 𝒙 + 𝑭 (𝒙 − ). 𝟓 𝟓 𝒙− 𝟐 𝟐. je t. 𝓜𝒇 =. a.. 𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 = −𝟐, 𝟓𝑵. 𝒎. 𝟓. 𝟓. 𝟐. 𝟐. 𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 = 𝑳 −. su. Donc :. Donc :. 𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 =0. |𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 | = 𝟐, 𝟓𝑵.m = 2,5. 𝟏𝟎𝟑 N.mm. 2- Contrainte maximale :. 𝝈𝒎𝒂𝒙 =. A.N :. 𝑴𝒇𝒎𝒂𝒙 𝑰𝑮𝒛 = 𝒚𝒎𝒂𝒙 = Donc:. |𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 | . 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝑰 𝑮𝒛 = 𝟐, 𝟓𝑵 𝒃. 𝒉𝟑 = 𝟔, 𝟔𝟔. 𝟏𝟎−𝟗 𝒎𝒎𝟒 𝟏𝟐. 𝒉 = 𝟏𝒄𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟏𝒎 = 𝟏𝟎𝒎𝒎 𝟐. 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝑵/𝒎𝟐. 3- Courbure de la fibre neutre de la section S1 de la poutre : Pour 𝟎 < 𝑥 ≤ 𝐿/2 :. - 46 -. 𝑴𝒇𝒛 𝟏 =− 𝑹𝒙 𝑬. 𝑰𝑮𝒛.

(47) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. 𝟏. A.N:. 𝑹𝒙. =−. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. −𝟓𝒙 𝟐.𝟏𝟎𝟓 ×𝟔,𝟔𝟔.𝟏𝟎−𝟗. 𝟏 𝟑𝒙 = 𝑹𝒙 𝟖. Donc :. 4- Angle de rotation de la section S1 de la poutre : 𝒙. Pour 𝟎 < 𝑥 ≤ 𝐿/2 :. 𝒙. 𝒙 𝟏 𝟑𝒙 𝟑 𝟏 𝟐 𝝋=∫ =∫ = [ 𝒙 + 𝒄] 𝑹𝒙 𝟖 𝟖 𝟐 𝟎 𝟎. 𝟑 𝟏𝟔. 𝒙𝟐 + 𝒄]. 𝑳/𝟐 𝟎. =. 𝟑 𝟔𝟒. Donc :. 𝝋=. 𝟑 𝟔𝟒. rad=2,68 dég. m. 𝝋=[. 𝟎. a.. |𝝈𝒎𝒂𝒙 | ≤ 𝑹𝒑𝒆. co. 5- Répartitions des contraintes normales dans la section S1 : On a : 𝑴𝒇𝒛 < 0 6- Calcul de la section de la poutre : Condition de résistance :. |𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 | . 𝒚𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑹𝒑𝒆 𝑰𝑮𝒛 𝒃.𝒉𝟑 𝟏𝟐. ex. 𝑰𝑮𝒛 =. 𝑰𝑮𝒛 ≥. |𝓜𝒇𝒎𝒂𝒙 | . 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝑹𝒑𝒆. 𝒉. 𝒉𝟒. ≥ 𝟐𝟓; 𝑶𝒓 b=1cm ; h=2cm D’où 𝒃 = 𝟐 et 𝑰𝑮𝒛 = 𝟐𝟒 ≥ 𝟐𝟓. 𝒉𝟒 ≥ 𝟔𝟎𝟎 ⇒. 𝒉 ≥ 𝟒, 𝟗𝟒𝒎𝒎 𝟐.𝒃𝟒 𝟑. ≥ 𝟐𝟓. je t. 𝒉 = 𝟐𝒃 et 𝑰𝑮𝒛 =. 𝟒. ⇒. 𝒃 ≥ 𝟑𝟕, 𝟓. ⇒. 𝒃 ≥ 𝟐, 𝟒𝟕𝒎𝒎. 𝒉 ≥ 𝟒, 𝟗𝟒𝒎𝒎 D’où: { 𝒃 ≥ 𝟐, 𝟒𝟕𝒎𝒎. su. Donc : 𝑺 ≥ 𝟏𝟐, 𝟐𝟕𝒎𝒎𝟐 On peut prendre. Or S = b.h. 𝑺 = 𝟐𝟎𝒎𝒎𝟐. Application à résoudre. Une poutre AD reposant sur deux appuis est chargée comme l’indique la figure cidessous. On donne : F = 9000N et P = 4000N. - 47 -.

(48) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. 1-. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. Calculer le moment d’inertie IGZ de la section de cette poutre : ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. --------------------------------------------------------------------------------IGZ= ………………………………..mm4. a.. ------------------------------------------. co. ------------------------------------------. m. ------------------------------------------. 2Déterminer analytiquement les réactions aux appuis en A et D ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. su. je t. ex. ------------------------------------------. 3-. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. -----------------------------------------. ------------------------------------------. RA =……………………….. N ;. ------------------------------------------. RD= …………………………. Etablir les équations de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. - 48 -.

(49) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. 4Représenter les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre. RA. F. P. RD. m. x. co. Ty. x. ex. a.. O. x. su. O. je t. Mfz. 5-Déduire le moment fléchissant maximal : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mfzmax=……………………….Nmm. - 49 -.

(50) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. On considère la section droite (S) d’abscisse 1700mm 6- Déterminer la contrainte tangentielle maximale Tmax dans cette section ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tmax=…………………………………Mpa . 7- Déterminer la contrainte normale en un point de (S) situé à 15mm au-dessus de la fibre neutre. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. co. m. ------------------------------------------. 8- Calculer la contrainte normale maximale dans cette section et donner sa répartition ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. a.. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. ------------------------------------------. su. je t. ex. ------------------------------------------. G. - 50 -. x.

(51) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. co. m. Objectif: Dimensionner les poutres soumises à la torsion simple. 1- Définition et hypothèses: 𝑵=𝟎 𝑴𝒕 ≠ 𝟎 1.1- Définition : Une poutre est soumise à la torsion {𝝉𝒄𝒐𝒉 } {𝑻𝒚 = 𝟎 𝑴𝒇𝒚 = 𝟎} ⃗ 𝑮 𝑻𝒛 = 𝟎 𝑴𝒇𝒛 = 𝟎 (𝒊, simple si à une section donnée, on a le torseur suivant :. su. je t. ex. a.. 1.2- Hypothèses et déformations : Système d’axe coordonnées cylindrique (x,𝜌,𝜃) :  Les diamètres restent droits ;  Les sections demeurent planes ;  Les dimensions ne changent pas de façon notable ;  La seule déformation consiste en une rotation des sections parallèlement aux autres. 𝑴𝒕 . 𝑳 ∆𝝆 = L’angle de rotation des extrémités de l’arbre est : 𝑮. 𝑰𝑮  𝑀𝑡 = moment de torsion en N.mm  𝐿 = longueur de la poutre tordue en mm  𝐼𝐺 = moment quadratique polaire de la section tordue en mm4  𝐺 = module d’élasticité transversal ou module de Coulomb, en N/mm² (Mpa). D’où la déformation en cisaillement 𝜸 : L’angle unitaire de torsion 𝜽 est l’angle dont tourne l’une par rapport à l’autre deux sections distantes de l’unité de longueur. On a :. 𝜽=. 2- Contrainte de torsion :   . 𝜸 𝝆. 𝜸 𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅 { 𝝆 𝒆𝒏 𝒎𝒎 𝜽 𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅/𝒎𝒎 𝝉=. 𝑴𝒕 . 𝝆 𝑰𝑮. 𝑀𝑡 = moment de torsion. 𝜌 = rayon de la section tordue. 𝐼𝐺 =moment quadratique polaire de la section tordue.. - 51 -. ⃗) 𝒋, 𝒌.

(52) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 3- Contrainte de torsion maximale : 𝝆 = 𝝑 𝑰 𝝑. L’expression groupée ( 𝑮 ) désignée « module de torsion » et dont l’unité est le mm3 se trouve sous cette forme dans les catalogues de profilés de commerce. D’où :. 𝝉𝒎𝒂𝒙 =. 4- Loi de Hooke :. 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 𝑰𝑮𝒛 (𝝑 ). 𝝉 = 𝑮. 𝜸. 5- Condition de résistance :. 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 𝑰 ( 𝑮𝒛 ). et 𝝉𝒑 =. 𝝑. 𝝉𝒆 𝒔. 𝑹𝒆 𝟐. et 𝝉𝒆 =. m. Avec : 𝝉𝒎𝒂𝒙 =. 𝝉𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝝉𝒑. co. Remarque : En cas de concentration de contrainte de coefficient k, la condition de résistance devient :. a.. 𝒌. 𝝉𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝝉𝒑. Application résolue N°1. je t. ex. Un arbre cannelé de boîte de vitesse doit transmettre un couple de 400N.m. On donne : 𝜏𝑒 = 1200 𝑀𝑝𝑎; 𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎; 𝑘 = 1,57; 𝑠 = 3. L’arbre est plein. La longueur de l’arbre est L = 140 mm. 1- Calculer le diamètre de l’arbre. 2- Calculer la rotation ∆𝝆 des extrémités de l’arbre. Solution : 1- Condition de résistance due à la torsion simple : 𝑴 𝝉 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝑰𝒕𝒎𝒂𝒙 et 𝝉𝒑 = 𝒔𝒆 𝑮𝒛 ). su. (. 𝒌.𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 𝑰 ( 𝑮𝒛 ). ≤. 𝝑. 𝝉𝒆 𝒔. Or le rayon est 𝜗 = 𝜌 =. 𝒌.𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙. .𝒅 𝟐.𝑰𝑮𝒛. D’où ⇒. 𝝑. 𝟏𝟔.𝒌.𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 .𝒅 𝝅.𝒅𝟒. ≤. ≤. 𝝉𝒆 ; 𝒔. 𝝉𝒆 𝒔. ≤. 𝝉𝒆 𝒔. Soit. 𝑰𝑮𝒛 =. 𝟏𝟔.𝒌.𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 . 𝝅.𝒅𝟑. 𝑑 2 𝝅𝒅𝟒 𝟑𝟐. ≤. 𝝉𝒆 𝒔. ⇒. 𝟑 𝟏𝟔. 𝒔. 𝒌. 𝑴 𝒕𝒎𝒂𝒙 𝒅≥ √ 𝝅. 𝝉𝒆. A.N: 𝝉𝒆 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑴𝒑𝒂 = 𝟏𝟐𝟎𝟎. 𝟏𝟎𝟔 ; 𝒌 = 𝟏, 𝟓𝟕; 𝒔 = 𝟑; 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝑵. 𝒎. 𝒅 ≥ 𝟐𝟎𝒎𝒎. Donc: 2-. ∆𝝆 =. 𝑴𝒕 .𝑳 𝑮.𝑰𝑮. Or 𝑰𝑮𝒛 =. 𝝅𝒅𝟒 𝟑𝟐. ⇒. ∆𝝆 =. - 52 -. 𝟑𝟐. 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 . 𝑳 𝝅. 𝑮. 𝒅𝟒.

(53) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. A.N: 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 = 400𝑁. 𝑚 ; 𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎; 𝑑 = 2. 10−2 𝑚; 𝐿 = 140𝑚𝑚 Donc:. ∆𝝆 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟓 𝒓𝒂𝒅 = 𝟐, 𝟓𝟓°. Application résolue N°2. co. ex. a.. 1- Déterminer les moments aux encastrements en A et B. 2- Tracer le diagramme des moments de torsion. 3- Calculer le diamètre intérieur maximal de l’arbre AB. 4- Calculer l’angle de rotation de l’arbre en O.. m. Un arbre creux est encastré à ses deux extrémités A et B. Son diamètre extérieur est de 50 mm. On donne : 𝑹𝒆 = 𝟐𝟕𝟎𝑴𝒑𝒂; 𝒔 = 𝟐; 𝑮 = 𝟖𝟎𝑮𝒑𝒂. je t. Solution : 1- Modélisation de l’arbre et réaction aux encastrements :. su. ⃗⃗ = ⃗0  ∑𝑀 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑂 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = ⃗0 ⇒ 𝑀𝐴 − 𝑀𝑂 + 𝑀𝐵 = 0  Compatibilité géométrique :. On sait que : ∆𝝆 =. 𝑴𝒕 .𝑳 𝑮.𝑰𝑮. Donc : 2-. D’où :. 𝑴𝑨 .𝑶𝑨 𝑮.𝑰𝑮. =. 𝑴𝑩 .𝑶𝑩 𝑮.𝑰𝑮. ⇒ 𝑴𝑨 . 𝑶𝑨 = 𝑴𝑩 . 𝑶𝑩 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ et. 𝑴𝑨 = 𝟕𝟓𝟎𝑵 . 𝒎. 𝑴𝑨 = 𝟑𝑴𝑩 𝑴𝑩 + 𝟑𝑴𝑩 = 𝑴𝑶 𝟒𝑴𝑩 = 𝑴𝑶 𝑴 𝑴𝑩 = 𝟒𝑶 = 𝟐𝟓𝟎𝑵. 𝒎 𝑴𝑨 = 𝟑𝑴𝑩 = 𝟕𝟓𝟎𝑵. 𝒎. 𝑴𝑩 = 𝟐𝟓𝟎𝑵. 𝒎. Diagramme des moments de torsion :  𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏: ⇒ 𝑴𝒕 = −𝑴𝑨 = −𝟕𝟓𝟎𝑵 . 𝒎  𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒: ⇒ 𝑴𝒕 = −(𝑴𝑨 − 𝑴𝑶 ) = 𝟐𝟓𝟎𝑵 . 𝒎. - 53 -.

(54) COLLECTION L’ABAQUE, COURS. PRATIQUE DE MECANIQUE APPLIQUEE, Terminales. 3- Condition de résistance due à la torsion simple : 𝑰 ( 𝑮𝒛 ). et 𝝉𝒑 =. 𝝑. 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 𝑰 ( 𝑮𝒛 ) 𝝑. ≤. 𝝉𝒆 𝒔. D’où. 𝝉𝒆 𝒔. 𝑹. = 𝟐.𝒔𝒆. Or le rayon est 𝜗 = 𝜌 = 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙. .𝒅𝒆 𝟐.𝑰𝑮𝒛. ⇒. ≤. 𝟒. 𝝉𝒆 𝒔. ≤. 𝝉𝒆 𝒔. 𝒅𝒊 ≥ √𝒅𝟒𝒆 −. 𝑑𝑒 2. 𝑰𝑮𝒛 =. 𝝅(𝒅𝟒𝒆 −𝒅𝟒𝒊 ) 𝟑𝟐. 𝟑𝟐. 𝒔. 𝒅𝒆 . 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 𝝅. 𝑹𝒆. m. 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙. co. 𝝉𝒎𝒂𝒙 =. a.. 𝒅𝒆 = 𝟓𝟎. 𝟏𝟎−𝟑 𝒎 𝑴𝒕𝒎𝒂𝒙 = 𝟕𝟓𝟎𝑵. 𝒎 A.N :{ Donc : 𝒔=𝟐 𝑹𝒆 = 𝟐𝟕𝟎𝑴𝒑𝒂 = 𝟐𝟕𝟎. 𝟏𝟎𝟔 𝑷𝒂. ex. ∆𝝆 =. 𝝅(𝒅𝟒𝒆 −𝒅𝟒𝒊 ) 𝟑𝟐. 𝑴𝑨 . 𝑶𝑨 𝑴𝑩 . 𝑶𝑩 = 𝑮. 𝑰𝑮 𝑮. 𝑰𝑮. je t. 4- En O ; on a :. 𝒅𝒊 ⋍ 𝟑, 𝟒𝟐. 𝟏𝟎−𝟔 𝒎. Avec 𝑰𝑮𝒛 =. = 𝟔, 𝟏𝟑. 𝟏𝟎−𝟕 𝒎𝟒. A.N : 𝑮 = 𝟖𝟎𝑮𝒑𝒂 = 𝟖𝟎. 𝟏𝟎𝟗 𝑷𝒂; 𝑴𝑨 = 𝟕𝟓𝟎𝑵. 𝒎; 𝑰𝑮 = 𝟔, 𝟏𝟑. 𝟏𝟎−𝟕 𝒎𝒎𝟒 ; 𝑶𝑨 = 𝟏𝒎. su. Donc:. ∆𝝆 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟐𝟖 𝒓𝒂𝒅 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓°. Application à résoudre. Un arbre cannelé de boîte de vitesse doit transmettre un couple de 400N.m. On donne : 𝜏𝑒 = 1200 𝑀𝑝𝑎; 𝐺 = 80𝐺𝑝𝑎; 𝑘 = 1,57; 𝑠 = 3. La longueur de l’arbre est L = 140 mm. L’arbre est creux : di=15 mm 3- Calculer le diamètre extérieur de l’arbre. 4- Calculer la rotation ∆𝝆 des extrémités de l’arbre. Solution : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. --------------------------------------------------. - 54 -.

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