le 6 Septembre 2010 UTBM MT26
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
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Fonctions d’une variable complexe
Exercice 1 Trouver le domaine sur lequel les fonctions suivantes sont holomorphes :
f(z) = 1
z−1 + 2i, g(z) = 1
¯
z, h(z) =Re(z).
Exercice 2 Trouver une fonction holomorphe f sur C telle que sa partie r´eelle soit x2−y2. Exercice 3 Soit f(z) = ln(z2+ 1). Calculer f(2 + 2i).
Exercice 4 Soit la fonction d´efinie surC d´efinie par f(x+iy) =p
|xy|. Montrer que f v´erifie les conditions de Cauchy-Riemann en 0 mais n’est pas holomorphe au voisinage de ce point.
Exercice 5 1) Quel est le domaine d’holomorphie de la fonction d´efinie par f(z) =eiz? 2) Calculer Ir =R
Γrf(z)dz o`u Γr est le demi-cercle de centre 0 et re rayon r du demi-plan {z∈C/im(z)>0} parcouru dans le sens direct.
Exercice 6 1) D´eterminer la s´erie de Laurent en 0 de la fonctiong(z) = z4−3z13+2z2. D´eterminer le domaine de convergence.
2) En d´eduire, grˆace au th´eor`eme des r´esidus, I1 =R
C(0,12)g(z)dz o`u C(a, r) est le cercle de rayon r, de centre aparcouru dans le sens des aiguilles d’une montre.
3) Calculer I2=R
C(1,2)g(z)dz
Exercice 7 Calculer par la m´ethode des r´esidus, l’int´egrale de Wallis : Wn=
Z π
2
0
cos2n(θ)dθ.
1
