Fonctions de la variable réelle

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Fonctions de la variable réelle

0.1. Théorème de Riemann-Lebesgue (**) Soitf : [a, b]→Rde classeC¹.

(1) Montrer que :

n→∞lim Z b

a

f(t)e^int dt= 0 Donner une interprétation au résultat précédent.

(2) Calculer :

n→∞lim Z π

0

f(t)|sin(nt)|dt

0.2. Propriété des fonctions convexes (*)

Soitf :R→Rune fonction convexe. Montrer quef est continue.

0.3. Une caractérisation des fonctions convexes (**)

Soitf :R→Rune fonction continue. On suppose que :

∀(x, y)∈R², f

x+y 2

6f(x) +f(y) 2 Montrer quef est convexe.

Une inégalité de Jensen (**)

Soitϕ:R→Rconvexe etf : [a, b]→Rcontinue.

(1) Montrer que :

ϕ 1

b−a Z b

a

f(t)dt

!

6 1

b−a Z b

a

ϕ(f(t))dt

(2) On suppose désormais que ϕ est dérivable. Soit x, y ∈ R. Montrer que :

ϕ(x)>ϕ(y) +ϕ⁰(y)(x−y)

(3) En déduire une autre démonstration de la première question.

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0.4. La valeur principale de 1/x (**)

Dans cet exercice, on noteraD(R) l’ensemble des fonctionsC^∞à support compact. Autrement dit, si ϕ ∈ D(R), alors ϕ est une fonction C^∞ telle qu’il existe un compactK⊂Rtel queϕ≡0 en dehors deK.

(1) Donner un exemple explicite de fonction non nulle dansD(R).

(2) On suppose queϕ(0) = 0. Montrer qu’il existe une fonctionψ:R→R de classeC^∞ telle que :∀x∈R, ϕ(x) =xψ(x). Que peut-on dire du support deψ?

(3) On définit la valeur principale de 1/xpar l’application :

vp(1 x) :

D(R)→R ϕ7→lim_ε→0

Z

R−[−ε,ε]

ϕ(x) x dx Montrer quevp(1

x) est bien définie et donner une autre expression de vp(1

x)(ϕ).

(4) Etablir une majoration devp(1

x)(ϕ) en fonction de sup_R|ϕ|et sup_R|ϕ⁰|.

Que dire de la forme linéairevp(1 x) ?

0.5. Dérivée d’une distribution (**)

On reprend les notations de l’exercice précédent. On appelledistribution une forme linéaireT définie sur l’espaceD(R).

1) Soitf ∈L¹(R) (f est une fonction définie et intégrable surR). Montrer que

Tf :

D(R)→R ϕ7→R

Rϕ(x)f(x)dx ,

définit bien une distribution. Donner une majoration deTf(ϕ) en fonction de sup_R|ϕ|.

On définit l’ordre d’une distribution par le plus petit entier k ∈ N tel qu’il soit possible de majorer Tf(ϕ) en fonction de sup_R|ϕ^(k)|. La notion de distribution est une généralisation de la notion de fonction. On peut définir une dérivée des distributions, de même qu’il existe une dérivée pour

3 les fonctions régulières. SiT est une distribution, on définit la distribution dérivéeT⁰ par la formule :

T⁰(ϕ) =T(−ϕ⁰)

2) Montrer queT⁰est bien une distribution. Quel est son ordre, en fonction de celui deT? Pourf ∈ D(R), calculer la dérivée de la distributionT_f. 3) Montrer que f : x 7→ln|x| définit une distribution sur R. Calculer la dérivée (au sens des distributions) def.