L' 1 N F 1 L T RAT 1 0 N DANS LES S 0 LS VUE
'À TRAVERS L' 1 MAGE DES
MODELES CAPILLAIRES
C. Thirriot11· Professeur à l'Institut national polytechnique de Toulouse, Institut de Mécanique des Fluides, 2, rue Charles-Camichel, 31071 TOULOUSE CEDEX (France)
Résumé
On utilise l'analogie capillaire pour décrire et expliquer les effets de la tension interfaciale dans les sols non saturés. Avec le faisceau de tubes cylindriques parallèles, on présente la fonction de distribution de volume des pores et le graphe liant saturation et pression capillaire. L'assemblage des tubes en série permet de faire apparaitre /'hystérésis entre imbibition et drainage et d'appréhender de manière simple la méthode des domaines indépendants. Enfin, la considération de réseau capillaire permet de distinguer les conditions d'engorgement, de percée et de calculer les teneurs en eau asymptotiques.
Abstract
Capillary ana/ogy is used to des cri be and exp/ain capillary effects in unsaturated soi/s. With para/le/ cylindrical tube bu nd les, one presents fundamental physical law and pore size distribution. Seria/ tube sets allow hysteretic phenomenon between wetting and drainage and make easier the under
standing of independant domain method. At last, capillary networks (because interconnections) show c/ogging conditions, breakthrough and allow to compute asymptotic water contents.
1. Introduction
Le sol argileux détrempé après l'orage: quelques coups de pioche et le derme de la terre paraît quasi sec.
Au contraire, le sable fin d'une dune est brûlant sous le pied, on creuse un peu à la main et à quelques centi
mètres voici l'humidité, tapie à l'abri du soleil, reste d'une pluie parcimonieuse qui a eu la paresse de s'enfoncer plus profond. Sur le flanc d'un talus, la tache sombre de la frange humide d'une couche limoneuse surmonte une strate de gravier apparemment sèche. Sur la paroi fraîche d'un puit, la remontée capillaire prolonge le domaine envahi par l'eau bien au-dessus de la zone déjà surpre
nante du suintement.
Ce ne sont là que quelques-uns des faits de la cohabi
tation de l'air et de l'eau, ces deux locataires bien capri
cieux des appartements microscopiques souterrains dont l'architecture défie l'imagination la plus délirante. Et tout d'abord, on ne sait plus si c'est la complexité de la géométrie ou la diversité des phénomènes physiques qui fait la difficulté de compréhension de l'infiltration de l'eau dans le sol. Alors, pour faciliter l'appréhension de la réalité, l'homme va séparer les difficultés. Ces chapelets de petits trous dans le sol, appelés pores, on va en faire des bouts de tubes capillaires associés de manière intel
ligente, et surtout intelligible.
Ainsi, à l'amas chaotique naturel des cavernes, gorges, fissures et précipices, sera substituée l'image des modè
les capillaires auxquels on appliquera les lois de la physique des fluides. Dans ce qui suit, nous nous inté
resserons aux situations d'équilibre, suites d'évolutions quasi statiques dans lesquelles interviendra essentiel
lement la loi régissant l'équilibre frontalier entre deux fluides non miscibles qui est fondamentalement la loi de Laplace et qui sera souvent vue sous la forme appliquée de la loi de Jurin. Pour profiter à fond de la pédagogie des modèles capillaires, nous examinerons d'abord l'image la plus simple du tube de diamètre uniforme, ensuite celle du faisceau de tubes en parallèle, puis l'assemblage série
124
d'éléments de diamètres différents, pour aboutir enfin aux réseaux tridimensiQnnels de tubes de diamètrE!S variés interconnectés de diverses manières.
2. L'image rustique du tube de diamètre uniforme 2.1 La schématisation
Regardons la Figure 1 a. qui représente de manière très schématique la zone superficielle d'un sol soumise à l'infiltration d'une pluie forte et brusque qui provoque très vite la submersion de la surface. Sous l'effet de la pesan
teur, on conçoit que l'écoulement se fasse de manière privilégiée suivant la verticale descendante. Il s'agira donc globalement d'un mouvement unidirectionnel de l'eau. Partant de cette remarque de bon sens (critiquable si on y regarde de plus près), nous allons imaginer que tout se passe comme si l'eau circulait dans des tubes capillaires verticaux de même diamètre.
On pourrait d'ailleurs nuancer 13 transition sans pour autant fournir une justification rigoureuse de l'analogie.
Par exemple, considérant l'écoulement établi, on pourrait individualiser des tubes de courant, tel celui représenté Figure 1 b. Mais il s'agit de conduits difformes avec hernies et pylores et fortement contorsionnés. Comme le lecteur est de bonne volonté, il admettra qu'on puisse définir une dimension transversale moyenne (Figure 1 c).
Reste enfin à redresser le tube, soit en l'étirant tout droit (moyennant un changement d'échelle des profondeurs), soit en le remplaçant par un tube rectiligne équivalent (Figures 1 d et 1 d').
2.2 La loi de Laplace et la formule de Jurin
Lorsque deux fluides non miscibles sont séparés par une surface frontière courbe, il existe à la traversée de l'interface un saut de pression (appelé souvent pression capillaire pc) évalué par la formule de Laplace:
( 1)
A est la tension interfaciale entre les fluides,
1 1 représente la courbure de la surface constante
;;--
+;;--
en un point et peut être évalué à partir des rayons 1 2 de courbure principaux R' et R". La pression diminue à la traversée d'une surface convexe. Suivant la Figure 2: p1 = p2 + Pc-Dans un tube capillaire, la position de la surface de séparation entre les deux fluides non miscibles est déter
minée par les affinités ou mouillabilités des fluides vis-à
vis de la paroi. Par exemple, en l'absence de traitement particuiler, l'eau mouille la paroi de verre propre préfé
rentiellement à l'air. De même pour l'eau par rapport à l'huile ou encore l'air par rapport au mercure. On intro
duira alors les qualificatifs de fluide mouillant et de fluide non mouillant. La distinction entre fluide mouillant et non mouillant fait intervenir le triplet paroi, fluide 1 et fluide 2 et n'est pas le caractère définitif d'un fluide considéré isolément (en fait, il faut même faire intervenir l'histoire ou la "fonction rhéologique" car par exemple la longue fréquentation d'une paroi avec l'huile, la rend mouillable à l'huile, en présence d'eau).
EAU DU QUÉBEC, VOL. 15, No 2, MAl 1982
Le fluide mouillant a tendance à s'étaler sur la paroi, ce qui explique la forme habituellement concave de la fron
tière du fluide mouillant. La force de l'affinité ou de la mouillabilité peut être répérée par l'angle de raccor
dement de l'interface entre fluide avec la paroi, comme l'indique la Figure 3. On dit que le fluide est parfaitement mouillant quand il s'étale indéfiniment sur la paroi, c'est-à
dire quand a = O.
Dans un tube vertical (ou même incliné mais de très petit diamètre pour que l'effet de la pesanteur soit négli
geable vis-à-vis des forces de tension interfaciale) la surface de séparation (ou "ménisque" entre fluides) est de révolution et pratiquement sphérique. Les rayons de courbure principaux sont donc égaux et aisément évalués en fonction du diamètre du tube D (Figure 4):
R• = R" = _o_
2lcosal
Le saut de pression ou pression capillaire est alors:
p = 4Aicosal
c p g D (2)
L'application du théorème de l'hydrostatique dans le fluide mouillant (Figure 5) permet de calculer la hauteur de remontée capillaire:
h c = Pc = 4Aicosal (3)
Dg p g D
C'est la fameuse formule de Jurin. Cette remontée capillaire permet d'expliquer la frange capillaire d'humi
dité qui s'établit dans un milieu poreux baignant dans une flaque, par exemple un mur (Figure 6).
3. Les faisceaux de tubes capillaires en parallèle L'hypothèse de base est encore de taille: le milieu poreux est représenté par des tubes indépendants mais de diamètres différents Di. La fonction de répartition des diamètres Di est choisie de manière à représenter la fonction porométrique ou fonction de répartition des dimensions de pores en volume et non en nombre:
(lv(D < Df) G(Df) �
11v total
avec nv(Dt) volume cumulé des pores de dimensions inférieures ou égales à Dt. Un des exemples fameux d'exploitation de l'image de faisceau de tubes est son utili
sation comme modèle conceptuel dans la célèbre méthode porométrique de Purcell.
L'exploitation des essais Purcell
En quelques mots, rappelons de quoi il s'agit, dans la méthode PURCELL d'injection de mercure (Figure 7 ). On considère un petit échantillon de milieu poreux. On le place dans une chambre dans laquelle on fait le vide.
Ensuite, on fait entrer du mercure qui baigne complé
tement l'échantillon sans investir les pores car le mercure est fluide non mouillant. Puis en montant la pression dans le mercure, on force celui-ci à rentrer dans l'échantillon.
Après correction de la compressibilité propre du mercure, on trace un graphe nv (pc). En admettant que pour la pression extrême appliquée, le mercure a investi tous les pores avec un volume nv ("" ), on obtient la courbe dite de
saturation qui relie le degré de remplissageS= nv<pcl Qv(oo) à la pression capillaire Pc (qui est la pression d'injection puisqu'on a pris la précaution d'assurer par le vide préa
lable une contre-pression proche de zéro) ( Figure 8).
L'image capillaire va alors intervenir pour relier la pression Pc à la taille des pores. On fait l'hypothèse què le milieu poreux est constitué de tubes capillaires en paral
lèle de diamètres différents et on applique la loi deJURIN:
p = 4Aicosal
c D
Pour le mercure A = 0,48 N/m a � 40°. Comme la fonction porométrique en volume G est égale à 1 -S, le graphe S(pc) fournit donc aisément le graphe poromé
trique G (D) (Figures 9 et 1 0). Ainsi, depuis des décennies, pétroliers et hydrogéologues ont pris l'habitude de fournir une image de la structure du milieu poreux fondée sur l'hypothèse du faisceau de tubes cylindriques parallèles.
En effet, à partir de G (D), on peut trouver la fonction de répartition en nombre des tubes. En supposant les tubes de même longueur L:
D 2
f . Tl Il' L f (d) dD'
0 4
G (D) a "-.. -�2"-------
f :!!..E._ L f(D) dD
0 4
(5)
avec f (D) fonction de densité de la fonction de répartition en nombre:
D
F(D) = Prob(D' < D) = j f(D')dD' 0
Après calcul:
D
f F(D) = 0
f
0
_1_� dD' o•2 dD'
1 dG
02 dD dO
= G
f
0 1
f
0
1
D2(G') dG' dG
o2(G)
(6)
Pour obtenir F (D), il suffit donc de disposer de la fonction réciproque D (G) qui, moyennant certaines approximations, peut être parfois présentée analyti
quement. À titre d'exemple, supposons que G (D) soit donnée par la fonction de répartition suivante:
G(D) = 0 D < D min
G(D)
Log(D/Dmin) Log(D max m�n /D . ) G(D) = 1 , 0 > D
max
nE.{o ,o )
min max
(7)
D'une manière très simplifiée, cette formule donne une idée convenable de la porométrie d'un milieu non conso
lidé à granulométrie étalée.
Alors: F(Dl = 0
f D dD'
�
F(D) a D D min
max dD'
f
�
D min F(D) = 1
D < D m�n
1 1 -2-- 2
D . m�n D
1 1
-D 2- --2-D
m�n max D > D max
(8)
oE
[
, min o , o max�l
La densité de probabilité f (D) qui varie comme 1 /D3 montre l'importance en nombre des canaux de petits diamètres. Mais bien qu'il soit communément utilisé, nous
VOL.
ne nous attarderons pas plus sur le modèle à tubes parallèles à cause de son incapacité à représenter l'irré
versibilité des phénomènes de pénétration et de drainage souvent désigné sous le nom d'hystérésis.
4. L'hystérésls des mouvements de fluides en milieu poreux
Elle est essentiellement fondée sur la variation de section transversale rencontrée par le fluide au cot�rs de sa percolation. Pour illustrer le phénomène, considérons la pénétration dans un tube horizontal axisymétrique non cylindrique constitué de ventres et de cols successifs, d'un fluide non mouillant (comme le mercure utilisé dans la méthode de Purcell) (Figure 11). Soient Pc1 et Pc2 les pressions capillaires afférentes aux dimensions extrêmes D1 et 02 (Pc1 $ Pc2). Supposons la pression aval nulle.
La pression amont Pamreprésente donc la pression capil
laire Pam = Pc·
Si Pam $ Pc, le fluide non mouillant ne peut pénétrer dans le tube.
Si Pc1 $ Pam $ Pc2 le fluide rentre un peu dans le premier convergent et s'arrête lorsque le ménisque a un rayon de courbure R tel que
R A z 2A/cosa/ /p am1 .
Si Pam � Pc2• le mercure va pouvoir envahir tout le tube.
Partant ensuite d'une pression Pam2 � Pc2, faisons décroî
tre la pression Pam· Lorsque Pam devient juste inférieur à Pc2 mais supérieur à Pc1 le fluide recule vers la droite dans la partie extrême du tube de diamètre 02, mais le ménis
que s'immobilise lorsqu'il rencontre l'élargissement et se fixe à un rayon de courbure R = 2A cos/a/ . Tous les
pam
cols et ventres à gauche sont pleins. Si cette pression Pam est la même que celle rencontrée à l'injection Pam,.
on voit que pour une même pression, suivant le sens de l'écoulement on a un degré de remplissage différent. Pour Pam1, S est nul à l'injection et S = 1 au drainage. Il y a retard ou hystérésis au remplissage si Pam croît et au drainage si Pam décroît (Figure 12).
Un phénomène analogue se produirait avec un fluide mouillant. Mais cette fois, à l'imbibition, ce serait les parties rétrécies qui seraient plus facilement envahies, les ventres constituant les obstacles à franchir alors qu'au drainage, le ménisque s'accrochant dans un col empê
cherait la vidange de tout le tube. Par exemple, c'est ce qui explique que l'eau de pluie infiltrée reste dans la zone superficielle du sol lorsque les flaques ont été bues. Les ménisques supérieurs accrochés aux plus petits resser
rements des pores, tiennent suspendues les colonnes d'eau qui normalement continueraient à descendre sous l'effet de leur propre poids. Ce phénomène d'hystérésis est caractéristique d'un système de sections de passage différentes en série que nous allons examiner maintenant.
5. Les assemblages série de tubes capillaires Pour simplifier la présentation, nous considérerons des éléments cylindriques de même longueur L, mais évidemment de diamètres différents suivant une loi de répartition en nombre:
F(D) = Prob(D' < D) = 0 f f(D')dD'
0
Nous supposerions qu'il y ait N éléments en série entre amont et aval et que le nombre de parallèle de tubes ainsi formés non cylindriques soit infini (Figure 13). Comme EAU DU QUÉBEC, VOL. 15, No 2, MAl 1982
précédemment, la pression aval Pav sera prise comme référence et constante.
Pour changer, nous examinerons cette fois la péné
tration d'un fluide mouillant.
La pression amont initiale Pamo sera supposée telle
ment basse que le fluide mouillant ne peut initialement rentrer dans aucun des tubes:
Pav- Pamo � Pc max
Pcmax correspond bien sûr au plus petit diamètre 0m1n : pc = 4A/cos aJ;omin'
Augmentons progressivement la pression amont.
Lorsque Pam atteint la valeur Pav- Pc le fluide mouillant investit les canaux de dimensions 0 $ De dont la propor
tion en nombre est Fe. Tous les éléments de dimension 01 $De placés au premier rang des tubes, se remplissent de fluide qui va affleurer à l'entrée des éléments de rang 2 dans lesquels il rentrera par capillarité si le diamètre est encore inférieur à De.
Pour qu'un élément de rang 2 se remplisse, il faut donc qu'il soit de diamètre 01 et en série avec un élément de rang 1 lui même de diamètre o,. La probabilité de ren
contrer un tel événement sera la probabilité composée des deux événements considérés indépendants: exis
tence d'un élément de diamètre D1 au rang 1 (probabilité Fe), existence d'un élément de diamètre 01 au rang 2 (probabilité Fe). Cette probabilité composée est donc:
Fe x Fe= F2c
Admettons qu'au rang K-1, la probabilité de remplis
sage d'un élément (qui est forcément de diamètre 0 $Oc) soit Fk-1 cAu rang K, le remplissage d'un élément fait intervenir les deux événements: l'élément doit être de diamètre 0 $ De. Cet événement est évidemment de probabilité Fe; l'élément amont de rang K - 1 doit être rempli. Cet événement e.st supposé de probabilité Fk-'c par récurrence. La probabilité composée de remplissage de l'élément K est donc FkcQui vérifie bien la récurrence Ainsi donc la probabilité de présence d'un fluide mouil
lant va en décroissance géométrique avec le rang de l'élément. À l'extrémité, au rang N, la probabilité sera F c
�
Si N est très grand, la proportion de fluide dans les éléments de sortie sera négligeable. Ce blocage du fluide mouillant peut se produire bien avant si Fe est petit. Si l'on revient à l'origine de l'analogie, la succession des pores de dimensions différentes, on voit que le modèle des éléments en série laisse prévoir un engorgement rapide
ment du milieu poreux. La pénétration du fluide mouillant par capillarité s'effectuerait sur une mince épaisseur, analogue à une couche limite. Cette constatation est en complète opposition avec le modèle à tubes cylindriques en parallèle. La différence sera encore plus explicite en considérant les teneurs en fluide ou degrés de remplis
sage. Si n très grand est le nombre de tubes en parallèle, le volume des vides pour les éléments de rang k est:
f"' lT 2 Il = n L - D f (D) dD
v 0 4
Le volume des éléments de diamètre 0 $ De est:
D
c lT 2 llvc = n f L-D f(D)dD
0 4
Le volume rempli ou volume de fluide au rang k:
Il f � Fk-l c . Il vc
(9)
(10)
(11) 127
Le degré de remplissage S est:
(lf k-1 S =- = F k (l c
v
j D c D2 f(D)dD
o ., = Fk-1 G(D ) c c
j D2 f(D)dD 0
(12)
Le degré de saturation moyen entre l'amont et l'élément k est:
k-1 . S k = !(s + s2 + k 1 • . • + Sk) =! k j=O Î FJ G(D ) c c
1 - Fk
! __ c G(D) c k 1 - F c
(13)
Pour une même pression à l'amont (c'est-à-dire un même diamètre de pénétration Oc), le rapport des degrés de saturation ou teneur en fluide entre système série et système parallèle est donc:
-sk =.!.
�
k S p k 1 - F c(14)
Ce rapport décroît très vite avec le rang k, sauf si F c est très proche de 1. La différence est donc de taille entre les deux images d'éléments en série et de tubes cylindriques en parallèle. Mais il y a plus lorsqu'on examine le drai
nage. Supposons que nous ayons augmenté la pression Pam jusqu'à pouvoir envahir les éléments les plus gros de diamètre Dmax· Alors Fe= 1 et s-= 1. Tous les éléments sont remplis. Partant de cette situation, nous allons dimi
nuer la pression amont. L'air va alors rentrer par l'extré
mité droite des tubes (ce qui était avant l'extrémité aval) repoussant l'eau vers la gauche. Pour la pénétration de l'air fluide non mouillant, nous transposerons le raison
nement probabiliste déjà utilisé. Et l'on obtient pour le degré de saturation moyen en air sur N éléments:
S' a =
-
1(
1 - (1 - F )Nc]
(1 - G(D )) cN F c (15)
Donc, pour l'eau, fluide mouillant, le degré de saturation complémentaire est:
-S' = 1 -e
-
NF 1l'
1 - (1 - Fe) N'"\
(1 - G(Dc))c (16)
Comparons ce résultat au degré de saturation en eau à l'imbibition pour la même pression Pam qui conduit à la même pression Pc et au même diamètre de pénétration De):
1 - FN
- 1 c
S = -e N 1 - F
--
G(D) cc (17)
On peut montrer aisément que, quels que soient
La Figure 14 donne un exemple de boucle d'hysté
résis pc(S) dans le cas de la fonction porométrique déjà utilisée. La valeur de N considérée dans cet exemple est bien faible pour prétendre représenter le nombre incom
mensurable de pores existant dans un échantillon de milieu poreux même minuscule. Cependant, le graphe résultant obtenu Pc (S) est bien significatif du compor
tement global d'un milieu poreux et on peut alors consi
dérer l'assemblage série des éléments de tubes comme
un modèle analogique. Partant de cette constatation, on peut vouloir aller plus loin dans la simplification et en conservant que deux tubes et l'on peut ainsi retomber sur la méthode des domaines indépendants qui permet une approche directe de la représentation de l'hystérésis.
6. Les réseaux de capillaires
L'innovation par rapport au modèle précédent est l'interconnexion. Dans l'approche que nous allons déve
lopper brièvement, nous avons profité de la fréquen
tation des travaux de Ganoulis (1972) et Oullien (1979).
Pour présenter le plus concrètement possible les idées essentielles concernant les réseaux, nous considérerons l'exemple simple d'un assemblage de capillaires à maille carrée, comme l'indique la Figure 15.
Considérons encore la pénétration d'un fluide mouil
lant. Pour Pav - Pam = Pc, le fluide est rentré dans la succession de capillaires où tous les éléments sont de diamètre 0.:5 0 (tel que: 0 = 4Aicos nil. Si
c p c
0 .:5 De, nous dirons que l'élément est conducteur. Nous supposerons que le fluide va toujours de l'avant (en aug
mentant la pression Pam le fluide ne peut revenir en arrière pour remplir des capillaires). Regardant la situa
tion de présence du fluide sur la ligne de rang k des noeuds du réseau (caractérisé par la probabilité Wk), nous allons déterminer la probabilité de présence Wk+1 sur la ligne de noeud k + 1 immédiatement en aval. Consi
dérons un noeud aval Ck + 1 confluent de deux brins le reliant à deux noeuds amont Ak et Bk. La probabilité pour chaque brin d'être conducteur est F. On peut donc ren
contrer l'une des circonstances suivantes (Figure 16):
a) aucun des brins n'est conducteur;
b) un brin est conducteur (probabilité F) l'autre ne l'est pas (probabilité (1 - F). Comme il y a deux situations symétriques, la probabilité d'un seul brin conducteur est donc 2F (1 - F);
c) les deux brins sont conducteurs, événement de proba
bilité composés F2 de deux événements indépendants.
Dans la circonstance b), il y aura du fluide en Ck+1 s'il y en a en Ak ou Bk événement de probabilité Wk. Donc, au total, la probabilité partielle de voir du fluide en Ck+1 avec la circonstance géométrique d'un seul brin conducteur est 2F (1- F) wk.
Pour la circonstance c), il peut y avoir: du fluide en Ak, probabilité Wk et pas en Bk, probabilité (1 - Wk) dont la probabilité composée est: Wk(1 - Wk); la réciproque fluide en Bk et pas en Ak de même probabi
bilité composée Wk (1 - Wk); du fluide en Ak et Bk de probabilité W2k
Au total, avec la circonstance des deux brins conduc
teurs, la probabilité partielle de fluide en Ckk est:
2 Wk (1- Wk) + W2{2 = (2 Wk- W2kF2
Rassemblant l'ensemble des probabilités partielles, on obtient:
2 2 2 2
wk+ 1 = 2F ( 1 - Fl wk + F ( 2 wk - wk l = 2 F wk - F wk ( 18) Cette formule de récurrence permet de suivre la pro
!;lression de l'imbibition du fluide mouillant dans le réseau.
A l'entrée W0 = 1, ensuite la probabilité décroît d'autant plus vite que F est faible. La conséquence des inter
connexions est le caractère non linéaire de la relation entre Wk et Wk+1. Il s'ensuit un fait absolument nouveau par rapport aux systèmes série ou parallèle, la probabilité peut tendre vers une limite W= qui vérifie l'équation:
(19)
Otée la solution triviale W oo = 0, il reste:
w"' = 2F
;
1 (20)F
valeur qui n'aura de sens physique que pour F � 1!2. Pour F = V2 (à quoi correspond une valeur de De donc de Pc). on retrouve le phénomène de la percée (breakthrough) bien reconnaissable sur les graphes Pc(S) par la forte variation de teneur en fluide qui apparaît pour une faible variation de pression. Pour la pénétration de fluide non mouillant qui envahit d'abord les éléments de gros diamètre, il suffit de remplacer F par F' = 1
-
F dans les expressions, pour obtenir l'évolution de la probabilité W' kde présence du fluide non mouillant:(21)
Dans le réseau à maille carrée, la valeur de F à la percée est encore F = 1!2, mais c'est une coïncidence due à la géométrie. La valeur limite est:
W' "' 1 ----'-.,.2 - 2 F pour F 2_ 1/2
(1 - F)
La circonstance de pénétration de fluide non mouillant est celle rencontrée au reflux du fluide mouillant après avoir rempli tout le réseau (par exemple entrée d'air par la face aval pour repousser l'eau). En supposant que le nombre de rangs de noeuds est très grand dans le réseau, on peut calculer la teneur en fluide (et donc le degré de saturation S) en se fondant sur la probabilité limite (on néglige la couche limite près de l'entrée où W évolue de 1 à Woo).
Pour Pc donné (donc De fixé et F(Dc) = F aussi) à l'imbibition:
au drainage, toujours pour le fluide mouillant:
Sd (De) • 1 -
(
1 - G(De))
w.:, (F (De))On montre aisément que sd CDeJ > S1 CD el·
(23)
(24)
La Figure 17 présente le cycle d'hystérésis obtenu avec la fonction de répartition porométrique déjà utilisée dans les exemples précédents. Nous avons étudié de nombreux autres cas de réseaux: assemblages plans en nids d'abeilles, réseaux cubiques, réseaux hybrides composés de plusieurs motifs. Pour ne pas allonger cet exposé, nous ne parlerons que de la généralisation pos
sible suivant le nombre m de tronçons qui aboutissent en un noeud ( m = 2 pour le réseau à maille carrée, m = 3 pour le réseau cubique).
Nous avons montré que l'équation de récurrence est:
(25) Cette équation permet d'obtenir explicitement F en fonction de la valeur limite W:
1 - ( 1 - W"') 1/m
F e --- (26) qui conduit à la valeur de F correspondant à la percée pour W oo _, 0, F _, 1 /m. Cette condition est bien vérifiée par les valeurs obtenues expérimentalement par le Profes
seur Dullien (1979).
EAU DU QUÉBEC, VOL 15, No 2, MAl 1982
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HYSTERESIS DE L1EAU DANS LE SOL RESEAU A MAILLE CARREE
t-
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Log( D1 Dm;n)
- G
• Log( Dma,/Dm;n)
Omet:.
--
Omtn =5t
0 o�------���2�S---���s ---o�.�=---� ---s
0,5
0,4
0,2
HYSTERESIS DE L'EAU DANS LE SOL ASSEMBLAGE SERIE
"
Dmrh
-- =5 Dmrn
N :• 10
G � -;-:L�o.:;-g �(D_I-"D -;m
;::-; n..:.) '7'""
Log (Dmax/Dm;n)
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Fig, 14
s 00�---�0,25 �---�---0,5 0,75
P* = grandeur de références afférentes à D min 130
Conclusion
À la suite de ce survol des possibilités des images capillaires, le jugement doit être optimiste mais réaliste et nuancé. Faisceaux et réseaux capillaires sont un bon moyen pédagogique pour disséquer la complexité de la réalité naturelle. Ils mettent en évidence des faits incon
testables apparaissant dans les sols non saturés: la pression capillaire (déjà dans l'image rustique du tube uniforme), le blocage à l'entrée d'air et l'hystérésis.
Mais l'approche probabiliste présentée a ses limites;
elle ne rend pas clairement compte des piégeages qui forment des ilôts du fluide en place sous la poussée du fluide envahisseur et ne dit rien évidemment sur la coha
bitation de deux fluides dans les jonctions. Sur ces ques
tions, les beaux travaux de thèse de Lenormand (1981) ont apporté un éclairage original et efficace par la simu
lation physique et numérique sur micro-réseaux. La prochaine étape de l'emploi des réseaux sera la prise en compte des écoulements qui, jusqu'à présent, n'est effective que dans les faisceaux de tubes capillaires parallèles. Du point de vue exploitation pratique par choix de la géométrie et par calage de la fonction de répartition, on peut toujours arriver à construire une image qui soit un bon reflet de la réalité et qui puisse servir dans la prévision et non plus seulement dans l'explication. Mais le réalisme doit être vigilant pour éviter à l'apprenti sorcier envoûté par l'analogie de confondre le reflet et la nature.
Remerciements
Les réflexions qui précèdent ont germé lentement à partir des travaux de thèse de Jacques Ganoulis et ont mûri à la fréquentation de la pensée et des résultats du Professeur Dullien pendant son séjour à l'Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse.
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